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抽象代数的问题和反例
黎永锦编著
抽象代数的问题和反例
黎永锦编著
北京
本书汇集了抽象代数中的大量问题和反例，主要内容有群论、环论、域和
伽罗瓦理论等.书中通过例子对抽象代数的基本概念进行了比较仔细的对比,
考虑了很多重要定理在不同条件下是否成立的问题，给出了抽象代数中很多
值得深人思考的问题.
本书可供高年级本科生学习抽象代数和教师教学时参考.本书比较系统
和完整，也可以看作是一本用来阅读的习题解答.
图书在版编目 （ CIP ) 数据 _
抽象代数的问题和反例/黎永锦编著.一 北京： 科学出版社， 2015.5
ISBN 978-7-03-044398-4
i. ①抽… n. ①黎… m. ①抽象代数-研究 iv. (Doi53
中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2015) 第110938号
责任编 辑：李 欣/责任校对：张凤琴
责任印 制：张 倩/封面设计 ：陈敬
祷莩《阜社出版
北京东黄城根北街16号
邮政编码:100717
http://www. sciencep. com
三河市胲主邱刷嗜哏公司印刷
科学出版社发行 各地新华书店经销
2015年5月第一版 开本： 720 x 1000 1/16
2015年5月第一次印刷 印张：13 1/4
字数: 267 000
定价： 78.00 元
(如有印装质量问题，我社负责调换）
抽象代数是一门比较抽象的数学学科，因此，在学习的过程中，有时候只有形
式上的理解，未能深刻地理解其中很多概念和定理的数学背景，更难以提出自己的
问题.
爱因斯坦 曾说： “提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决一个
问题也许只是一个数学上或实验上的技巧问题.而提出新的问题、新的可能性，从
新的角度看旧问题，却需要创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步
从能否提出问题可以知道不同学生对数学的理解差异，发现和提出自己问题的
能力是非常重要的，提出问题可以说是数学学习的核心 . 学习抽象代数最好以问题
为中心，通过发现问题、提出问题、探究问题和解决问题来提高对基本概念和重要
定理的理解.教师也应该在教学过程中通过提出问题来启发和引领学生深入思考.
为了减少阅读的困难，书中选入的例子一般都是比较容易的，主要取材于有关
的书籍、学术论文和网络上的相关资源.对于一些基本概念和性质，为了方便阅读,
也作为问题提出，但这些内容在很多教科书都容易找到，因此一般不再给出理由和
证明.书中还收录了一些公开问题，这些问题是比较难的，有很多数学家都在研究
这些问题，可能读者看到这些问题的时候，有些已经解决了，或有了新的进展，因此,
如果对这些问题有兴趣，在开展研究前最好查阅一些最新的相关论文.
书中的问题来源于很多不同的渠道,有些是上课时同学帮忙找到的例子，因此,
虽然经过了多年的试用和很多同学的阅读，还是难免有些概念可能不统一，这样会
造成反例的错误，也可能是我粗心大意造成的，还请大家耐心指正，只能在不断修
改中完善，请大家谅解.最后，我要感谢对本书的改进和校对做了很多工作和提出
了很多建议的同学，如杨剑锋、苏彦宏、关静怡、王洋、廖鹏程、和炳和黄景灏等.
没有他们的支持和帮忙，本书是不可能完成的.
黎永锦
2015年1月于中山大学
符号表
Ker(/)
<H >
< a >
aH, Ha
[G ： H]
GH
sgn a
A n
Ch(cl)
N g (H)
C(G)
G f
G (n)
char R
(H)
有理数域
非零有理数集合
实数域
复数域
整数集合，正负整数，包含0
正整数集合
自然数集
a 整除6
a 与6模 m 同余
a 和6的最大公因子
a 的阶
群 G 的阶
n 个字母的对称群
模 n 的加法群或环
模 P 的加法群或域 （ p 为素数)
同构
同态/的核
由集合 H 生成的子群
由元素 a 生成的循环子群
a 的左陪集和右陪集
子群//在群 G 中的指数
{ab\ aeG,be H}
置换^的符号
n 个字母的交错群
a 在 H 中的中心化子
//在 G 中的正规化子群
G 的中心
G 的换位子群
G 的第 n 次导群
环的特征
由//生成的理想
+ r I
QQ^CZZW
=1 w ^) 丨
a(ao(l^5nz 71 zp
⑷
由元素 a 生成的主理想
F [ x ]
F 上的多项式
F[Xl ， Z2, … ，工 n
] F 上 n 个未定元的多项式环
deg /
多项式的次数
dim V
线性空间 V 的维数
Gf
H~ l
R[a]
多项式/的伽罗瓦群
H~ l = { a -1 1 a E H}
由 H 和 a 生成的环，包含尺和 a 的最小环
F{a)
域 F 上的单扩张
[K ： F]
域扩张 K/F 的次数
Gil ® G 2
交换群和交换群(^ 2 的直积
G\ x G2
群^^和群 G 2 的直积
F\ w
F 除去 a 的所有元素
录
前目
符号表
% 1 M 縱 .1
l.i 群的定义 . 1
1 . 1.1 二元运算 . 1
1.1.2 群的定义 . 1
1丄3 群的性质 . 5
1.1.4 元素的阶 . 7
1.2 預 . 12
1.2.1 子群的定义 . 12
1.2.2 子群的性质 . 15
1.2.3 中心化子 . 16
1.2.4 由集合生成的子群 . 16
1.2.5 子群的乘积 . 21
1.2.6 子群的进一步思考 . 23
1.3 置换群 . 24
1.3.1 置换群的定义 . 24
1.3.2 置换的性质 . 26
1.4 陪集 . 29
1.4.1 陪集的定义 . 29
1.4.2 陪集的性质 . 29
1.4.3 Lagrange 定理 . 31
1.4.4 Lagrange 定理的应用 . 32
1.5 正规子群 . 35
1.5.1 正规子群的定义 . 35
1.5.2 商群的定义 . 38
1.5.3 正规子群的性质 . 40
1.5.4 换位子群 . 42
1.6 交错群 . 45
1.6.1 交错群的性质 . 45
巨
录
1.6.2 单群的定义和例子 . 46
1.7 群的同态 . 47
1.7.1 群同态的基本概念 . 47
1.7.2 群同态的性质 . 48
1.7.3 同态和同构的定理 . 52
1.7.4 变换群的定义 . 53
1.7.5 Cayley 定理 . 54
1.8 群的直积 . 54
1.8.1 群的内直积 . 54
1.8.2 群的外直积 . 55
1.9 有限生成的交换群的结构 . 56
1.10 拓扑群 . 57
1.10.1 拓扑的定义 . 57
1.10.2 拓扑群的定义 . 58
1.10.3 拓扑群的性质 . 58
第2章环和域 . 62
2.1 基本概念 . 62
2.1.1 环的定义 . 62
2.1.2 环的性质 . 68
2.1.3 零因子和整环 . 70
2.1.4 可除环 . 73
2.1.5 子环 . 74
2.1.6 子环尺 [ a ]. 75
2.2 理想和商环 . 76
2.2.1 理想的定义 . 76
2.2.2 理想与子环的关系 . 78
2.2.3 商环 . 79
2.2.4 单环 . 80
2.2.5 理想的性质 . 81
2.2.6 主理想 . 85
2.3 环的同态 . 87
2.3.1 环同态的定义和性质 . 87
2.3.2 环的同态和同构定理 . 90
2.4 域 . 92
2.4.1 域的定义 . 92
目
录
2.4.2 域中的理想 . 94
2.4.3 域的同态 . 95
2.4.4 分式域 . 95
2.4.5 极大理想 . 96
2.4.6 环和域的特征 . 98
2.4.7 素理想 . 101
2.4.8 准素理想 . 104
第3章环上的多项式 . 106
3.1 多项式 . 106
3.1.1 多项式的定义 . 106
3.1.2 多项式的运算 . 106
3.1.3 多项式的性质 . 107
3.2 带余除法 . 109
3.2.1 带余除法 . 109
3.2.2 整除的性质 . 110
3.2.3 余数定理 . 110
3.2.4 域上多项式环的任何理想都是主理想 . 111
3.3 E 9 式分解 . 115
3.3.1 整除、相伴、素元和不可约元 . 115
3.3.2 唯 一 因子分解环 . 116
3.3.3 多项式的重因式 . 122
3.4 本原多项式 . 123
3.5 唯一因子分解环上的多项式 . 124
3.6 非交换环上的多项式 . 124
第4章向量空间与模 . 128
4.1 向量空间 . 128
4.1.1 向量空间的定义 . 128
4.1.2 向量空间的性质 . 128
4.1.3 向量空间的子空间 . 129
4.1.4 线性无关和基 . 132
4.1.5 线性映射 . 134
4.2 内积空间 . 134
4.2.1 内积的定义 . 134
4.2.2 正交和正交基 . 135
4.3 模 . 135
巨
录
4.3.1 模的定义 . 135
4.3.2 模的性质 . 136
第5章 Sylow 定理和可解群 . 140
5.1 群作用 . 140
5.1.1 群作用的定义 . 140
5.1.2 群作用的轨道和稳定子群 . 141
5.1.3 轨道的性质 . 141
5.1.4 有限群的类方程 . 142
5.1.5 p 群的定义 . 144
5.2 Sylow 定理 . 148
5.2.1 p-Sylow 子群的定义 . 148
5.2.2 Sylow 定理 . 149
5.2.3 Sylow 定理的应用 . 151
5.3 可解群 . 161
5.3.1 合成群列的定义 . 161
5.3.2 合成群列的性质 . 163
5.3.3 可解群的定义 . 163
5.3.4 可解群的性质 . 165
第6章域的扩张 . 170
6.1 子域和扩域 . 170
6.1.1 子域和扩域 . 170
6.1.2 域的素子域和特征 . 170
6.1.3 集合 S 在 F 上生成的子域 . 171
6.1.4 单扩域 . 171
6.1.5 域扩张的次数 . 172
6.1.6 域扩张的次数公式 . 173
6.2 代数扩张 . 176
6.2.1 代数元和超越元 . 176
6.2.2 极小多项式 . 179
6.2.3 极小多项式的性质 . 179
6.2.4 域的代数扩张 . 181
6.2.5 代数扩张的传递性 . 183
6.2.6 代数闭域 . 183
6.3 Galois 域和分裂域 . 187
6.3.1 Galois 域的定义 . 187
目录 .vii •
6.3.2 Galois 域的元素个数 . 187
6.3.3 多项式的分裂域的定义 . 188
6.3.4 多项式的分裂域的存在性和唯一性 . 188
6.3.5 Galois 域是其素子域的单扩域 . 190
6.3.6 正规扩域 . 190
6.4 方程的根式解 . 191
6.4.1 Galois 群 . 191
6.4.2 Galois 群的性质 . 192
6.4.3 Galois 群的阶 . 192
6.4.4 n 次多项式的 Galois 群 . 193
参考文献 . 196
索引 . 197
第 1 章群 论
群只有一种代数运算，因此比较容易深入讨论.群的左右单位元和逆元的相关
问题应该仔细讨论，元素的阶对揭示群的结构起着重要的作用，通过群的阶可以给
出群的一些重要性质，但一般来说，两个不同元素的阶无法决定它们的乘积的阶，
元素的阶是研究群的一个重要工具.子群继承了群的一些重要性质，通过子群可以
了解群的很多性质，但群与子群的关系是复杂而密切的.正规子群是一个重要的概
念，具有很好的性质.对称群是一类性质比较清楚的群，它给群提供了很多重要而
简明的反例.群的同态和同构让不同的群可以比较，使得群的分类简单明了.
1.1 群的定义
1.1.1 二元运算
问题 1.1.1 二元运算是什么？
从 S X S 到 S 的一个 映射. 称为 S 上的一个二元运算.
问题 1.1.2 5 x 5 上的 映射. 都是 S 上的一个二元运算吗？
不 一定. 设 S = {( a !, a 2 , a 3 ) | a !, a 2 , a 3 都是实数}是3维欧氏空间，则内积不
再是向量，因此内积不是二元运算.
1.1.2 群的定义
问题 1.1.3 什么是群？
设 G 是一个非空集合，若在 G 上定义一个二元运算.，满足
(1) 结 合律： 对任何 a ， b，c G G , 有 （a • 6) .c = a . (6. C )， 则称 G 是一个半群
( semigroup ), 记作 （ G ,.) •若 （ G , •) 还满足
(2) 存在单位元 eeG , 使对任何 aeG 有 e.a = a .e = a .
(3) 对任何 a e G ， 有 a - 1 € 使得 a- l a = a a ~ l = e , 则称 （ G ，.） 是一个群
( group ).
如果半群中也有单位兀，则称为么半群 ( monoid ).
如果群 （ G , •) 适合交 换律： 对任何 a ， beG 有 a.b = b . a ， 则称 G 为交换群或
Abel 群.
群中的乘法运算一般简记为
- 2 -
第 1 章群 论
问题 1.1.4 什么是群的可逆元？
如果 ab = ba = e , 那么就称 a 为一个可逆元 (invertible element )， 并称 b 为 a
的逆元 (inverse element ). 可逆元 a 的逆元通常记作 a -1 .
问题 1.1.5 从 S x S 到 S 的二元运算都满足结合律吗？
不一定.取 S 为实数全体所构成的集合，将映射 •
• : 5 x 5 — 5
定义为
则二元运算 • 不满足结合律.
问题1.1. 6 若 S x S 到 S 的二元运算满足交换律，则它一定满足结合律吗?
不一定.设尺为 实数， 在 X 丑上， 定义
•: ((2, 6) • ~> \cl — 6|，
则运算 • 满足交换律，但它不满足结合律.
问题 1.1.7 么半群一定是群吗？
不一定.整数集 Z 对于乘法是一个么半群，但它不是群.
问题 1.1.8 什么是左单位元和右单位元？
设 G 是一个半群，若存在 aeG , 使对任何 c e G 有 ac = C , 则称 a 为 G 的左
单位元.
设 G 是一个半群，若存在6 e 使对任何 c e G 有= C ，则称6为 G 的右
单位元.
问题1.1. 9 半群 G 的左单位元一定是半群 G 的右单位元吗？若半群 G 有
左单位元和右单位元，则它们一定相等吗？
左单位元不一定是半群 G 的右单位元，若半群 G 有左单位元和右单位元，则
它们也不一定相等.
设 G = { a , b},a ^ 6, 定义 aa = a，ab = b，ba = a , 66 = 6,则 G 是一 * 个半群，并
且 a 是 G 的左单位元，但 6 a # 6,因此 a 不是 G 的右单位元.明显地，6是 G 的右
单位元.
问题 1.1.10 什么是左逆元和右逆元？
设 G 是一个有单位元的半群， 若 a ， beG , 满足 M = e ， 则称6为 a 的右逆元，
a 为 b 的左逆元.
1.1 群的定义
• 3 •
问题 1.1.11 若 G 是一个有单位元的半群，则 G 的左逆元一定是右逆元吗？
不一定.设 G 是所有正整数 Z + 到 Z + 的映射，则在复合作为乘法的运算下，
G 是一个半群，并且单位元 e 为恒等映射，令 a : Z + — 为 a ( n ) = 2 n , 定义
到的映射 b 为：当 n 为偶数时， 6( n ) = 当 n 为奇数时， 6( n ) = 1，则容易验
证 6 a = e ; 但不等于 e ， 因此， a 的左逆元6不是它的右逆兀.
问题 1.1.12 若 G 是一个有单位元的半群，若 a e G 的左逆元6和右逆元 c
都存在，则 a 的逆元一定存在吗？
是的.若 a G G 的左逆兀6和右逆兀 c 都存在，则 6 a = e , ac = e , 因此，
(ba)c = ec = c , 并且 (ba)c = b(ac) = 6 e = 6，故 6 = c , 所以 ， a 的逆兀为 6.
问题 1.1.13 若 G 是一个有单位元的半群，则 a e G 有右逆元6和左逆元 c ，
则 a —定是可逆元吗？
是的. 由于 = e , 所以， c(ab) = ce = c ，故 （ ca )6 = eb = b, 从而 b = c, 因此 ， a
是可逆元.
问题 1.1.14 若半群 G 有左单位元 e ， 并且任意 a e G 、 棘 b e G ， 使得
a 6 = e ， 则 G —定是群吗？
不 一 ■定.设 G = {e, a}, e ^ a y 定义 ea = a, ae = e, aa = a，ee = e ，则 （7 是半
群， e 是左单位元，并且 ee = e, ae = e ，但 a 没有左逆元，否则的话，由 aa = a 可
得^ = 6 , 矛盾.所以， G 不是群.
问题 1.1.15 若半群 G 有右单位元 e , 并且任意 a e G , 存在 b e G , 使得
a 6 = e ， 则 G —定是群吗？
是的.存在 e G G , 使得对任意 a e G , 有 ae = a . 对于 a e 有6 e 使
得 ab = e . 对 6 e G , 存在 c E G, 使得 be = e , 因此 6 a 6 = be = b, 故 ba = (ba)e =
(ba)(bc) = (bab)c = e. 另夕卜 ， ea = {ab)a = a(ba) = ae 二 a, 因此 ， e 是 G 的单位元，
并且 6 是 a 的逆元，所以， G 是群.
问题 1.1.16 若半群 G 有右单位元 e, 并且任意 a e G, 存在 b e G 、 使得
k = e , 则 G —定是群吗？
不 一 定. 设 （7 = { e , a }, e 争 a 、 定义 ae = a，ea = e，aa = a , ee = e , 则 G 是半群,
e 是右单位元，但 a 没有右逆元，否则的话，由⑽= a 可得 a = e , 矛盾.所以， G 不
是群.
问题 1.1.17 若半群 G 有左单位元 e , 并且任意 a e G, 存在 6 G G , 使得
6 a = e ， 则 G —定是群吗？
是的.证明与前面问题类似.
• 4 •
第 1 章群 论
容易知道，若 e 是群 G 的单位元，则 e 2 = e .
问题 1.1.18 设 G 是群， aeG , 满足 a 2 = a ，则 a —定是单位元吗？
是的.由于 a 2 = a , 故 a _ 1 a 2 = a~ l a = e , 所以 ， a = e .
问题 1.1.19 设 G 是半群，若对于任意 a , 6 G C , 都存在 x，y e G ， 使得
xay = b ， 則 G 一定是群吗？
不一 定. 设 G = { e , a }, e / a , 定义 ea = a,ae = e , aa = a , ee = e , 贝 !j (7 是半群，
存在 a , e ， 使得 aae = e , 并且 GdCL — ( Z , CLGCL — fl，666 C ， 但 CX 没有逆元，否则的话，
由 aa = a 可得 a = e , 矛盾.所以， G 不是群.
问题 1.1.20 设是半群，若对于任意 a ， 6 G G ， 方程 xci = 6, ay = 6 都有解，
则 G —定是群吗？
是的.取定 a G G , 则由 ay — a 有解可知存在 ei 6 (7，使得 aei = a . 对于任
意 b e G ， 由 xa = 6 有解可知存在 g e G , 使得 ga = 6 ,故 ^ = ( ga)ei = g { aei )=
ga = b 对任意 beG 成立，因此 ei 为 G 的右单位元.
类似地，由 ： ca = a 有解可知存在 e2 6 使得= a . 对于任意 6 6 G , 由
ay = b 有解可知存在 g e G , 使得叩= 6 ,故 e 2 & = e 2 ( ag ) = { e2a)g = ag = b 对任
意 b e G 成立，因此 e 2 为 G 的左单位元.从而，由 e2e：L = ei , e 2 e 1 = e 2 可知为
G 的单位兀，不妨记 e = ei = e2 .
对于任意 a G G , 由方程: ra = e , ay = e 都有解，可得 x = :ce = x ( ay ) = ( xa)y =
ey = y ， 因此 ， x = y , 从而: r 是 a 的逆元，所以， G 是群.
明显地，在交换群中，对于 a ， beG , { ab) n = a n b n 是一定成立的.
问题 1.1.21 设 G 是群， a，be G ， 则 ( ab) n = a n b n 一定成立吗？
不一定 • 在非交换群 中，设 a = (12),6= (123)，则 a6 = (12)(123) = (23)，
故 ( ab ) 2 = (23)(23) = (1), 并且 a 2 b 2 = (12) 2 (123) 2 = (1)(132) = (132)，因此，
( ab ) 2 7 ^ a 2 b 2 .
问题 1.1.22 存在1，2, 3阶的非循环交换群吗？
不存在.设 A = { e , a , 6 , c }, 乘法表为
•
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
则 M 是克莱因四元群 （Klein four - group ), 是阶最小的非循环交换群.
1.1 群的定义
• 5 •
1.1.3 群的性质
问题 1.1.23 群中的消去律成立吗？
成立.设群 G 中的元素 a , 6, c 满足 a6 = ac 或 6 a = ca , 则 b = c.
问题 1.1.24 若 G 是一个半群，并且在 G 中消去律成立，则 G —定是
群吗？
不一定.设 G 为所有非零整数，则 G 在整数的乘法下是一个半群，并且在 G
中消去律成立，但 G 的元素不一定有逆元，因此 G 不是群.
问题 1.1.25 若 G 是一个有单位元的有限半群，并且在 G 中消去律成立，则
G 一定是群吗？
是的.对于任意 a e G , 由于 (7 是有限的，故 一 定存在正整数 m > 7Z > 0,使得
a m = a n , 故由 a m - n a n = a 171 = a n = ea n 可得 a m-n = e , 因而， a 一 1 = a m — n — \ 所
以， G 是群.
问题 1.1.26 群中的元素 a, 6 的乘积的逆是什么？
设 a , 6是群 G 中的两个元素，则 (ab)~ l = b- l a~\
明显地，若 G 是交换群，则对任意 a ,6€ G , 都有 {ab)~ l = a~ l b~\
问题 1.1.27 若群 G 中的任意两个元素 a，b e G, 都有 (ab)~ l = a-M - 1 ， 则
G 一定是交换群吗？
是的.对任意 a,6 G G , 都有 (a^b- 1 )- 1 = ( a -1 ) -1 ^ -1 ) -1 = ab, 另夕卜，由
(a^b- 1 )- 1 = = 6 a , 可知 = 6 a 对任意 a,b e G 都成立，因此 ， G
一 定是交换群.
明显地，若 G 是交换群，则对任意 a,beG, 都有 (ab) n = a n 6 n , 反过来呢？
问题1.1. 28 若群 G 中的任意两个元素 a ,6€ G , 都有 （肋) 2 = a 2 6 2 , 则 G —
定是交换群吗？
是的.由于 ( a6) 2 = a 2 6 2 , 并且 (ab) 2 = abab ， 故 a 2 b 2 = abab, 所以， a6 = 6 a 对
任意 cx，6 e G 成立，所以， G 是交换群.
问题 1.1. 2 9 若群 G 中的任意两个元素 a，6 G G ， 都有 （ a6) 3 = a 3 6 3 和
(ab) 5 = a 5 & 5 , 则 G 一定是交换群吗？
是的•由 (ab) 3 = a 3 6 3 可知 ababab = aaa6fe6 , 故 baba = aabb. 类似地，由 (ab) 5 =
a 5 6 5 知道 ababababab = aaaaabbbbb ， 故 babababa = aaaabbbb, 因此， (baba)(baba) =
(aabb)(aabb), 因而， bbaa = aabb, 再根据 baba = aabb 可知 bbaa = baba, 所以，对于
任意 a , 6 G G , 都有 6 a = a6 .
• 6 •
第 1 章群 论
问题 1.1.30 若群 G 中的任意两个元素 a , beG , 都有 （ a6) 3 = a 3 6 3 , 则 G —
定是交换群吗？
不一■定.设 G 为所有满足叫= I ，当 i j 时，有叫= 0, aij G Z3 的3 x 3矩
阵，则容易验证，对于任意 a e a 3 = e 是单位矩阵，因此，对于任意 a , 6 G G ,
都有 (ab ) 3 = a 3 6 3 , 但 G 不是交换群.
问题 1.1.31 设 G 是群，若任意非单位元 aeG，a 的阶都是2,则 G —定是
交换群吗？
是的.由于 a 2 = e ，故 a - 1 = a 对于任意 aeG 都成立.因此对于任意
有 ba = (ba)~ l = a- x b~ l = ab, 所以 ， G 是交换群.
问题1.1. 3 2 设 G 是群，若任意非单位元 aeG , a 的阶都是3,则 G —定是
交换群吗？
不一定.设 x ， y , 2 e Z 3 , 则所有形如
1 x y
0 1 2
0 0 1
的矩阵在矩阵乘法下构成一个27阶的群 G , 并且对于任意 aeG , a 的阶都是3,
但对于
则
1
1
0
1
0
0
—
0
1
0
, C =
0
1
1
0
0
1
0
0
1
bc = 0 11
0 0 1
1
1
0
， cb =
0
1
1
0
0
1
故 6 c 一 d >, 所以， G 不是交换群.
问题 1.1.33 元素个数最少的非交换群是什么？
容易验证，1, 2, 3, 4, 5阶群都一定是交换群.对称群 S 3 是6阶的非交换群，因
此阶最小的非交换群的阶是 6.
问题 1.1.34 设 G 是群， G ， 若 a 2 = 6 2 ,则 a = 6 —定成立吗？
不一 ■定. 在克莱因四兀群 /Q = { e ， a , 6, a 6} 中， a 2 = 6 2 = e ，但 a 〆 6.
问题 1.1.35 设 G 是群， aeG , a 一定有平方根吗？即一定存在 b e G , 使得
a = b 2 吗？
1.1 群的定义
不一定.设 G 为 2 阶循环群 { e , a }, 则对于 a G G ， 有 a 笋 e 2 , 并且 d # a 2 .
问题 1.1.36 是否存在群 C 7， 对于任意 a 6 G ， 都存在6 € C ?， 使得 a = 6 2 ?
是的.设 G =< C >为 6 阶循环群，= { e , c 2 , c 4 }, 则对于//中的任意元都有
平方根.
问题 1.1.37 设 G 是群，若 a € G , 存在 beG 、 使得 a = 6 2 ,则6 —定是唯一
的吗？
不一定.设 G 为 2 阶循环群 { e , a }, 则对于 a € G ， 有 e = e 2 , 并且 e = a 2 .
问题 1.1.38 设群 G 的阶是奇数，则任意 ae G , a 都一定有平方根吗？
是的.对于任意的 a G G , 由于 o ( d ) 整除 | G |， 故 a 的阶一定是奇数，若 a 的
阶为 1 ，则明显地存在唯一'单位兀 e G 使得 a = e 2 . 若 o ( a ) = 2/c + 1 , A : G AT , 则
a 2k+l = e , 从而 a = a~ 2k — ( a ~^) 2 , 令 6 = 则 a = 6 2 .
假设还存在 cG C , 使得 a = c 2 , 则 c 的阶一定是奇数，故由 2A : + 1 = 0 ( c 2 ) 可
知 o ( c ) = 2A : + 1 . 类似可证， 0 ( 6 ) = 2/c + 1 ,因而
a k = c 2k = c -l ? a k = b 2k = 6 -1 ?
所以，由 6- 1 = C- 1 可得 ， b = c.
问题 1.1. 39 设 H 是交换群 G 的子群，若 GIH 和 H 中的任意元都一定存
在平方根，则 G 中的任意元一定存在平方根吗？
是的.对于任意 g eG ， 由于 gi / 有平方根，故存在 a //， 使得 aHaH = glU
然 H 是交换群 G 的子群，因此， a 2 H = gH, 故存在某个 h，ke 满足 a 2 /i = ★
由于"和 A : 在//中存在平方根 6 和 c ， 故 a 2 b 2 = gc 2 、 因此 ，沒 = a 2 b 2 c ~ 2 = (abc~ 1 ) 2 .
所以， G 中的任意元一定存在平方根.
1.1.4 元素的阶
问题 1.1.40 什么是有限群？
由有限多个元素构成的群 G 称为有限群 （finite group ), 其中元素的个数记作
\ G \, 称为 G 的阶 ( order ). 用 | G | = oo 表示 G 是无限群.
G 是有限群，则对于任意 a € G , a / e , a 与自身不断相乘时，一定会回到 a . 实
际上，由于 G 中只有有限个元素 1 故 a ， a 2 ， a 3 , … ， a n ，…中一定有一样的元素，即
一 定存在正整数 m , n , m 〉 n , 使得= a n , 从而， a m_n = e .
问题 1.1.41 群中元素的阶是什么？
若 a 是群 G 的一个元，则使得= e 的最小的正整数 n 称为 a 的阶或周期,
记为 o ( a ). 若这样的正整数 n 不存在，则称 a 的阶为无穷.
问题 1.1.42 对于 a e G ， 若 a n = e ， 贝 4 a 的阶一定是 n 吗？
不一定.这是一个很容易的问题，但在做题时，容易出错.如 G = {1,-1} 在乘
法下是群，对于-1，有 (-1) 4 = 1，但 0(-1) = 2.
问题 1.1.43 有限群 G 中的每个元素的阶一定是有限的吗？
是的.如果 G 有无穷阶的元素 a ， 则 G —定包含 a , a 2 , a 3 ,.*. 无穷个
互不相同的元素，但这与 G 是有限群矛盾.
问题 1.1.44 每个元素的阶都是无限的群存在吗？
不存在.这是由于对于任意群，它的单位元的阶一定是 1.
问题 1.1.45 除了单位元，每个元素的阶都是无穷的群存在吗？
存在.整数加法群 Z 除了 1，其他所有元素的阶都是无穷.
问题 1.1.46 每个元素的阶都是有限的群一定是有限群吗？
不一定 . Z 3 上的所有多项式在加法下是一个群，它的每个元素的阶都小于或
等于3,但它包含无穷多个元素，不是有限群.
问题 1.1. 4 7 若群 G 是有限群，则 ab 和 ba 的阶是一样的吗？
是的•若的阶是 n, 则 ( ab) n = e . 由于 (6a) n = a ~ 1 ( ab) n a = e, 故 6a 的阶一 *
定小于等于 n . 同样可以证明的阶一定小于等于 6 a 的阶，因而 6 a 的阶一定也
是 n .
实际上，对于非交换群 G , —定存在 a ,6 GC , 使得# 6 a , 但 o ( ab ) = o { ba ).
容易验证.若群 G 是有限群 ， G G ， 则 a6c 和 6 m 的阶是一样.
问题 1.1.48 若群 G 是有限群， a, 6, c G G, I'J abc ^ bac 的阶一定是一样
的吗？
不一定.在为中，取
e=( l 2 3 ), a=f 1 2 3 V
\ 1 2 3 y \ 1 3 2 /
-0^)' -(=)，
则 a6c = 6 , bac = e, 因此， o ( abc ) = 3,但 o ( bac ) = 1,所以， ( abc ) ^ o ( bac ).
问题 1.1.49 若 G 是群， a, 6 G G, 则 o ( ab ) = o ( a ) o ( b ) 一定成立吗？
不一定.设 G 为实数2阶满秩方阵全体在矩阵乘法下构成的群，对于
1.1 群的定义
• 9 •
都是 G 的 2 阶元，但
ab =
0
㈣ " =
1 2n
0 1
故的阶是无穷，所以， o ( ab ) = o ( a ) o ( b ) 不成立 •
问题 1.1.50 若 G 是有限群， e G ， 则 o(a 6 ) = o ( a ) o ( b ) 一定成立吗？
不一■定.若 a , 6 G G^ab = 6a , o ( a ) = 6 , o ( 6 ) = 4，则容易知道 o ( a6 ) < 12.
问题 1.1.51 设 G 是群， a , 6 G C , 若 ab = 6a ， o ( a ) 与 o ( b ) 互素，则 o ( ab )=
o ( a ) o ( b ) 一定成立吗？
是的.容易验证.
问题 1.1.52 设 G 是群， a，6 € G ，若 o ( a ) 与 o { b ) 互素，则 o ( ab ) = o ( a ) o { b ) —
定成立吗？
不 一 定.当 a6 一 6a 时，若 o ( a ) 与 o ( 6 ) 互素，则 o ( ab ) = o ⑷ 0 ( 6 ) 不一定成立.
在对称群灸中 ， a = (123) 的阶为3, 6 = (15342) 的阶是5,但= (123)(15342) =
(15)(34) 的阶为2,而不是 15.
问题 1.1.53 若 G 是群， a，b G G , o ( a ) = 00 , 0 ( 6 ) < 00 ， 则 o(a 6 ) = oo —定成
立吗？
不一定. 2 x 2 可逆矩阵 GL (2, R ) 群中，对于
有
n
因此 cx 的阶是无限的.
取0
则6 2 =
0 -1
2. 并且
' 1 1 "
1 -1 "
• 1 -2 ■
0 1
0 -1
0 -1
因此6的阶为
• 10 -
第 1 章群 论
所以， a 的阶为无穷，并且 6 的阶为 2 ,但是 M 的阶是 2 .
问题1丄54 苦 G 是群， a , 6 € 则 o ⑷ # 0 ( 6 ) —定成立吗？
不 一 ■定.在对称群为中， 有 a = (12),6 = (13) G 53, a / 但 a 和 6 的阶都
是 2 .
问题 1.1.55 若 G 是群， a e G , 则 o ( a ) = o ( a ~ l ) 一定成立吗？
是的.由 a ° ⑷ = e 可知 a 一 0 ⑷ a ° ⑷ = a~°^e = a 一 0 ⑷，故 沁一 1 ) 0 ⑷ = a -咖） =
e , 因此， o ( a _1 ) ^ o ( a ). 同理可证， o ( a ) = o ( a _1 )- 1 彡 o ( a ~ 1 ), 因此 ， o ⑷彡 o ( a _1 ),
所以， o ( a ) = o ( a ~ 1 ) 一定成立.
问题 1.1.56 若 G 是群， a ，6 € 则 o ( ab ) = o ( a ~ 1 b ~ 1 ) 一定成立吗？
是的.这是由于 o ( ab ) = o (( ab )~ l ) = o(6 - 1 a - 并且 o ( 6 _ 1 a _1 ) = o ( a—M - ^，
故 o ( ab ) = o ( a ~ 1 b ~ 1 ).
问题1.1. 5 7 群中元素 a 在 n 与 a 的阶有什么关系时， 有 a n = e ?
若 a 的阶为 m , 则 a n = e 当且仅当 m 整除 n .
问题 1.1.58 设群 G 中元素 a 的价为 n , k 为小于等于 n 的正整数，则下面
结论成立吗？
(1) 若 A : 整除 n ， 则的阶一定是
k
⑵若 A : 与 n 互素，则的阶一定是 n .
(3) a k 的阶一定是 gc d (: n ) ,这里 gcd ( A :， n ) 为 k 和 n 的最大公 因子.
是的.容易验证. ’
问题1.1. 5 9 在群中，元素的阶是多少？
对于 a G Z m ， a 的阶为 g ^ d (: m ) ，这里 gcd ( a ， m ) 是 a 和 m 的最大公因子.如
对于3 G Z30 , 有 o (3) = ^ = 10.
O
问题 1 . 1. 6 0 设 G 是群 ， g e G , a 的阶为 n = nin 2 , 并且〜与互素，则
一定存在 m 阶元素仍和 n 2 阶元素 P2 , 使得 g = gi 92 吗？
是的.既然 ni 与722互素，因此存在整数 p 和使得 pni + gri2 = 1 ，并且容
易知道 pni 三 1 (mod 112 ) fO qn 2 = 1 (mod 〜)，故
g = g pn ' g qn2 •
不难验证 P ni 的阶为712, P n2 的阶为 ^ 1 . 令 "1 =々 ni ， 夕 2 =分 712 ,则分= Plp2 , 并
-& 9192 = g29i-
1.1 群的定义
• 11 •
问题 1.1.61 设 G 是群 . g e G , a 的阶为 n = mri2， 并且 m 与 n2 互素，则
使得 g = gigs 的 rn 阶元素 pi 和阶元素仍，并满足 gig 2 = g 29 i 的仍 和仍一
定是唯一的吗？
是的.假设 g [， g ’ 2 e G , o ( g [) = n 2 , o ( g f 2 ) = n u g = g [ g ’ 2 , 并且 pi % = g ’ 2 g [. 既然
9 i 92 = 分 i %， 因此 (9 i 92 ) ni = ，故夕; 1 = ( M ) ni ， 从而， = ( M) pni •由于
分 2 和％的阶都是 n 2 , 并且 pm 三1 (mod n 2 ), 因而，仍 =%. 所以，由仍仍=
可得仍即唯一性 得证.
问题 1.1.62 设 G 是群 ， g e G , a 的阶为 n = nin 2 , 并且 n ! 与 ri2 互素，则
使得 P = 9192 的 rii 阶元素仍和722阶元素仍一定是唯一的吗？
不 一定. 在对称群 S 9 中，对于 g = (124)(35)(6789), 由于3个轮换都是不相交
的，故 g 的阶为3, 2和4的最小公倍数 12. 容易验证 12 = 3 x 4, 并且 g 可以有两
种不同的方式写成3阶元素和4阶元素的乘积.
gi = (124), g 2 = (35)(6789)
和
g [ = (123)，％ = (2435)(6789).
另夕卜，明显地，有仍仍/卿1_
问题 1.1.63 对任意自然数 n, 是否存在一个群 G, G 的阶就是 n?
是的.在加法下， Z n 是一个 n 阶的 Abel 群.
问题 1.1.64 若 G 是有限群，则 G 中阶为 3 的元素个数一定是偶数（包括 0) 吗？
是的. 若 a € (7, <9 ⑷ = 3, 则 a 3 = e, 因此 a _1 = a 2 ， 并且 a _1 # a ， 故在 (7 中，
3 阶的元素总是成对出现的.
问题 1.1.65 若 G 是有限群，则 G 中阶为 4 的元素个数一定是偶数 （包括 0) 吗？
是的.若 a G G ， o ⑷= 4,则 a 4 = e ， 因而 a _1 = a 3 ， 并且 a -1 / a , 故在 G 中,
4阶的元素总是成对出现的.
问题 1.1.66 若 G 是有限群，则 G 中阶大于2的元素个数一定是偶数（包括
0) 吗？
是的.理由同上.
明显地，任意群都包含阶为奇数的元素,实际上，单位元 e 的阶就是奇数.但如
果考虑下面的问题呢？
问题 1.1. 6 7 若 G 是奇数阶（大于 1) 的有限群，则除了 G 的单位元， G —定
包含阶为奇数的元素吗？
.12 •
第 1 章群 论
是的.如果 G 的阶是大于 1 的奇数，则存在 a G G，a / e . 由 Lagrange 定理可
知， a 的阶一定整除 G 的阶，因此， a 的阶一定是奇数.
问题 1.1.68 若 G 是偶数阶的有限群，则 G —定包含阶为2的元素吗？
是的.设丑 = a" 1 }, 则容易知道//的阶为偶数.由于 G 是偶数
阶的有限群，故 G 中满足 a = a - 1 的元素个数也是偶数，由 e = e - 1 可知一定还有
至少一个不是单位元的元素 & ，满足6 = 6- 1 ,所以，6为 G 中的2阶元素.
问题 1.1.69 设 G 是 n 阶的有限群，则一定存在从 G 到一个 n 阶循环群的
双射/,使得对任意 x G G ， 都有 x 的阶整除 f ( x ) 的阶吗？
不知道，这是 I. M. Isaacs 给出的公开问题 . F. Ladisch 己经证明当 G 是可解
群时结论成立.
1.2 子 群
1.2.1 子群的定义
问题 1.2.1 什么是子群？
设//是群 G 的满足下面两个条件的一个非空 子集：
(1) (乘法封闭）对//中的任意元 CZ 和6都有 M e
(2) (求逆封闭）对丑中的任意元 a 都有逆元 a- 1 G
则称 H 为 G 的一个子群.
问题 I . 2 . 2 设 H 是群 G 的子集，对 i / 中的任意元 a 和6 都有 ab e 则
H 一定是 G 的子群吗？
不一定.对于全体非零有理数 Q *， 在乘法下是群,全体非零整数 Z 是 Q * 的子
集，对 Z 中的任意元 a 和6都有 e Z , 但 Z 不是 Q * 的子群.
问题 I. 2 . 3 设//是有限群 G 的子集，对 i/ 中的任意元 a 和 6 都有肋 e //，
则 If 一定是 G 的子群吗？
是的. 这是由于对任意 ae a n e H 对任意正整数 n 都成立，但 G 是有
限群，故一定存在 n , 使得 a n = e ， 因此， ee H, 并且 a - 1 = a n ~\ 所以，丑一定是
G 的子群.
问题 1.2.4 空集是群 G 的子群吗？
不是 . G 的子群一定是 G 的非空子集.
问题 1.2.5 任意一个群都一定有子群吗？
是的.每个群 G —定有两个子群 { e } 和 G , 称为 G 的平凡子群.
1.2 子 群
• 13 •
问题 1.2.6 任意一个包含 3 个元素以上的群都一定有非平凡子群吗？
不一定.设 Z 3 = {5,了,5},则 Z 3 是一个加法群，但 Z 3 没有非平凡子群.
问题 1.2.7 若群 G 包含 3 个以上元素，并且群 G 没有非平凡子群，则群 G
一定是有限群，并且它的阶一定是素数吗？
是的.如果 G 不是有限群，由于存在 a 6 G , a / e , 故一定有 G =< a 〉，不然
的话，< a >就是 G 的非平凡子群.
由 G =< a 〉可知， G 有非平凡子群< a 3 〉，矛盾.所以 ， G —定是有限群.明
显地，若 G 的阶不是素数，则对于 | G | 的每个因子 A:，G —定有非平凡子群 < 〆 〉，
所以， G 的阶一定是素数.
问题 1.2.8 任意一个无限群都一定有非平凡子群吗？
是的.设 G 是无限群，取 a € G,a # e , 如果 o ⑷= n < oo , <0>是71阶有
限群，则// = { e , a , a 2 ,-.. - 1 }是 G 的真子群•若 a 的阶是无穷，则 K =< a 3 >
是 G 的真子群.
问题 1.2.9 非交换群的真子群都一定是非交换群吗？
不一定 . &是非交换群，但 S 3 的真子群// = {(1) ? (23)} 是交换群.
问题 1.2.10 交换群 G 的 n 阶元素全体和单位元 e 记为 H ， 则// 一定构成
G 的子群吗？
不一定.设 o ⑷= 8 ,G =< a >,记所有4阶元素和单位元 e 为//,则 a 2 e i /,
但 a 2 • a 2 的阶为 2. 因此 a 4 不属于//,所以， H 不是 G 的子群.
问题 1.2.11 非交换群 G 的 n 阶元素全体和单位元 e 记为//，则丑一定构
成 G 的子群吗？
不一定.设 G 为实数2阶满秩方阵全体在矩阵乘法下构成的群， G 的2阶元
素全体和单位元 e 记为付，对于
都是 G 的2阶元，因此 a , beH . U
ab =
0
( ab) n =
1 2 n
0 1
故 a 6 的阶是无穷， 从而 ab 不厲于 H , 所以， H 不是 G 的子群.
问题 1.2.12 交换群 G 的有限阶元素全体丑一定构成 G 的子群吗?
• 14 .
第 1 章群 论
是的.由于 a，6 G // 容易验证肋 G //， 并且 a— 1 G //， 所以，丑是 G 的
子群.
问题 1.2.13 非交换群 G 的有限阶元素全体一定构成 G 的子群吗？
不一定.设 G 为实数2 x 2可逆矩阵全体在矩阵乘法下构成的群 ， ♦ H 为 G
中所有阶有限的元素全体，则
' 1
-1
h -
' 1 1
0
-1
， 0 —
0 -1
都是 G 的2阶元，因此， a ，6 G //,但
1 2n '
0 1 *
故 M 的阶是无穷，因而 ， H 不是 G 的子群.
问题 1.2.14 若 H 是群 G 的子群 ， g G G , 则 gHg~ l 一定是 G 的子群吗？
是的.不难按子群的定义验证.
问题 1.2.15 二面体群 Dn 有哪些子群？
D n 的每个子群是循环群或者二面体群，它 们有：
(1) 循环子群< r d >，这里 d 整除 n . 子群 < r d > 在 L> n 中的指数为 2 d ;
(2) 二面体群子群< >，这里 d 整除 n,0 ^ i ^ d — 1 . 子群< r d ,r { s >
在中的指数为1
问题 1. 2 .16 设丑是实数加 法群. 若//是 H 的子群，则一定存在某个 a €尺，
使得// = {na | n = 0, 土 1，士 2 ，...}或者// 一定在7?中稠密吗？
是的.若//存在最小的正实数 a ， 则容易知道 H = {na\n = 0, il , 士2,…
如果//中没有最小的正实数 a , 那么一定存在正实数 〜 — 0,故// 一定包含 a n Z ,
因此，对任意 b e R 和任意小的 e 〉0,都一'定存在某个 n 和 a m ， 使得 |6 — na m | < er ,
所以 ， H 在 R 中稠密.这里的稠密是指实变函数论中的稠密.
问题 1.2.17 —个无限群都一定有一个无限交换子群吗？
不一定.这是 Kargapolov 提出的问题.实际上 ， m ^ 2和奇数的 n > 4381
时 ， Burnside 群 B(m ， n) 就是一*个反例.参见 ： Novikov P S , Adyan S I . On abelian
subgroups and the conjugacy problem in free periodic groups of odd order . Math .
USSR Izv .， 1968, 2(15): 1131-1144.
问题 1.2.18 有限群 G 的极大子群个数最多只有 | G | - 1 吗？
不知道.这是 Griess 提出的公开问题.
ab
2
0
， ㈣ 1
1.2 子 群
• 15 •
问题 1.2.19 设 A , B 是无限群 G 的子集，若存在 G 的无限子集 X ，使得
e G = X — 1 ,并且 XAXf]B = 0,则称4和 B 在 G 中是分离的 ( separated ).
若 G 的两个不相交的子集 A 和 B 满足 | 乂 | < | G |,| J 5| < | C |, 则 A 和 B —定是分
离的吗？
不知道.这是 Protasov 给出的公开问题.已经知道当 A 和 B 是有限子集，或
G 是交换群时，结论是成立的.
1.2.2 子群的性质
问题 1.2.20 子群有哪些判别法？
设//是群 G 的一个非空子集，若 ab~ l e H 对任意 a，b e H 成立，则 if 是 G
的一个子群.
问题 1.2.21 群 G 的子群的交集是子群吗？
是的.设 { H Q } aeI 是群 G 的任意多个子群，则= Oaei HG 的一个子
群.
问题1. 2 . 2 2 任意一个群的两个子群的并集都一定是子群吗？
不一定 • 之12是一个加法群， i/i = {0,3, 6, 9} 和丑 2 = {0, 4, 8} ^ Z 12 的两个子
群，但不是 Z 12 的子群.
问题1. 2 . 2 3 对群 G 的子群 一定有 HH = H 吗?
是的.由于//是子群，故容易知道//// g 反过来，由 e G //可知// =
eH C HH , 所以 ， HH = H .
问题 1.2.24 设 H 是群 G 的非空子集，并且 HH = H ， 则 H 一定是 G 的子
群吗？
不一定.设 G 是非零的有理数全体，则 G 在乘法下是群，若//是所有整数，则
HH = H , 但 U 不是 G 的子群.
问题 I . 2 . 25 设 H 是有限群 G 的非空子集，并且 HU = H , 则 H 一定是 G
的子群吗？
是的.由于好// = //，故//对于乘法封闭，因此对于任意 ae a n G H
对任意正整数 n 都成立.
由 G 是有限的可知，对％有 d G l = e . 由于对任意正整数 n , //包含所有的
a n , 故 e € 丑 .
由于对任意正整数 n ， i / 包含所有的 a ' 而是有限集合，故一定存在正整数
m > n , 使得 a m = a n , 从而， aa m_71-1 = e , 因此 a 的逆存在， a _1 = a m_n_1 G H ,
所以， // 一定是 G 的子群.
• 16 •
第 1 章群 论
1.2.3 中心化子
问题 1.2.26 什么是群 G 的中心化子？
设分是群 G 的一个元素，则集合 C ( g ) = {a e G 丨邮= pa } 称为 g 在 G 中的
中心化子 （ centralizer )， 设 Q G , 则集合 C ( S ) = {a G G | = 对所有 g 6 S }
称为 5 •在 G 中的中心化子. C { G ) 称为 G 的中心 ( center ).
问题 1.2.27 g e G 在群 G 中的中心化子一定是交换群吗？
不一定.若 G 是非交换群，则对于单位元 e ， 它的中心化子一定不是交换群.
问题 1.2.28 群 G 只有唯一的2阶元素 a , 则 a —定属于 G 的中心
C { G ) 吗?
是的. 对于任意 p G G , 由于 ( gag - 1 ) 2 = e ，故 gag -' = a , 因而 ， pa = ap 对任
意 gGG 都成立，所以 ， a e C ( G ).
问题 1.2.29 G 的中心 C ( G ) 有什么性质？
容易验证中心 C ( G ) 具有下面 性质：
(1) G 的中心 C ( G ) 是 Abel 群.
( 2 ) G 是 Abel 群当且仅当 G 的中心 C ( G ) 就是 G .
问题 1.2.30 设 G 是群， G 的中心 Z ( G ) = { a\ab = ba 对任意6 e G 都成立}，
若 e G ， xy G Z ( G ), 则一定有 xy = yx 吗?
是的. 由于 : ry G Z ( G ), 因此， ( xy)x = x ( xy ), xyx = xxy , 因此， x~ l xyx =
x ~ l xxy , 所以 ， xy = yx .
问题 1.2.31 设 G 是群， G 的中心 Z ( G )， 若 / 是 G 到 G 自同构，则 Z ( G )
一定包含 /( Z ( G )) 吗？
是的.设 a € Z ( G ), b e G , 则由 / 是 G 到 G 自同构可知存在 h e 仏使得
f<M =办，故
卜 f ( a ) = = f { ha ) = f ( abi ) = f ( a ) f ( bi ) = f ( a ) b .
因此， / ⑷ G Z ( G ), 所以， f ( Z ( G )) C Z ( G ).
问题 1.2.32 若 n 彡 3, 则二面体群的中心是什么？
若 n 彡3是奇数，则 D 的中心是 { e }. 若 n 彡3是偶数，则 D 的中心是 { e 7 rt }.
1.2.4 由集合生成的子群
问题 1.2.33 什么是群 G 的子集 S 生成的子群？
设 S 为群 G 的一个子集 ,令 < S > 为所有包含 S 的子群的交，那么< S 〉为
1.2 子 群
• 17 •
包含 S 的最小子群，称为 S 生成的子群.若 G =< S >，则称 G 由 S 生成.此时,
称 S 为 G 的生成元.
问题 1.2.34 什么情况下称 G 是有限生成的？什么叫循环群？
若群 G 由 一 ■个有限子集生成，则称 G 是有限生成的.若 G 可以由 一 个兀素 (2
生成，则称 G 为循环群 (cyclic group ). 记为 G =< a 〉•
问题 1.2.35 若 G 是有限群，则容易知道 G 是有限生成的.反过来，若 G 是
有限生成的，则 G —定是有限群吗？
不一定.如整数加法群 Z =<1> 是有限生成的，但 Z 不是有限群.剩余类整
数加法群 Z 3 =< J > 是有限生成的， Z 3 是有限群.
问题 1.2.36 有理数加法群 Q 是有限生成的吗？
不是.假如 g
Cn , 使得
A
ai
— >,则对于-~~-
a n Zd \( i 2 •
a ,
6 Q , 存在整数 d , c 2 ,
从而
Cl — +Ci— H - h C n —= - --
d\ CL2 a n la\a2
2 m
a.
d \ CL 2 * * * d \0 L 2' ' ' dn
这里 m 为整数，矛盾.所以，有理数加法群 g 不是有限生成的.
问题 1.2.37 有理数加法群 Q 的任意有限生成的子群一定是循环群吗？
是的.实际上，若 i / 是有理数加法群 Q 的子群，并且//是有限生成的，则存
在 Pi，qi ez , qi >0, 使得 //=< ?1，巧，…，仏〉.故
qi <72 qk
H=UiP i^ n 2 P i +
• • •
+ n k —
Qk
Hi E Z
^lPlQ2 • . • Qk + T^2P2QlQ3 • . • 奴 + • • • + ^kPkQ\Q2 * - - Qk-l
c
qiq 2 ' • qk
ne Z > =<
QlQ 2' ' 'Qk
1
Q1Q2 • •. qk
> .
n，i E Z
因此， // 是循环群的子群，所以 ，好 一定是循环群.
问题 1.2.38 有限生成的群的子群都一定是有限生成的吗?
不一定.设 G 是由实数矩阵
• 18 •
第 1 章群 论
生成的乘法群， H 在 G 中对角线元素都是1的矩阵全体构成的子群，则
G =
2 n
0
m , n , a : G Z
m
x £ Z
记
= o i
则 // = {M (2 m x) I m, x G Z}. 由于 M(x)M(y) = M(y)AI(x) = M(x + y), 故 // 是
G 的一个交换子群.假如 i / 由有限个元素 M (2 m m ) ，…，仏(2心”生成,令爪 0 =
rnin{mi, ••- ，m 7 .}， 则 M(2 m °- 1 ) e H , 但它不是 M(0), M(2 mi：El )， … ，A/(2 m ;) 和
它们的逆中有限个元素生成的，矛盾.所以，//不是有限生成的.
问题 1.2.39 设 G 是群， a, 6 G G, a 7 ^ 6, 若 afe = 6a ， 贝 1 J a 和 6 生成的子群
H =< a，b > 一定是交换群吗？
是的.对于任意正整数 m 和 n, 有 a m b Tl = a m ~ l {ab)b n ~ l = a rn ~ l (ba)b n ~ l =
… = b n a m • 因而不难验证对于任意正负整数 m 和 7T ， 都有 a m 6 n = b n a m 成立，又
因为//中的元素都具有 a m b n 的形式，所以，//是交换群.
问题 1.2.40 任意一个循环群的生成元都是唯一的吗？
不一定.整数加法群 Z 可以由1或-1生成.
问题 1.2.41 n 阶循环群的任意非单位元都是 G 的生成元吗？
不一定. 若 k 是与 n 互素的正整数，则 a k 是。 的生成元.
问题 1.2.42 Z m 有哪些生成元？
Zyn 的生成元刚好就是所有满足1彡 n 彡 m ， (71， m ) = 1的 n , 这里 ( n ,/ n ) = 1
是指 n 与 m 互素.
问题 1.2.43 任何一个循环群都是交换群吗?
是的.这是明显的.
问题 1.2.44 任意交换群都是循环群吗？
不一定.克莱因四元群 i ^4 是非循环交换群.
问题 1.2.45 若 p 是素数，则 p 阶群一定是循环群吗？
是的.对于任意 a 6 G ， a # e ， 设 H 为 a 生成的子群，则由 Lagrange 定理可知
问整除 | G | = p ， 因此，|//| = p , 因而, o ( a ) = p , 所以 ， G =< a 〉是循环群.
问题 1.2.46 若 p 是素数，则 p 2 阶群一定是循环群吗？
不一定.容易验证 Z 2 x Z 2 的阶是2 2 ,但它不是循环群.
1.2 子 群
• 19 .
问题 1.2.47 无限循环群的子群< ci m 〉和< a n 〉相等的充要条件是什么？
无限循环群的子群< >和< 〉相等的充要条件是 m = n 或 m = - n .
问题 1.2.48 若 s 整除 n ， 则 n 阶循环群的子群< V >和< 〉相等的充
要条件是什么？
n 阶循环群的子群< V 〉和< f 〉相等的充要条件是 r 与 n 的最大公因数
是 s .
问题 1.2.49 若群 G 的所有子群都是循环群，则 G —定是循环群吗？
不一定.如 G = {(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)} 在加法 ( a , b ) + ( c , d ) = (a + c ，6 + d )，
并且两个坐标都按0 + 1 = 1+ 0=1，1 + 1 = 0来进行计算，则 G 是加法群，并且
它的每个子群都是循环群，但 G 不是循环群.
问题 1.2.50 设 G 是交换群， H 和 K IG 的有限阶循环子群，并且|//|与
\K\ 互素，则 G —定有 | i /| • | AT | 阶的循环子群吗？
是的.若// =< a 〉, =< 6〉，|//|与 | K | 互素，则由 a 6 = 6 a 容易验证的
阶为问 • 叫，所以 ， S =< ab > 的阶为问 • 岡.
问题 1.2.51 无限循环群 G =< a > 有几个生成元？
无限循环群 G =< a > 有两个生成元 a 和 a - 1 .
问题 1.2.52 n 阶循环群 G =< a > 有几个生成元？
n 阶循环群 G =< a 〉有 v ?( n ) 个生成元，这里 ^{ n ) 为小于 n , 并且与 n 互素
的正整数个数，称为 Euler 函数.若正整数 r 与 n 互素，则 V 是 G 的生成元.
问题 1.2.53 S = ^ 1, • • • ，^"[，… 1 是有理数加法群 Q 的生成集吗？
是的.对于任意 —G Q , 由于
m
- 〜，
故二是若干个^的代数和，所以， Q 可以由 S 生成.实际上， S 的任意一个无限
m m \
子集都是 Q 的生成集.
问题 1.2.54 整数加法群 Z 的所有子群只有 {0}, Z ,2 Z ,3 Z , - .. ， nZ ， …吗?
是的.容易知道， {0}, 2 Z , 3 Z ， …， nZ , …都是 Z 的子群.
只需证明 Z 没有其他形式的子群.设//是 Z 的一个非平凡子群，则它含有
非零 整数. 由于//对求逆封闭，故//含有正整数.设 n 是好中最小的正整数.
则 nZ Q 对任何 m e H , 根据欧氏除法，存在整数 r 使 m = gn + 其中
. 20 •
第 1 章群 论
0 ^ r < n . 由于 r = m — 根据 n 的最小性推得 r = 0,故 m G nZ , 从而
H C nZ . 明显地， nZ" G //, 因而 nZ = //，所以， Z —定没有其他 子群.
问题 1.2.55 若群 G =< a > 是循环群，5 > 0,子群 i / =< a s ：>，则—定
是子群 H 中正整数幂最小的元素吗？
不 一 定.对于12阶的循环群 G =< a 〉，它的子群// =< a 8 〉= { e , a 4 ， a 8 }， 因
此，^不是子群//中正整数幂最小的元素， a 4 才是//中正整数幂最小的元素.
问题 1.2.56 设 G 为群， H，K IG 的循环子群，若 | 丑 | = |^|,但是 H 手 K ,
则是否一定有= { e } 呢？
不一定.设
G = Z 2 x Z 4 , H =< (1,3) >= {(0,0), (1,3), (0,2), ( T ， T )}，
K =< (0, T ) >= {(0,0),(0, I ),(0,2),(0,3)},
Wl \ H \ = \ K \, 但丑门夂 ={(0,0), (0,2)}.
问题 1.2.57 若群 G 的所有子群的交不等于 { e }, 则 G 有没有阶是无穷的元
素呢？
没有.设 K 是群 G 的所有子群的交， aeG , 并且 a 妾 e , 令札=<0} >，这里
i = 1,2,3,… • 则对于每个满 足执# { e } 的 i , 一定有 K 是私 的子群.由 K 是循
环群的子群可知 K 一 定是循环群，故存在某个固定的正整数 n , 使得 K =< # >.
由于< 〉是< (^ >的子群当且仅当 a n = ，故 i 整除 n 对每个满足好;# { e }
的 i 都成立.由 n 是固定的可知它的因子只有有限个，因而只有有限个 //i # { e },
故一定存在某个 j , 使得馬= { e }， 因此，由巧=< W 〉可知 d = e , 所以， a 的阶
是有限的.
问题 1.2.58 二面体群是两个非交换元生成的非交换群，反过来，任意由
两个2阶元生成的非交换有限群一定与二面体群同构吗？
是的.设 G =< a :，?/ >,x 2 = e,y 2 = e , 既然 G 不是交换群，因此 ， xy /
由于 G 是有限群，故: ry 的阶是有限的，记为 n . 设 a = xy , 6 = 则 （7 =
< x，y >=< xy, y >=< a , b >, 并且 a n = e , 6 2 = e.
由 a 的阶为 n 可知 n 整除 G 的阶，既然 b^<a>, 因此， | G | > n ， 又因为 6 的
阶为2，故 2 整除 | G |, 因此 | G | 彡 2 n . 假如 n 彡2，则 a 2 = e ，故 xyxy = e. 既然 a :
和 y 的阶都是2,因而 ， = y~ l x~ 1 = yx, 但这与: r 和不交换矛盾.故 n > 2.
既然 rr 和 ^/ 的阶都是2，故 bab~ 1 = yxyy = yx，a - 1 = y~ l x~ l — yx, 因此,
bab~ l = a- 1 •记 =< r, s | r n = e, s 2 = e，srs = r 一 1 >, 定义 f(r^s k ) = ，则
/ 为 Dn 到 G 的满同态，故 M 彡 2n ， 从而 ， |G| = 2n, 所以 ， G 与 D n 同构.
1.2 子 群
• 21 .
问题 1.2.59 若有限生成的群 G 有 n < oo 个极大子群，则 G —定是有限群
吗？若 n = 3呢？
不知道.这是 G . M . Bergman 给出的公开问题.
1.2.5 子群的乘积
问题 1.2.60 若丑 i 和 i /2 A 群 G 的子群，则一定是 G 的子群吗？
不一定.设历= { ⑴， (12)}, ^ 2 = { ⑴，( 23 )},则丑 i 和// 2 都是&的子群，并
且 HiH 2 = {(1)， （12), (23)，（123)}，但容易验证(123) 2 = (132) 不属于 因此
H x H 2 不是 A 的子群.
问题 1.2.61 设坧和// 2 是群 G 的子群.私迅是 G 的子群的充要条件是
什么？
设历和是群 G 的子群，则 1^11 2 是 G 的子群的充要条件为 H x H 2 =
h 2 h 1 .
实际上，若 H x H 2 = H 2 H u 则容易验证 H x H 2 对于乘法和求逆都封闭，因此,
IhH 2 是 G 的子群.
反过来，若 出也是 G 的子群，则对任意的 ae ^ i ,6 G // 2 , W
ba = (eb)(ae) 6 Q H X H 2 ,
从而 H 2 H x C h 1 h 2 .
由于 ae 时，据 出取是 G 的子群可知 {ab)- 1 e 历迅，故
ab= ((ab)- 1 )- 1 e (HM- 1 C H^H^ 1 C H 2 H U
因而， H x H 2 C H 2 H u 所以， H x H 2 = h 2 h 1 .
问题 1.2.62 若迅和是群 G 的子群，并且 H x H 2 = 付 2 孖1，则 h x h 2 = h 2 h 1
一定对任意 /ii e H u h 2 e H 2 都成立吗？
不 一定. 在四元数群 G 中，取丑 = K = {1,-1, -j}, 则它们都
是 G 的子群，并且 HK = KH = G, 但明显地，对于 i e i/, j G 有 ij 妾 ji.
问题 1.2.63 若 i/ 和尺是群 G 的子群，则 KH AG 的子群当且仅当 HK
是 G 的子群吗？
是的 . 若 HK 是 G 的子群，则对于任意 p G KH ， 有 h G H，k e K , 使得
g = kh. 由于开和 K 是群 G 的子群，故沒 — 1 = h~ l k~ l e HK. 由 //K 是 G 的子
群可知 g € HK, 所以 ， KH C HK.
由于 KH C HK, i/ 和 K 都是 G 的子群，故对于任意 h 6 H，k e K ， 有
n 1 eKH C HK, 因此存在 h eHMd 使得 n 1 = e HK, 因而，
hk = k^h- 1 e /a /, 即 HK C KH, 所以， KH = HK, 故 //K 是 G 的子群 .
. 22 .
第 1 章群 论
问题 1.2.64 设付和尺是有限群 G 的两个子群，并且 | 丑 | + | K | 〉 | G |， 则
一定有 G = HK 吗?
一定 . 明显地，对于任意分 G G ， 由于丑是子群，故 H~ l = H, 因此 IH- 1 ] = \H\,
由 \H~ l g\ = l //- 1 ! 有 iH^gl = |/f |. 由于 |i/| + |K| > |G |， 故 H~ l gf]K 不是空
集，因此存在 6 G H~ l g^[K, 所以，有某个 ae H, 使得 6 = a~ l g, 因而，分 = 吨即
G = HK 成立 .
问题 1.2.65 设丑和尺是有限群 G 的两个子群，并且 G = HK, 则一定有
| 丑| +叫> | G | 吗?
不一定.设 a 的阶为 6, 则 G =< a 〉是 6 阶循环群，对于 G 的子群 F =
{ e , a 2 , a 4 } 和尺= { e , a 3 }, 有 G =丑尺，但 |丑| + |尺| = 5 < |G|.
问题 1.2.66 设丑和尺是有限群 G 的两个子群，并且 \H\ 2 > \G\, \K\ 2 > |G|,
则一定有|//门尺|彡2吗？
是的 . 由于 \HK\ =
\jrni
i^n^r
所以， \ H ^[ K \^ 2 .
故|丑门尺| 2 =
H\ 2 \K\ 2
HK\ 2
冏 2
\HK\ 2
G\ 2
问题 1.2.67 设 I/,Ki 和 K 2 是群 G 的子集，则一定有 ^( Xi ( J ^2) =
好 K2 吗？
是的.对于任意 a e A " 2 ), W he ^ ke ^ U ^, 使得 a = / i / c .
若 /c e / G ，贝 Ij a = hke HK U 从而 d e HKXUHK 2 .
若 A : € 尺 2 ,贝 1 J a = hke HK 2 , 从而 a G HK^ HK 2 .
因此， H{K x l\K 2 ) C HK^ hk 2 .
反过来，对于任意 a e HKi\JHK 2 , 有 a e HK X 或 a G HK 2 , 若 a e 汉则
存在 heH,keK u 使得 a = hk ， 于是 keK 1 \jK 2 , 因此 ， a e i 7( i ^ i|J K 2 ).
若 ae HK 2 , 则类似可证 a e H{K x [j K 2 ). 因而 HK^ HK 2 C K 2 ).
问题 l. 2 . 68 设 和 K 2 是群 G 的子集，则一定有 H(K 1 C\K 2 ) =
丑尺2吗？
不一定.在对称群 S 4 中，取
则
H = {(1)，(12)}，心={(1)，(34)}，
K 2 = { ⑴，(12)(34)， (13)(24), (14)(23)},
H(K 1 f]K 2 ) = {(l)^12)}.
但
HK ^ H ^ = { ⑴，(12)，(34)，(12)(34)}，
1.2 子 群
• 23 .
所以 ，= H ^ f ] HK 2 不成立.
1.2.6 子群的进一步思考
问题 1.2.69 群可能是它的两个真子群的并集吗？
不可能.反证法.假设//和 K 是群 G 的两个真子群，并且 G = i / UK .
则一定存在 a i H、b 丰 K , 电 G = H[jK 可知，一定有 a e K,b e H . 由于
ab eG = H \ JK , 故 ^ € K 或 Me //. 如果 a 6 G K , 那么由 aeK 可得 a " 1 G K ,
因此 beK , 但这与前面的 b^K 矛盾.如果 e //，那么由 6 e 丑 可得 b - 1 e II ，
因此 aeH , 但这也与前面的 a ^ H 矛盾.所以，由反证法原理可知群 G 不可能是
它的两个真子群好 和欠 的并集.
问题 1.2.70 群可能是它的三个或四个真子群的并集吗？
有可能.一个群可能是它的三个或四个真子群的并集.实际上，对群 K 4 =
{(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}，取
丑1 = { ⑴，(12)(34)}， H 2 = { ⑴，(13)(24)}， H 3 = { ⑴， (14)(23)}.
则它们都是凡4的真子群，并且 K A =
另外，对于对称群5 3 = { ⑴，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，取
i ^ = {( l )，(12)}， 丑 2 = {(1)，(13)}， i / 3 = {( l )，(23)}， 丑 4 = {(1)，(123)，(132)}，
则它们都是 / Ci 的真子群，并且 S 3 =
问题 1.2.71 若群 G 只有有限多个子群，则 G —定是有限群吗？
是的.既然群 G 只有有限多个子群，因此 G 中所有元素的阶都是有限的，否
则 ， G —定有无穷阶的元 a ， 从而 G 有无穷多个子群，矛盾.
任取 ai € G , 则拓=< ai 〉是 G 的一个有限子群.取 ct 2 € G \ < ai >,则
H 2 =< > 是 G 的一个与 i / i 不同的有限子群.再取 a 3 € G \(< ai > U < a 2 >),
则丑 3 =< ⑽〉是 G 的一个与 // i 和/ / 2 都不同的有限子群.由于群 G 只有有限
多个子群，故上述过程只能做有限次，因而一定存在某个正整数 n , 使得
G = //! U ^2 U ••- U H n .
因为每个历都是有限的，所以 G —定是有限群.
问题 1.2.72 若循环群 G=<a> 是无限群，则 G —定有无限多个子群吗？
是的.实际上，对于任意素数 p ， i/ p =< # >都是 G 的子群，因此， G 有无穷
多个子群.
问题 1. 2 _73 若群 G 是无限群，则 G —定有无限多个子群吗？
• 24 •
第 1 章群 论
是的.若 G 只有有限多个子群，前面已经证明 G —定是有限群.
问题 1.2.74 若群 G 有且只有3个子群，则 G —定是循环群吗？
是的.明显地，若群 G 的阶是无穷，则 G —定不止只有3个子群，因此 ， G —
定是有限群.对于 G 中的非单位元 a , 丑=< a 〉是 G 的子群，若 G =< a 〉，贝 IJ G
是循环群.若 G #< a >，则对于 beG < a 〉，有 G =< 6〉，否则的话 ， K =< b >
是 G 的另一个子群,但这与 G 只有子群和 G 矛盾，所以 ， G —定是循环群.
问题 1.2.75 如果群 G 是有限生成的， G 中的元素的阶都是有限的，那么 G
是否一定是有限群？
不一定.实际上，这是 Burnside ® 在1902年提出的著名的猜想. Golod 在1964
年给出了否定的答案 ®.
容易看出， Abel 群的子群仍然是 Abel 群.
问题 1. 2 .76 若群 G 的所有（真）子群都是交换群，则 G —定是交换群吗？
不一定.所有真子群都是交换群的非交换群称为内交换群，如为就是内交换
群. Miller 和 Moreno 在1903年就研究了内交换群③.
1.3 置换群
1.3.1 置换群的定义
问题 1.3.1 什么是置换？
设 n 是一个自然数，从集合 {1,2,3,-.. ? n } 到它自身的一个双射称为 n 个文
字的 一 个置换 ( permutation ), n 个文字的置换全体记为乂.
用列表法可把一个一般的置换 a 表示为
/ 1 2 3 ••- n \
^ cr ( l ) a (2) a (3) … a(n) )
这里的 1, 2,3, • • • ， n 并没有数量上的意义，只是 n 个符号而已.
设 a,r G &规定 ar 为这两个映射的复合，复合的次序是先 t 后 a ， 即 ar 是
这样的映射，它把 i 映成 cr [ r ( i )\. 很明显， err 仍然是 {1,2, 3, ••- , n } 到其自身的一
个双射.
① Burnside W. On an unsettled question in the theory of discontinuous groups. Quart. J. Pure
Appl. Math., 1902, 33: 230-238.
② Golod E S. On nil-algebras and finitely approximable p-groups. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser.
Mat., 1964, 28: 273-276.
③ Miller G A, Moreno H C. Non-abelian groups in which every subgroup is abelian. Trans.
Amer. Math. Soc., 1903, 4: 398-404.
1.3 置换群
• 25 •
问题 1.3.2 什么是对称群和置换群？
S n 称为 n 个文字的对称群 （symmetric group), S n 的任何 一 个子群称为 一 个
置换群 (permutation group).
问题 1.3.3 什么是轮换和对换？
设 id 1 {1,2, 3, ••- ,n} 中的 d 个两两不同的文字， 若 a G S n 满足
冲 1) = <2， cr ⑹= <3,… = n ,
并且 a ⑷= i 对 {1,2,3,... ,n} 中的所有其他文字；成立，则称 a 为一个 d 轮
换 (cycle), 记成 ( hi 2 … i d )， d 称为该轮换的长度.特别地， 2 轮换 ( ni 2 ) 称为对换
(transposition).
问题 1.3_4 置换群中循环的表示唯一吗？
每个循环的表达方法不唯一. 在^中 ，有
(14235) = (23514) = (51423).
习惯上，总是将循环置换中出现的最小文字置在首位.
问题 1.3.5 什么情况下称两个轮换是不相交的？
若第一个轮换中的任何一个文字在第二个轮换中都不出现，则称这两个轮换是
不相交的.
问题 1.3.6 轮换 （ aiM … a n ) 的逆元是什么？
容易验证： （ ai<22 . • • a n )~ l = (a n a n _i - - - a2«i) = (aia n - - - a2).
问题 1.3.7 若轮换 a 和 （ j ) 是不相交的，则一定有 （70 = 0 a 吗？
是的.容易验证.
问题 1.3.8 若轮换 (7 和</>满足 (70 = 0(7 ， 则轮换 <7和 (/> 一定是不相 交 的吗?
不 一 定. 在对称群 A 中， 若 a = (123), (j) = (321 )，则 <70 = 0(7 = (1 )， 但 a 与 （/>
是相交的 .
问题 1.3.9 置换 a 的轨道是什么？
设 a 是一个置换，若存在整数 n , 使得 a n ( a ) = b , 则称 a , 6在同一个轨道上，
容易验证这是一个等价关系，每个等价类都称为 a 的一个轨道.不难证明，对于任
意 a ， 包含 a 的轨道为 ( a n ( a ) \ne Z }.
问题 1.3.10 置换 a 的不同轨道一定不相交吗？
是的.容易验证.
• 26 •
第 1 章群 论
1.3.2 置换的性质
问题 1.3.11 任何一个置换都一定可以表示成若干个对换的乘积吗？
是的.明显地，只需证明任意轮换都可以表示成若干个对换的乘积.设,
id 是不同的文字，贝 IJ 容易验证 ihi 2 ，，. id ) = ( n «2)(^3)*-(^-2^- i )( id - i ^). 如
(254) = (25)(54).
问题 1.3.12
置换表示成若干个对换的乘积的形式唯一吗?
2 3 4 5
5 6 2 4
) = (25)(54)(36) = (23)(25)(54)(43)(36).
问题 1.3.13 设 kh ，... 是不同的文字，则轮换 ( irh … U ) 的阶是多少?
容易验证轮换 0^2 • si d ) d = (1), 因此，轮换⑹ 2 ." id ) 的阶是 d
问题 1.3.14 对换 ( zi 2 2 ) 的阶一定是2吗?
是的.
问题 1.3.15 对换的阶一定是4吗？
不一定•如 (25)(54) = (254) 的阶是 3.
问题 1.3.16 两个轮换 a 和 p 的乘积 crp 的阶一定是 cr 的阶与的阶的最
小公倍数吗？
不 一定. 在对称群&中，3-轮换 a = (123) 和 p = (241) 的阶都是3,但
crp = (13)(24) 的阶不是3,而是 2.
问题 1.3.17 两个不相交轮换 cr 和/9的乘积 ap 的阶一定是 cr 的阶与 p 的
阶的最小公倍数吗？
是的.
问题 1.3.18 如何求置换 a 的阶？
将置换 a 写成不相交的循环的乘积，则置换 a 的阶为其不相交的循环的长度
的最小公倍数.
如 ^ 为 ( 1 : : : : = (254)(36). 因此， a 的阶为 6.
问题 1. 3 .19 设 n 彡 2 , 有两个元素的生成元吗？
有.设 a = (I 2 ) 和 t 二（ I 2 … n )， 则 a 和 T 生成 S n . 实际上只需证明任意对
换都可以写成 a ， 7* 以及它们的逆的复合，如 Tar -1, r 2 crr -2 , … .
问题 1.3.20 若 n 彡 3, 则 知 的中心 C ( S n ) 是什么？
容易验证，的中心 C(S n ) 是 （ 1)_ 对于 a G # (1 )， 则存在 i # 上 使得
1.3 置换群
• 27 •
cr ( i ) = j , 由于置换都是单射，故 (7()) # j . 既然 n > 3,故存在 k ^ j,k ^ a ( j ) 和对
换 p € 5 W , p 交换 j 和 A ：, 并且其他的都不变.若 cr ( j ) = m , 则 m ^ j,m ^ k , 故由
p 的定义可知 p 保持 m 不变. 因此， pcr ( j ) = p ( m ) = m = cr ( j ). 由 p 的定义可知
k = p ( j ), 故 cr ( k ) = crp ( j ). {B a ( j ) ^ cr (/ c ), 因而，任意不是⑴的置换都不在 & 的
中心 CO ^)， 所以， C ( S n ) = {( l )}.
问题 1.3.21 什么是偶置换？什么是奇置换？
设 a e S n ， 令 sgn ( cr ) = (―1产，其中&是集合
{( hj ) I 1 C < j 彡 n ， cr ⑷〉 a ( j )}
中元素的个数.把以上集合中的每个元素对 ( ij ) 称为 a 的逆序，因此 A : 就是 a 的
逆序数.若 sgn ( a ) = 1,则称 a 为一个偶置换，否则称为一个奇置换.
问题 1.3.22 若 n 是奇数，则 n 轮换一定是奇置换吗？
不是 . n 轮换一定可以写成 n - 1个对换的乘积，因此，它一定是偶置换.
问题 1.3.23 若 n 是偶数，则 n 轮换一定是偶置换吗？
不是 . n 轮换一定可以写成 n - 1个对换的乘积，因此，它一定是奇置换.特别
地，对换一定是奇置换.
问题 1.3.24 判断置换 cr 的奇偶性的常用方法是什么？
可将置换 a 写成对换的乘积，若一共有&个对换.则 a 的奇偶性可由 （-1 产
来确定.
问题 1.325 若置换 a 的阶是奇数，则 a —定是奇置换吗？
不是.若置换 a 的阶是奇数，则 a —定是偶 置换. 这是由于 sgn ( a ° ⑷）=
[sgn ( a )]+), 故 [sgn = 1 ? 故若置换 a 的阶是奇数，则 a —定是偶置换.
问题 1.3.26 若置换 a 的阶是偶数，则 a —定是偶置换吗？
不一定. 若 a = (12)，则 sgn ( a ) = - 1，故 a 是奇置换，并且 a 的阶是偶数 2.
问题 1. 3 . 2 7 置换 cr 的奇偶性与 a - 1 —定一样吗？
是的 • 若 a 是置换，则 sgn ( era -1 ) = sgn ( a)sgn ( a -1 )， 由 sgn ( era -1 )=
sgn (⑴ ）=1 可知，置换 a 的奇偶性与 a - 1 一样.
问题 1.3.28 若循环 a 的长度是奇数，则 a 2 — 定是循环吗？
是的.不难验证，若循环 a = ( aid2 … a a fc + i )， 则 a 2 = { a \ a ^ a ^ - - - a2k -\- i ^ 2 ^ 40'6
••• a 2/ k ). 因此， cr 2 —定是循环.
问题 1.3.29 若 p 和 t 是对称群&的元，则 ara - V - 1 一定是偶置换吗？
. 28 •
第 1 章群 论
是的.若 a 可以写成 r 个对换的乘积， t 可以写成 s 个对换的乘积，则 a - 1 也
可以写成 r 个对换的乘积， t - 1 也可以写成 s 个对换的乘积，因此, ara - V - 1 可以
写成 r + s + r-hs = 2 (r - j - 5 ) 个对换的乘积，所以， ar < j -1 r _1 一定是偶置换.
问题 1.3.30 什么是交错群？
S n 所有偶置换构成义的子群， 称为 n 次交错群 (alternating group), 记作 A n .
问题 1.3.31 S n 所有奇置换构成&的子群吗？
不能.这是由于奇置换与奇置换的乘积是偶置换.
问题 1.3.32 对于 A n 包含所有的 3 轮换吗？
是的.
问题 1.3.33 设丑 是乂 的子群，若丑包含奇置换，则 丑有多 少偶置换？
H 一定有个偶置换.这是由于//包含奇置换 a , 故对于任意奇置换 a ,
era 一定是//中的偶置换，并且，对于 if 中的奇置换 G 0时，一定有
era 參 ap , 因而，丑中奇置换与偶置换的个数是一样的， 所以 ， H 一定有^个偶
置换.
问题 1.3.34 设好 = {a | a G = 1}, 则丑一定是&的子群吗？
是的.容易验证.
问题 1.3.35 设 H 是 S n 的真子群，则一定存在1彡 m 彡 n ， 使得 H = {a \ a e
义,(7(771) = m } 吗？
不 一定. 对于对称群 S 3 的真子群// = {(1), (132), (123)}, 不存在 1 彡 m 彡 3,
使得 H = {a \ a e 53, cr ( m ) = m }.
问题 1. 3 .36 二面体群 D 2n 是什么？
平面上的正 n 边形 （n > 3) 的全体对称的集合 D 2n , 它包含 n 个旋转和 n 个反
射 （沿 n 条不同的对称轴) . D 2ti 对于变换的乘法构成一个群，称为二面体群 I >2 n ,
它包括 2 n 个元素.
用 a 表示绕这个正 n 边形的中心沿逆时针方向旋转 t 的变换，用6表示沿
某一预先指定的对称轴/所作的仿射变换，则 U
D2n — < a , b I a n = 1, 6 2 = 1, 6~ 1 a 6 = a -1 > .
问题 1.3.37 二面体群 D 4 与对称群 S 4 的子群同构吗？
是的 • 二面体群 D 4 =< r ，/ 〉，并且 / 2 = l , r 4 = 1 ,/r = r ~ l f , D 4 可用 S 4 的
8 阶子群来表示，可记为 -
1.4 陪 集
. 29 •
D 4 = { ⑴， (1234), (12)(24), (1432), (24)，(14)(23)，(13)， (12)(34)}.
令 r = (1234)，/ = (24)，则容易验证 £>4 =< r , / >.
问题 1.3.38 二面体群 D 4 有哪些子群？
二面体群 D 4 有 8 个真子群，分别为
Hi = {⑴，(13)}， H 2 = {(1)，(24)}， H 3 = {(1), (12)(34)}，
{ ⑴，(14)(23)}， Z = {(1)， (13)(24)}, C = { ⑴， (1234)，(13)(24), (1432)},
Ni = { ⑴, (13)，(24)，(13)(24)}, N 2 = { ⑴, (12)(34)，(13)(24), (14)(23)}.
1.4 陪 集
1.4.1 陪集的定义
问题 1.4.1 什么叫陪集？
设//是 G 的一个子群， a 是 G 中的一个元素，记 a // = { a/i | /I e i /} 和
//a = {/ia I /i € //}, 则 a// 和分别称为 H 在 G 中的左陪集 （left coset) 和右
陪集 (right coset).
问题 1.4.2 设 H 是 G 的一个子群，则 G 的左陪集和右陪集 Ha IG
的子群吗？
不 一定 . 设 H = { ⑴，(13)}，则 H 为 S 3 的子群，但 (12)H = {(12)，(132)}，因
此陪集 (\2) H 不是&的子群.
问题 1.4.3 设//是 G 的一个子群，则 G 的左陪集 a// 和右陪集丑 a —定相
等吗？
不一定 . // = { e , (123), (132)} 是 S 3 的子群， {12)H = {(12), (23), (13)} 是 // 的
一个左陪集，但 H{12) = {(12), (13), (23)}.
问题 1.4.4 设 H 是 G 的一个子群，则 G 的互不相同的左陪集的个数与互不
相同的右陪集个数一定相等吗？
是的.对于 a G G ， 定义^ Ha~\ 则不难验证 p 的定义是合理的，即
aH = bH Bt, 一定有 ^p(aH) = ip(bU). 容易证明 p 是一个一一对应，所以， G 的互
不相同的左陪集的个数与互不相同的右陪集个数一定相等.
1.4.2 陪集的性质
问题 1. 4 .5 设 a，b e G ， H 是 G 的子群，则//， a// 和 6// 有相同的元素
个数吗？
• 30 •
第 1 章群 论
是的.这是由于对任意 a,b e G , 映射/ : ai / —* bH,g i -> ba ~ l g 是双射，因此，
a // 和6好有相同的元素个数.
问题 1.4.6 设 HAG 的一个子群， a ，6 e 若 ai / = 6//， 则一定有 a = b 吗？
不一定.在 S 3 中,对子群丑= { ⑴,(132)，(123)}，有
(13 )if = {(13),(23)，（12)}，
(23)//= {(23), (12), (13)},
因此， (1 S)H = (23)7/，但 (12) — (23).
问题 1.4.7 设//是 G 的一个子群 ， a 关 H, 则 G 的左陪集 aH 和 U 有公共
的元素吗？
没有.假如 h € Hf ] aH , 则存在 /n € a //， 使得 /i = ah u 故 a = hh: 1 e H ， 但
这与 a i H 矛盾，所以 Hf ] aH 是空集.
问题 1. 4 .8 设//是 G 的一个子群， a, be G ，若6 不是 aH 中的元素，则 G
的 A 梏集 aH 和 bH 有公共的元素吗？
没有.从下面问题的证明容易看出.
问题 1.4.9 aH = bH 当且仅当 a~ l be H
是的. 设 aH = bH ， beaH , 因此存在 he H 、 使得6 = a / i , 所以 a~ l b = h e H •
反过来，设 a~ l b 6 H , 令 h = 则 h 6 H , 椒 b = ah 6 aH . 从而 [ a //.
另外， b~ l a = { a ~ l b)~ l G H , 因此， ai / Q 所以 aH = bH .
问题 1.4.10 若 aHClbH 不是空集，则 aH = bH 成立吗？
是的.设 C e 则存在 h ai h b e H , 使得 c = ah a = bh b , 故对于任意
ah G aH , 有 ah = a ( h a h~ l )h = ah a ( h ~ l h ) = ( bhb )( h ~ l h ) = b { hbh ~ l h ) G bH ^ 因此，
aH C bH . 同理可知 Q a //， 所以， aH = bH .
问题 1.4.11 设 H A G 的一个子群， a ，6 e G , 若 a // = bH , 则一定有
a 2 H = b 2 H 吗 1
不一定.设乃4为二面体群，的8个元素如下：
Po = (1), Pi = (1234)，
P2 = (13)(24), p 3 = (1432),
"1 = (12)(34), " 2 = (14)(23),
Si = (13), 62 = (24).
令 // = { po ，"2}， 则 Pi 丑 = 心好 = { pi ，〜}， 并且 p\H = p 2 H = { P 2，" l }， 但
^2^ = PqH = H = {p 0 ，" 2 }.
1.4 陪 集
• 31 .
问题 1.4.12 设孖是 G 的一个子群， a，b 6 G ， 苦 Ha = bH , 则一定有
aH = bH , 并且 Ha = Hb 吗?
是的.由于= iifa , 槪 b 三 bH = Ha , 因此，6 G 因而存在 h E H ，使得
b = ha . 容易知道丑6 = H ( ha ) = { Hh)a = Ha . 同理可以证明 a // = 6//.
问题 1.4.13 设 H 和 K 是 G 的子群， a，b e G ， 苦 aH = bK , 则一定有
H = K 吗?
是的.由于 aH = bK,Wi H = a ~ l bK , 因此 a~ l b = a~ l be G a~ l bK = H .
♦ h = a — h , 贝 lj if = hK ， 因此 hr 1 H = K ，从而 h~ l H = h ~\ hK ) = X ■由丑
是子群和 /i = a~ l b G H 可知 hr 1 H = H , 所以 ， H = K .
1.4.3 Lagrange 定理
问题 1.4.14 什么是子群丑在 G 中的指数？
群 G 的子群//的陪集个数称为//在 G 中的指数 ( index ), 记作 [ G : i ^， 这里
的 [G :冽可以是某个自然数或 oo .
问题 1.4.15 若 | G | = oo , 则对于 G 的任意非平凡子群丑，指数 [G : —定
无穷吗？
不一定.对于整数加法群 Z 和它的子群 3 Z , 有 [Z : 3 Z ] 二 3.
问题 1.4.16 存在群 | G | = oo , 对于 G 的任意非平凡子群丑，指数 [ G : H \-
定有限吗？
存在.设 G =< a 〉为无限循环群，则对 G 的任意非平凡子群// =<⑼>，
这里 m 为 H 中所含元素的最小正指数.不难验证 G =
且对于任意 i 兴 j , 有 a l H ^ H 是空集，所以，指数 [G : H ] —定是 m .
问题1. 4 .17 存在无限群 | G |， 对于 G 的任意真子群 H ， 指数 [G : //] 都是无
穷吗？
是的.有理数加法群对于 G 的任意真子群好，指数 [G : 都是无穷.
问题 1.4.18 什么是 Lagrange 定理？
Lagrange 定理 ：设丑 是有限群 G 的一个子群，则 | G | = \ H\[G : H }.
问题 1.4.19 设 G 是一个 n 阶有限群， a e G ， 则 a 的阶整除 | G | 吗？
是的.明显地，对于 a e G ， 有 | < a > | 整除 | G |， 因此， o ( a ) = | < a > | 一定
整除 | G |.
问题 1.4.20 设 (7 是一个71阶有限群， m 整除 n , 则一定存在 m 阶的元素
a G G 吗？
• 32 •
第 1 章群 论
不一定 • 交错群山的阶为 12, 6 整除 12, 但 A 4 = {(1)，(12)(34)，(13)(24)， (14)
(23)，(123)， (132), (124), (142)，(134)，(143)，(234)，(243)}， 山有 3 个 2 阶元素 (12)(34)，
(13)(24) 和 (14)(23)， 有8个 3 阶元素 (123), (132), (124)，(142)，(134)，（143)， (234) 和
(243), A 4 没有6阶的元素.
问题 1.4.21 设 G 是有限循环群，对于任意整除 | G | 的 m , G —定有阶为 m
的子群吗？
是的. 设 G =< a 〉， 贝 IJ = e ，若 m 整除 |(^|， 则存在整数 A :, 使得 | G | = / cm ，
因此，对于 b = a k ，有 b m = e, 所以，//=<6>为6的爪阶子群.
问题 1.4.22 Lagrange 定理的逆命题成立吗？
不成立.给定一个有限群 G 和一个整除 G 的阶的整数 m ， G 并不一定有阶数
为 m 的子群.对称群&中所有偶置换所构成的群 A 4 , 它的阶是12,但对于12的
因数 6, 山没有 6 阶的子群.
问题 1. 4 . 2 3 什么样的群是 Lagrange 的？
设 G 为有限群，若每个整除 G 的阶的整数 m，G —定有阶数为 7 n 的子群，则
称群 G 是 Lagrange 的.
这类群的研究可见 McLain D 和 Humphreys J F ②的文章.
问题 1.4.24 设 G 是有限群，若对于任意整除 |G| 的 m ， G 最多只有一个阶
为 n 的子群，则 G —定是循环群吗？
是的. 定义 Euler 函数0⑻为 {1 彡 a 彡 /1 | gcd ( a ,/ i ) = 1} 的元素个数，则 n
与 m 互素时，有 0( mn ) = 0( m )0( n ), 并且 n = ⑷.
对于^ e G , o ( g ) = n , 子群< g 〉有 ( j )( n ) 个生 成元. 由于 （7 对每个 n 都只
有唯一的 n 阶子群，故证明任意 n 阶元都一定属于 < g >， 从而 ，< g > 一 定包含
0(n ) 个阶为 n 的元素，因而 G 也一定包含 0(n) 个 n 阶的元素.故= Z d | n G 中 n
阶的元素个数= Ed \ n ^ d H d )^ 这里当 G 有 d 阶元时， £(d) = 1;否则 e ⑷= 0.另
一方面，由于 n = 故 e(n) = 1，从而， G —定包含 n 阶的元素，所以， G
是循环群.
1.4.4 Lagrange 定理的应用
问题 1.4.25 素数阶的有限群是循环群吗？
① McLain D H. The existence of subgroups of given order in finite groups. Proc. Cambridge
Philos. Soc” 1957, 53: 278-285.
② Humphreys J F. On groups satisfying the converse of Lagrange’s theorem. Proc. Cambridge
Philos. Soc. ， 1974, 75: 25—32.
1.4 陪 集
• 33 .
是的.若 G 的阶为素数 p , 则对于 a G (7, a / e ， 有 o ( a ) 整除 p ， 因此， 0 ( a ) = p ，
所以， G =< a > 是循环群.
问题 1.4.26 有限循环群的阶一定是素数阶吗？
不一定 . Z 8 是循环群，但它的阶不是素数.
问题 1.4.27 若有限群 G 的阶为两个素数 p 和 g 的乘积，则 G 的真子群一
定是循环群吗？
是的. 若 H 是 G 的真子群，贝 U 问整除 w , 因此，问=1 ,或问= p ，或
所以， i / 一定是循环群.
问题 1.4.28 若有限群 G 的阶为 8, 则 G —定有 2 阶的元素吗？
是的.对于任意 a € G ， 有 o(a) | 8, 因此 ， o ⑷ 只能是 1,2,4 或 8. 如果 a 是 8
阶元，那么 6 = a 4 是 G 的 2 阶 元素； 如果 a 是 4 阶元素，那么 6 = a 2 是 G 的 2 阶
元素； 如果 G 没有 4 阶和 2 阶元素，则 G 只有 1 阶和 2 阶元素，从而一定有 7 个
2 阶元素.
问题 1.4.29 若群 G 只有 11 个真子群，则 G 的阶是多少？
含有11个真子群的群只有阶为 P 12 的循环群，这里 p 是素数，这是 Miller G
A 在1939年证明的.①
问题 1.4.30 任意6阶群 G 有且只有一个 3 阶子群吗?
是的.假如 G 中所有非单位元都是2阶元，则 G 是交换群，对于非单位元
a，b e G，a ★ b, 由于 是 2 阶兀，故 abab = (ab ) 2 = e , 因此 // = { e ， a , 6, a6 } 是 G
的一个 4 阶子群，但这与 Lagrange 定理矛盾.因而 ， G —定有3阶元或6阶元仏
因此，心=< 分〉二 { e , g , g 2 } 或 K 2 = { e , g 2 , g 4 } 是 G 的3阶子群.如果 G 有两个
不同的3阶子群//和那么，//门 K 是 G 的子群，并且由 Lagrange 定理可知只
能是1阶的，故 Hf]K = { e }. 因而 | G | 彡 \HK
盾，所以， G 有且只有一个3阶子群.
= 9,与 G 是6阶群矛
M \\ K
问题 1.4.31 设 H ， K 是群 G 的两个有限子群 ， HK 一定是 G 的子群吗?
不一定 • 在灸={(1)，(12)，(13)，(23)，(123)， (132)} 中， H = {(1),(12)}, K =
{(1)，（13)}是而的子群，则不是&的子群.这是由于 = {(1)}，|//| =
2, \ K \ = 2，故
HK =
纖 = 4
① Miller G A. Groups which contain ten or eleven proper subgroups. Proc. Nat. Acad. Sci.
U. S. A., 1939, 25: 540-543.
• 34 •
第 1 章群 论
从而丑尺= { ⑴，(13)，(12)， (132)}. 由4不能整除6和 Lagrange 定理可知，//尺不
是 S 3 的子群.
问题 1.4.32 任意 4 /C + 2 阶群 G 有可能存在两个不同的可交换的 2 阶元吗？
不可能.实际上，若 a , be G ， a 妾 b 都是 G 的2阶元 ，则丑 = { e ， a ,6， a 6} 是 G
的一个4阶子群，但由 Lagrange 定理可知4整除 4 /c + 2, 矛盾. 所以， 4 /c + 2阶群
G 不可能存在两个不同的可交换的2阶元.
问题 1.4.33 什么是 Fermat 小定理？
Fermat 小定理 若 p 是素数，并且 a 不是 p 的倍数，贝 1 J
a p_1 = l(mod p).
由于 p 是素数，故= {1,2,...,^!} 在乘法下是一个乘法群.由 a 不是
v 的倍数可知吞 e Z ;, 从而互的 Igl 次方等于 T , 故= ㈤ p - 1 = 了，所以，
(a) p_1 = l(mod p).
问题 1.4.34 不直接计算，能否判断 123456789123456789 x 234567891234567891
等于 28958998683279996179682996625361999 是否成立？
可以，由于 10三 1 (mod 9),100 三 1 (mod 9)，...，故 123456789123456789 =
1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 三0 (mod 9), 但
2+8+9+5+8+9+9+8+6+8+3+2+7+9+9+9+6+1+7+9+6+8+2+9+9+6+6+2+
5 + 3 + 6+1+9 + 9 + 9三8 (mod 9)，所以，123456789123456789 x 234567891234567891
等于 28958998683279996179682996625361999 不成立.
问题 1.4.35 如何求出 ： r (0 d < 9), 使得整数 3 x 4567 被9整除？
由于 10 n 三1 (mod 9), 故9整除 3 + X + 4 + 5 + 6 + 7 时， 3 x 4567 被9整除，故
9整除25 + X ， 所以， x = 2.
问题 1.4.36 设 m 是正整数，若 a € Z m ， 并且 a 与 m 互素，则对于每个
b G Z m , 方程 ax = 6在 Z m 中都有唯一的解吗？
是的. 若 a 与 m 互素，则 a 是 Z m 中的乘法可逆元，因此，存在 a - 1 e Z m ，使
得， a~ l ax = a _1 6, 所以, a : = a~ l b 是方程的唯一解.
问题 1.4.37 设 m 是正整数，若 a e Z m , 对于每个6 G 在什么情 况下，
方程 ax = 6在 Z m 中有几个解呢？
设 d 为 a 和 m 的最大公因子，则方程 ax = b 有 d 个解的充要条件是 d 整除
b . 实际上， 若 s e Zm 是方程 ax = b 的解 ，则 as — b = qm , 故 6 = as — gm . 既然
d 整除 a 和 m , 因此 ， d —定整除 as - < ym , 所以 ， d —定整除 6. 反过来，若 d 整除
6,则存在 ai ，6 i ， mi , 使得 a = a \ d , b = bid，m = mid . 故方程 as = b (mod m )， 即
1.5 正规子群
. 35 •
as = b + qm 可以在 Z 中写成 d(ais — b \) = dqm \. 因此 ， as — 6 是 m 的倍数当且
仅当 ais - 卜是叫的倍数.故方程 aa : = 6 在中的解 s 就是=卜在 Z mi
的解.如果 s € Z mi 是方程 a # = h 在 Z mi 的解，则不难验证
s，s + mi, s + 2mi, …， s + (d — \)m\
就是方程 ax = 6在 Z m 的 d 个解.
问题1. 4 . 3 8 如何求方程 7 x = 2 (mod 8) 在 Z 8 中的解？
由于 7- 7 = 49 = 6- 8+1 ? 故在剩余类群中，有7的逆为7,因此，由
7 x 三2 (mod 8) 可知7 • 7 x 三7 • 2 (mod 8)，故 a : 三7 • 7 x 三7 • 2三 14三6 (mod 8),
所以， x = 6 .
问题 1.4.39 如何求方程 15 x = 6 (mod 18) 在 Z 18 中的解呢？
由于15和18的最大公因子为 d = 3，并且 d 整除6，故方程 15 a : 三6 (mod 18)
有3个解.
容易知道方程 5 x = 2 (mod 6) 有解 x = 4, 因而4,4 + (3 - 2) • 6,44 + (3 - 1) • 6
是 15 x 三6 (mod 18) 的解. 所以，方程 15 x 三6 (mod 18) 在 Z 18 中有3,1—0,1 _ 6这3
个解.
问题 1.4.40 如何计算8 97 被 13 除的余数？
由费马小定理，有8 13-1 = 1 (mod 13)，因此，8 97 = (8 12 ) 8 • 8三8 (mod 13) •所
以，8 97 被13除的余数一定是 8.
1.5 正规子群
1.5.1 正规子群的定义
问题 1.5.1 什么是正规子群？
群//为 G 的子群，若对任意的 a G G ， 都有= // a , 则称 H 为 G 的一个正
规子群 (normal subgroup ), 记作 H < G .
问题 1.5.2 如何判断 G 的子群 H 是正规子群？
设//是群 G 的子群，则付是群 G 的正规子群当且仅当 aHa - 1 = H 对任意
aeG 成立.
问题 1.5.3 设 H AG 的子群，若对于任意 aeG, 都有则//
是 G 的正规子群吗？
是的. 若对于任意 a e G , 都有 a~ l Ha C H , 则对于任意 h e H , 任意 a e G ,
由 aHa - 1 C H 可知 A ： = aha — 1 e H ， 因而 /i = a~ l ka G a ~ l Ha , 因此， // Q a — 1 Ha ,
• 36 •
第 1 章群 论
所以， a - 1 Ha = //，即//是 G 的正规子群.
问题 1.5.4 设 H AG 的子群，若对于某个 aeG , 有 f //，则//是
G 的正规子群吗？
不一定 • H = {(1),(12)}是对称群&的子群，明显地，对于 a = (12) e H ， 有
a~ l Ha Q 但 If 不是 S 3 的正规子群.
问题 1.5.5 若的是// 2 的正规子群，// 2 是 G 的正规子群，则仏是否一定
是 G 的正规子群呢？
不一定 • 容易验证，丑 i = { e , (12)(34)} 是 H 2 = { e ， (12)(34)，(13)(24)， (14)(23)}
的正规子群，// 2 是对称群 S 4 的正规子群，但不是对称群 S 4 的正规子群.
问题 1.5.6 若//是群 G 的子群， K 是群 G 的正规子群，则 Hf]K 一定是
G 的正规子群吗？
不一定.设 D 4 是二面体群，则 Z >4 的8个元素 如下：
Po — (1)? Pi = (1234),
P2 = (13)(24), p 3 = (1432),
Mi = (12)(34), / i 2 = (14)(23),
Si = (13), S 2 = (24).
设 G = D^,K = { po , P 2, Mi ? ^ 2 }? H = { po , Mi }, 则 K 是 G 的正规子群， // 是 G 的
子群，但不是 G 的正规子群.
问题 1.5.7 若 H 是群 G 的子群 ，尺 是群 G 的正规子群，则 HC\K 一定是
K 的正规子群吗？
是的.容易验证.
问题 1.5.8 设 H 是群 G 的子群，若指数 [G : = 2,则// 一定是 G 的正
规子群吗？
是的. 当 a G 丑时，明显地， 有 aH = Ha . 若 a 多 i /, 贝 lj aH 是 H 的一个不同
于 H 的左 陪集. 由于 [G : = 2 , //在 G 中只有两个左陪集，故 aH = G \//. 同
理 i/a = G \ H 、 所以 ai / = i / a , 因此丑是群 G 的正规子群.
问题 1.5.9 设//是群 G 的子群，若指数 [G : if ] = 3,则尺一定是 G 的正
规子群吗？
不 一定. 对于 S 3 的子群好={(1),(12)}, W [ S 3 : H ] = 3, 并且 (123)// =
{(123), (13)}， H (123) = {(123)，(12)}，因此 (123) 丑— 丑(123)，所以，丑不是^ 的正
规子群.
1.5 正规子群
. 37 •
问题 1 .5.10 设丑是群 G 的正规子群，若指数 [G : if ] = m ， 则 a m e H —
定对任意 aeG 成立吗？
是的.设 Cl G G ， 则由 [G : = m 可知商群 G / H 的阶一定是 m ， 因此， a // 的
阶整除 m , 故 ( ai/) m = H , 因而， a^H = ( aH )^ = H , 所以， a m G 丑.
问题 1.5.11 设 //是有限群 G 的正规子群， [G : H } = m , \ H \ = n , 并且 m 与
n 互素，则对于任意 G 中满足 a n = e 的元素，都有 aeH 成立吗？
是的.由 [G : H ] = m 可知商群 \ G / H \ = m , 故由 Lagrange 定理可知，对于任
意 a € G ， ai / 的阶 一 定整除 \ G / H \ = m . 另外，由于 a n = e ， 故 { aH) n = H ,
因此， o ( aH ) ―■定整除 n , 因而，由 m 与 n 互素可知 o ( a //) = 1,所以， aeH .
问题 1.5.12 设 H 是有限群 G 的正规子群， [G : H ]= m ,\ H \= n , 并且对于
任意 G 中满足 a n == e 的元素，都有 aeH 成立，则 m 与 n —定互素吗？
不 一 定.若 G =< a >, a 8 = e , H = { e , a 2 , a 4 , a 6 }， 则 [G : H ] = 2, \ H \ = 4,并
且 G 中，满足 6 4 = e 的元素只有 a 2 , 并且 a 2 G if , 但 2 和 4 不是互素的.
问题 1. 5 .13 设//和尺是群 G 的正规子群，若//门尺= { e }， 则 ab = ba —
定对任意 aeH . beK 成立吗？
是的.设 a G //, 6 G 则 aba ~ l b~ 1 = ( aba ~ 1 ) b~ 1 G 并且 aba ~ l b~ 1 =
a { ba ~ l b ~ l ) 6 H y 因此， aba ~ 1 b~ l € If 门 K ， 故 aba ~ 1 b~ 1 = e , 所以， ab = ba —•定对
任意 a eH . beK 成立.
问题 1.5.14 设 // 和尺 是群 G 的正规子群， 若 ab = ba 对任意 aeH.beK
成立，则 Hf]K = { e } 一定成立吗？
不 一定. 设加法群 G Z ㊉ Z ㊉ 乙// = {0} ㊉ Z ㊉ 乙 K = z ㊉ { O }0 Z ，则
MUM ae H,be K , W 肋=化，但 = {(o,o,o)} 不成立 .
问题 1.5.15 设 G 是群，若存在大于1的正整数71，使得对于任意 a ,6 G G ,
都有 ( ab) n = a n 6 n ，则 H = { a n \ aeG } 一定是 G 的正规子群吗？
是的.由于对于任意 a , 6 G 都有 a = O =叶，故 ab - 1 = a ^ b ^ 11 =
G H , 因此 ， H 是 G 的 子群. 另外，对于任意 g e G,a = e H , 都有
gag - 1 = ga ^ g~ l = ( ga ig - l ) n e H , 所以 ， H 是 G 的正规子群 •
问题 1.5.16 设 / 是群 Gi 到群(^ 2 的同态，则对于的正规子群 NJ ( N )
一定是 /( G ^) 的正规子群吗？ /( TV ) 一定是 G 2 的正规子群吗？
设/是群 Gi 到群 G 2 的同态，则对于的正规子群 7 V ， 由于对于任意
9 € /( Gi ), W a G G 1? 使得 / ⑷= p ，故 gf ( N ) g - 1 = f [ aNa -、= /( iV ), 所以，
f ( N ) 一定是 /( GO 的正规子群.
. 38 •
第 1 章群 论
但设/是群 G 到群 C 2 的同态，则对于 G 的正规子群 NJ ( N ) 不一定是 G 2
的正规子群.例如对于 Q = Z 2 ， G 2 = S 3 , 定义/为/⑼=(1),/(1) = (12)，则/
是同态，并且 G 是 Q 的正规子群，但由于 f ( G x ) = {(1)，（12)}，故对 （13) € 有
(13)(12)(13) - 1 = (23) g /( Gi ), 因此 f ( Gi ) 不是 S 3 的正规子群.
问题 1.5.17 对于群 G 的子群 H , 若对于任意 G 到 G 的自同构/，都有
f ( H ) = H , 则称//是 G 的特征子群 （characteristic subgroup ). G 的特征子群一定
是 G 的正规子群吗？反过来呢？
是的.容易知道 G 到 G 的共轭映射 f:a — gag - 1 都是自同构，因此，对于任
M 9 eG , 都有 f ( H ) = gHg - 1 = 所以， H 的正规子群.
G 的正规子群不一定是 G 的特征子群.例如当 K 是群时，考虑 G = K x A ' 则
// 二 { e } x K 是 G 的正规子群，但由于//在自同构/ : ( a ,6) — ( b , a ) T , f ( H ) = H
不成立，所以，//不是 G 的特征子群.
1.5.2 商群的定义
问题 1.5.18 什么是商群？
设//是群 G 的正规子群，//的所有陪集在运算 { aH ){ bH ) = { ab ) H 下是一个
群， 称为 G 关于 H 的商群 (quotient group ), 记作 G / H .
商群 G / H 中的元素是陪集 a //， 通常可以记作5或 ㈣ ，称为由元素 a 所代表
的陪集.
问题 1. 5 .19 若 H AG 的正规子群 ， a e G , 则 { aH) n = a n H 对任意正整数
n 都成立吗？
是的.明显地，对于 n=l,aH = aH 成立.假设已经知道对于 n , 有 (aH) n =
a n H, 则对于 n + 1 ,有 ( ai/) n+1 = (aH) n (aH) = (a n H)(aH) = a n + 1 i /, 所以，
(aH) n = a n H 对任意正整数 n 都 成立. 容易看出，实际上， (aH) n = a n H 对任意负
整数 n 也都成立.
问题 1.5.20 若 G 是交换群. H IG 的正规子群，则 G/H 一定是交换群吗?
是的.容易验证.
问题 1.5.21 设 H AG 的正规子群，若 G / H 是循环群，则 G —定是交换
群吗？
不一定.在对称群 S 3 中，取// = {(1),(12)},则商群&/付是3阶循环群，但
S 3 不是交换群.
问题 1.5.22 若 H AG 的正规子群， G / H 是交换群，则 G —定是交换群吗?
不一■定•设 D4 =< r ， / >,并且 / 2 = I,?. 4 = 1,/r = r _1 /， 则 D4 为二面体
1.5 正规子群
• 39 •
群 (dihedral group )， 则 Z ( D ^) = { l ， r 2 }， 故 £> 4 //(乃 4 )是4阶群，它有4个陪集
Z { D 4 ), rZ { D A ) JZ ( D A ) rfZ { D 4 ) : D 4 / Z ( D 4 ) ^ Klein 群同构，它是交换群，但
D a 不是交换群.
问题 1.5.23 若 G 是循环群， H 炎 G 的正规子群，则 G/H 一定是循环群吗？
是的.容易验证.
问题 1.5.24 苦 H AG 的正规子群， G / H 是循环群，则 G —定是循环群吗？
不一定.对于加法群 Z 2 © Z 2 , 商群 Z 2 ® Z 2 A ^2©{0}) ^ Z 2 是循环群，但
么 ㊉ 么 不是循环群.
问题 1.5.25 设 Z ( G ) 是群 G 的中心，若 G / Z { G ) 是循环群，则 G —定是交
换群吗？
是的.设 G/H =< cH > 是循环群，则对于任意 a ， beG ， 有 G N , 使得
aH = ( cH ) 1 ^ bH = ( cH ) j ，故 a 二 c l hi ， b = o 7 /^， 因而， = c l h \ c ^ h2 = y + J 7ii / i2 ， 同
理可证 6 a = a ^7 n / i 2 , 所以 ， G —定是交换群.
问题 1.5.26 若 G / Z { G ) 是交换群，则 G —定是交换群吗？
不一定•设认为二面体群，即 D 4 =< r ，/ >，并且/ 2 = l， r 4 = ljr = r~ l f ,
则 Z ( D 4 ) = { l ， r 2 }， 故 D 4 / Z ( D 4 ) 是 4 阶群，它有 4 个陪集 Z ( D 4 ), rZ ( D 4 ), fZ ( D 4 )
和 rfZ ( D 4 ), D 4 / Z ⑽与 Klein 群同构，它是交换群，但不是循环群 . D 4 不是交
换群.
问题 1.5.27 非交换群的商群一定是非交换群吗？
不一定•对 S 3 的子群丹=< (123) >,商群 S s / H 是交换群， 它与厶同构.
问题 1. 5 . 2 8 如果群 G 中每个元的阶都是有限的，那么群 G 的阶一定是有
限的吗？
不一定.利用商群，可以容易地构造出下面的例子.设 Q 是全体有理数在加法
下构成 Abel 群，商群 Q / Z 是无限群，但是每个元素的阶是有限的.实际上,对任意
有理数 a G Q / Z , 存在整数 m 和 n ， 使得 a = - + Z , 从而 ma 二 n + Z = 0 + Z , 因
此 a 的阶是有限的.但明显地，群 Q / Z 是无限群.
问题 I. 5 . 29 设 H 不是 G 的正规子群，二元运算 ( aH )( bH ) = ( ab)H 有意
义吗？
不能 .K = { e , (12)} ^ S 3 的一个二阶子群，它的左陪集为
K = eK ,
(13)欠={(13)，（123)}，
(23 )K = {(23),(132)}.
把 (13) K 中每个元素和 (23) K 中每个元素分别相乘，得
(132), (23), (12), e ,
它们不构成陪集.
问题 1.5.30 如何求商群 Z 4 x Z 6 / < (2,3) >?
由于丑 =< (2,3) >= {(0,0), (2,3)}, ^ I 丑 I =3,因此
1^4 x Z 6 / H \
Z4 x Zq 4 x 6
\ H \ = 2
因此， x Z 6 / H 可能与 Z 4 x 或者 Z 2 x Z 2 x Z 3 同构，但 x Z 3 包含 4
阶元 ( T , 0 ), 而么 x x Z 3 最高阶的元为 3 阶.不难验证， ( T , 0 ) + H 为 Z 4 x Z^/H
中的 4 阶兀，所以，么 x A / < (2,3) >= Z4 x = Z \2 -
问题 1.5.31 设 G 是有限群 ， H AG 的正规子群，若|丑|与 [G :丑]互素，则
H 先 G 中唯一的|丑|阶子群吗？
是的.
证法1:假如 K 是 G 的另一个|好|阶子群，则 K 中任意元素 a 的阶 o ( a ) —
定整除|好|，但|//|与 [G : //] 互素，故 o ( a ) 与 [G : if ] 互素.由#⑷= ai / 是 G 到
G/H 的群同态可知 o (< p ( a )) = o ( aH ) 一 定整除 o ⑷.由于 a 丹的阶一定整除商群
G/H 的阶 | G ///| =[仏 //], 故 ai / 的阶一定是1，即 a // —定是 G/H 中的单位元,
因而， aeH ^ KQH , 所以，由问=叫可知尺= //.
证法 2 :假如 K 是 G 的另一个问阶子群，则 HK 是 G 的子群，并且 \ HK \ =
\H\^\K\
\H^K\
\H \ 2
\H^K\
， 由于 \ HK \ 一 定整除 | G | = [G : if ] • |丑|，故
i^n^i
定整
除 [G : 因此由 | i /| 与 [G :丑]互素可知 \ Hf ] K \ = \ H \, 所以 ， H = K .
1.5.3 正规子群的性质
问题 1.5.32 设//是 G 的正规子群，尺是 G 的包含//的子群，则//是 K
的正规子群吗？
是的.容易验证.
问题 1.5.33 什么叫共扼元？
设 G 是一个群， geG , 形如 a - 1 训(这里 a e G ) 的元素称为 g 的共轭元.若
丑是 G 的 一 个子群，则 a ^ Ha 为 G 的子群，称为//的一个共辄子群 (conjugate
subgroup ).
1.5 正规子群
• 41 .
问题 1.5.34 设 cr = ( aia 2 - - - ajk ) 是 的 A : 轮换，了 G 义，则 rar~ l =
(T(ai)T(a2) … 丁⑷ ) ）吗 ?
是的.
问题 1.5.35 H 是群 G 的正规子群当且仅当//的所有共扼子群等于丑吗？
是的.这是明显的.
问题 1.5.36 若 H 是群 G 的子群，能给出//中两个元共扼时在 G 也一定
共扼的条件吗？
不知道，这是 Grindlinger 提出的问题.
问题 1.5.37 设 G 是有限群，若 G 中的任意两个同阶的元都是共扼的，则
| G | 彡6吗？
这是 Syskin 提出的著名公开问题 . Feit 和 Seitz 在1989年己经解决了该问题，
证明若有限群 G 中的任意两个同阶的元都是共轭的，则 G 3 = 1,2,3. 可参
见： Feit W , Seitz G M . On finite rational groups and related topics . Illinois J . Math .,
1989, 33(1): 103-131.
问题 1.5.38 任何一个群 G 都一定有真子群是正规子群吗？
是的.明显地，任何一个群 G 的中心 C ( G ) 总是 G 的正规子群，// =： { e } 也是
G 的正规子群.
容易知道， 若群 G 是交换群，则它的任意子群都一定是正规子群.反过来呢？
问题 1.5.39 若群 G 的任意真子群都是正规子群，则 G —定是交换群吗？
不 一定. 四元数群 (7 = { l , i , j , k , -1, - i , - j , - A :}， 则 G 的任意真子群都是正规
子群，但 G 不是交换群.容易验证，私 = 1, H 2 = {1，-1}是 G 的正规子群.由于
= {1, - l , i , -z}, K 2 = {1, — 1, J, — j},Ks = {1, -1, k , - k } 是 G 的 4 阶子群，并对
i = 1,2,3,指数 [G : 叫= 2,故&都是 G 的正规子群.由 G 的子群的阶一定是
8的因子可知， G 没有其他的子群，故 G 的任意子群都是正规子群，但 G 不是交
换群.
问题 1.5.40 设//和 K 为群 G 的子群，则下列结论成立吗？
(1) 若//和尺都是群 G 的正规子群，则//与 K 的乘积 HK 也是群 G 的正
规子群；
(2) 若丑和尺都是群 G 的正规子群，则//与 X 的交也是群 G 的正规 子群;
(3) 若孖和尺都是群 G 的正规子群，并且//与 K 的交为 { e }， 则欣=
对任意的 he H 和任意的 keK 成立.
是的.不难验证.
- 42 •
第 1 章群 论
问题 1.5.41 设丑是群 G 的子群，若对于 G 的任意子群 K ， HK 都是 G 的
子群，则丑一定是 G 的正规子群吗？
不一定.若对于 G 的任意子群 K ， HK 都是 G 的子群，则称 H 为 G 的拟正
规子群 (quasinormal subgroup ) 或置换子群 (permutable subgroup ). 容易知道正规
子群一定是拟正规子群，但拟正规子群不一定是正规子群.设 P 是奇素数， G 是 d
和6生成的群， a 和6满足 M = e ，并且= 6 M + 1 ， 则 G 是 p 3 阶群，并且6
生成的子群 H =< b >是 G 的拟正规子群，但//不是 G 的正规子群.例子和拟
正规子群的性质还可参考 ： Stewart E S . Old , recent and new results on quasinormal
subgroups . Irish Math . Soc . Bulletin , 2005, 56: 125-133.
问题 1.5.42 若都是群 G 的子群，并且 H qK IG 的正规子
群，若 K!H ^ G / H 的正规子群，则 K 一定是 G 的正规子群吗？
是的.对任意沒 e G , h G 由 KjH 是 G / H 的正规子群可知 g k v g ~ l = k 2 e
KjH、Wi ghg - 1 = k 2 , 从而， gkig~ l = k 2 h 对某个 h e H 成立，因此， gk \ g~ l e K ,
所以， K 是 G 的正规子群.
1.5.4 换位子群
问题 1.5.43 什么叫换位子群？
群 G 中可以写成 a ^ b ^ ab 形式的元素称为换位子，所有 G 的有限个换位子
的乘积构成 G 的正规子群，称为 （7 的换位子群 (commutataor subgroub ) 或导群
(derived group ), 记为 [ G , G ] 或 G '
问题 1.5.44 设 w = aba - 1 b - 1 是群 G 的换位子，则 w 的共扼元 cuc ~ l 也一
定是 <7的一个换位子吗？
是的.实际上,容易知道 cuc~ l = caba ~ l b ~ 1 c = ( cac ~ 1 ) ( cbc ~ 1 ) ( cac~ 1 )~" 1 ( cbc ~ 1 )~ 1 ,
因此， cue - 1 也是一个换位子.
问题 1.5.45 设 G 是群，则 G 的换位子全体构成一个子群吗？
不一定.任意两个换位子的乘积不一定是换位子，例子参见 MacDonald I D .
Commutators and their products . The American Mathematical Monthly , 1986, 93(6):
440-444.
存在两个换位子的乘积不是换位子的群的最小阶是 96.
问题1. 5 . 4 6 是否存在一个阶大于2的有限群 G ， G 有并且只有一个元不是
换位子呢？
不知道，这是 MacHale 给出的公开问题.
问题 1.5.47 交错群山的换位子群是什么？
1.5 正规子群
• 43 •
由于山= { ⑴，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)，(123)，（132)，(124)，(142)，(134)，(143)，
(234)，(243)}，故不难验证，山的换位子群[山，山] ={ ⑴，(12)(34)，(13)(24)， (14)(23)}.
问题 1.5.48 若 n 彡3,则二面体群的换位子群是什么？
设=:< a ,6 | = e ,6 2 = e,bab = a~ x >, 则二面体群的换位子群是
< r 2 >. 由于 rsr ~ 1 s ~ 1 = rrss - 1 = t 2 ， 故 r 2 是 一 个换位子.另外， r t sr ~ l s ~ 1 =
r i r i ss -l = r 2 i ^ 因此< r 2 〉中的元素都是换位子.还可以分开几种情形，分别验证:
(1) 若 g = /, h = d ，则容易知道 ghg ~ l h~ l — e E < r 2 >.
(2) 若 g = r { ,h = r J s , 则 / i _1 = / i ， 故
ghg ~ l h~ l = ghg~ l h = r l r ^ sr ~ l r ^ s = r l+ j r -、 卜 ss = r 2t .
(3) 若 g = — s , h = d , 由于 ( ghg ~ 1 h ~ 1 )~ 1 = hgh ~ 1 g ~ 1 , 故由 （2) 可知 ghg - 1 hr 1
是 r 2 的幕. 因此 ghg ~ l h~ l G < r 2 >.
(4) 若 g = — s , h = 则夕 一 1 = 仏并且 / i 一 1 = / i , 故
ghg ~ l h~ l — ghgh = ( gh ) 2 = ( r l sr ^ s ) 2 = ( r l ~^ ss ) 2 = r 2 (卜 J ).
从而， ghg ~ l h~ l €< r 2 >.
综合上述，换位子一定都在< r 2 〉中，所以，的换位子群是< r 2
问题 1.5.49 若 H 是群 G 的子群，则 /T g 吗？
是的.容易验证.
问题 1.5.50 苦 H ， K 是群 G 的子群， 苦 H r Q 则丑 g K 吗？
不一定.在对称群 为中 ，取丑= { ⑴， (12)}, K = { ⑴，(123)， （132)}, 则付和
K 都是交换群，因此， H f = K f = {(1)}, 但丑和 K 没有包含 关系.
问题 1.5.51 设 H 是群 G 的子群，若 H 的换位子群与 G 的换位子群一样，
则是否一定有 H = G ?
不一定，其实不难看出，当 G 是交换群时，对于 G 的任意真子群好，都有
H r = G f = { e }.
问题 1.5.52 若丑是 G 的正规子群， G / H 是交换群当且 仅当丑 包含 G 的
换位子群吗？
是的.若丑包含 G 的换位子群，则对于任意 a ， bGG ， 有 aba ，- 1 e H , 因此,
aHbH = bHaH , 所以， G / H 是交换群.
反过来，若 G / H 是交换群，则对于任意 e G ， 有 aHbH = bHaH , 因此
abH = baH ，椒 ( ba)abH = H , 因而 a ~ l b~ l abH = H , 所以， a _1 6 _1 a 6 e i /， 即 // 包
含 G 的换位子群.
. 44 •
第 1 章群 论
问题 1.5.53 什么叫正规化子群？
设好是群 G 的子群，称 N g { H ) = {aeG \ a~ l Ha = //} 为//在 G 中的正
规化子群 （ normalize !*).
问题 1.5.54 若//是 G 的子群、 H 的换位子群与//的中心化子不同吗？
是的. 由于丑的换位子群 N g { H ) = {a e G \ a~ l Ha = H }, H 的中心化子
C [ H ) = { aeG\ag = 训}，故 C { H ) C N G ( H ). 但它们不一定 相等. 例如在对称群
而中，子群取为 A 本身，则不难验证 C ( H ) = {(1)}，但 N g ( H ) = 5 3 .
问题 1.5.55 设//是 G 的一个子群，则正规化子群 AT G (/7) 是 G 的子群吗?
是的 • 设 a G _/ V G (//), 则 or 1 Ha = //，故 aHa - 1 = H , 从而 a- 1 e 因
此正规化子群 N g ( H ) 对求逆封闭.
设 a,6 e 7 V G ( if ) •贝 lj ( ab ^ Hiab ) = b - l { a ~ l Ha)b = b~ l Hb = H . 故 G
7 V G ( i /)， 即 N g ( H ) 对乘法封闭，因此正规化子群是 G 的子群.
问题 1.5.56 H 是正规化子群 N g { H ) 的正规子群吗？
是的. 根据正规化子群 N g ( H ) 的定义 N g ( H ) = {ae G \ a~ 1 Ha = H }, 容易知
道 H 是正规化子群 N g ( H ) 的正规子群.
问题 1.5.57 H 的正规化子群 N g ( H ) A 以 H 为正规子群的 G 的最大子
群吗？
是的.若 K 是 G 的子群，并且 K 包含 N g ( H ), 则对于任意 a 6 K$ a H = H a ，
因此 , a € N g ( H ), 所以 ， K = N g ( H ), 即正规化子群 N g ( H ) 是以//为正规子群的
G 的最大子群.
问题 1.5.58 若 H A G 的有限子群， g e G , ]9 »J gHg~ l C H 当且仅当
gHg - 1 = H 吗?
是的. 不难验证 gHg - 1 的元素个数与丑的元素个数一样，由于 gHg~ l C H ,
故对于任意 /ii G 丑，一定有某个 / i2 € //，使得 h = gh 2 g ~ l , 因此// G gHg - 1 ，所
以， gHg - 1 = H .
问题 1.5.59 苦 H A G 的无限子群 ， p e G , 则 gHg~ l C H 当且仅当
gHg - 1 = H 吗?
不 一定. 在实数上的 2 x 2 可逆矩阵群 GL ( 2 , R ) 中，取0 = 2 ° , 6 =
1 1 •记 g 和/ I 生成的群为 G , / I 生成的子群为则// =
1.6 交错群
• 45 .
容易验证厂 1 = 1/2 °
并且
' 2 0 "
1 n
2 0 "
-i
' 1 2n '
0 1
0 1
0 1
0 1
eH y
但
2 O'
-i
1 n
2 0 "
"1 n/2 "
0 1
0 1
0 1
0 1
不属于//,因此， gHg~ l = H 不成立.否则， gHg - 1 是 G 的子群，必有 g~ l hg 属于
H , 矛盾.
问题 1.5.60 设 i / 和尺都是群 G 的子群， 苦 H A K 在 G 的正规化子群
N g ( K ) = { geG \ gKg - 1 = K } 的子群，则 HK IG 的子群吗？
是的. 实际上，若 i / 是 N g { K ) 的子群，则可以证明 HK = I < H . ^ heH.ke
K , 则由//是 N g ( K ) 的子群可知 hkh~ l e K ， 故从= ( hkhr l )h € KH , 因此，
HK C KH . 类似地，由于 A:/z = h ( h ~ l kh ) e // K ， 故 KH C HK . 因而 ， HK = KH ，
所以， HK 是 G 的子群.
问题 1.5.61 设 // 和尺都是群 G 的 子群 ， 务 HK AG 的子群，则//是尺
在 G 的正规化群 N g ( K ) 的子群，或 X 是丑在 G 的正规化群 N g ( H ) 的子群吗？
不一定.设 G 为对称群&，// = D S ,K =< (123) >, 则 D 8 可以看作 S 4 的子
群，由于 \ H \ = 8,\ K \ = 3 , 故由 Lagrange 定理可知 = {4. 既然 \ HK \ = 24,
因此 ， HK = GjG = HK = KH , 所以， HK 是 G 的子群，但不难验证//不是
K 在 G 的正规化群 N g ( K ) 的子群，并且 /( 也不是 H 在 G 的正规化群 N g ( H )
的子群.
1.6 交错群
问题 1.6.1 什么叫交错群？
交错群 A n (n ^ 2) 是对称群中所有偶置换所构成的群，交错群 Au 是^
阶群 •
1 . 6.1 交错群的性质
问题 1.6.2 当 n > 1时，交错群是对称群&的正规子群吗？
是的.
. 46 •
第 1 章群 论
问题 1.6.3 交错群一定与对称群义不同吗？
不一定.当 n = 1时，有 A = S n . 对于任意 n > 1,由于5^ —定包含对换
(12) 是奇置换，故一定有 An # S n .
问题 1.6.4 对称群 S n 的换位子群是什么？
对称群乂的换位子群是交错群 A n .
问题 1.6.5 当 n 彡5时，交错群的换位子群是什么？
当 n > 5时，交错群 An 的换位子群是 A n .
1.6.2 单群的定义和例子
问题 1.6.6 什么叫单群？
一个不包含非平凡正规子群的群称为单群 (simple group ).
问题 1.6.7 当 n 〉2时，对称群义是单群吗？
当 n 〉2时，对 称群& 不是单群.
问题 1.6.8 交错群戊是单群吗？
交错群乂 5 是单群.
问题 1.6.9 阶是合成数的最小单群是60阶的群吗？
是的.阶是合成数的最小单群是60阶的群就是4 5 .
问题1. 6 .10 当 n 彡5 时，交错群是单群吗？
是的.
问题 1.6.11 交错群山是单群吗？
不是.
问题1. 6 .12 若 p 是素数，则是单群吗？
是的.容易验证.
问题1. 6 .13 若 p 是素数，则 p 阶循环群是单群吗？
是的.容易验证.
问题 1.6.14 若群的阶小于等于1000,则单群的阶有哪些？
若群的阶小于等于1000,则单群的阶只有5种： 60, 168, 360, 504, 660.
问题1. 6 .15 存在阶是无穷的单群吗？
存在 • 无限的交错群是单群.将交错群利用标准的嵌入映射 —
^ n + 1 看作人+ 1 的子群，将 Aoo 看作所有人 (n = 1，2,3,…， n ， …)的并集，则乂⑺
是一个无限的单群.
1.7 群的同态
• 47 •
问题 1.6.16 —个群能不能等于它的一个真的有限非交换单群的共扼的并?
不知道，这是 Cutolo 给出的公开问题.
问题 1.6.17 有限单群的每个交换子群都与它的正规化子不同吗？
不知道，这是 Busarkin 给出的公开问题.
1.7 群的同态
1.7.1 群同态的基本概念
问题 1.7.1 什么叫群同态？
设 G u G 2 为两个群，映射/ : G — G 2 , 若 f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) 对任意 a , beG 1
成立， 则称/为同态 （ homomorphism ).
设 G u G 2 为两个群，分别以和 e 2 为单位元，/为 Q 到 G 2 的同态，记
Ker (/) = {a e Gi \ f ( a ) = e 2 }, 称为 / 的核 （ kernel ). / 是单射当且仅当 Ker (/) =
{ ei }， 这时称/为 一 个单同态 （ monomorphism ).
记 I m ( f ) = {/ ⑷ I a € Gi }， 这是 G2 的 一 个子群，称为/的像 （ image ). /是
满射当且仅当 Im (/) = G2 , 这时/称为一■个满同态 ( epimorphism ).
明显地，两个群 G 和 G 2 之间一定存在群同态/ ： Gj ^ G 2 , 对于任意 a G G l5
定义 /( a ) = e 2 , 此时称 / 为平凡的群同态.
问题 1.7.2 设 / 是群 Gi 到群 G 2 的同态，若/是单射，则对于任意 a € G ，
o ( a ) = o ( f ( a )) 一定成立吗？
是的•设 o(a) = n ， o(/(a)) = m ， 贝！ J (/ ⑷) n = f ( a n ) = f ( ei ) = e 2 , 故 m — 定
整除 n. 由于 （/ ⑷) m = e 2 , 故 /(a m ) = e 2 , 由于/是单射，并且 /(ej = e 2 ，故
a m = ei, 因此 n — ■定整除 m ， 因而 一 定有 m = n, 所以， o(a) = o(/(a)).
问题 1.7.3 设是群，厂 G — G 2 是群同态，若 G 2 是交换群，/是满
射，则 G —定是交换群吗？
不一定.设 G 是2 x 2可逆矩阵全体，在矩阵乘法下 q 是非交换群 . G 2 为
所有非零实数在乘法下的交换群，定义/ : Gi — G 2 为 /( a ) 等于 a 对应的行列式
的值，则/是满射，但不是交换群.
问题 1.7.4 设 G u G 2 是群，/ : Gi G 2 是群同态，若是交换群，/是单
射，则 G 2 —定是交换群吗？
不一定•设 / : Z /3 Z — S 3 , 为/⑼= (1)，/( T ) = (123), /(2) = (132)，则不难验
证/是群同态，并且/是单射，但 G 2 不是交换群.
问题1.7. 5 有限群到无限群可能存在非平凡群同态吗？
. 48 •
第 1 章群 论
可能.对任意正整数 n , 所有 1 的 n 次根全体在乘法下构成群 G u 若 G 2 为所
有非零复数在乘法下构成的群，则 /: G ! -> G 2 ? a ^ a 是群同态.
问题 1.7.6 5 5 到整数加法群 Z 可能存在非平凡群同态吗？
不可能. 若 f : S 5 — Z 是非平凡群同态，则 f ( S 5 ) 一定是 Z 的有限子群，因此,
/(5 5 )只能是 {0}, 所以，/是平凡群同态.
1.7.2 群同态的性质
容易证明，若/为 G 到 G 2 的同态，则/的核是的一个正规子群.
问题 1.7.7 设 f，g 是群 Ch 到交换群 G 2 的群同态，则 H = { a \ aeGJ ( a ) =
g ( a )} 是(^的正规子群吗？
是的.定义 ^( a ) = f ( a ) g ( a )~\ 则不难验证 p 是 G 到 G 2 的群同态，因此 ， p
的核// = {a | a G G ，/( a )= p ( a )} 是 Gi 的正规子群.
问题 1.7.8 设 f ， g 是群 q 到群 G 2 的群同态，则 i / = {a | a e GJ ( a ) = g ( a )}
IGi 的正规子群吗？
不一定 • 设 / : — 灸为 f ( a ) = : S3 ― ► S3 为 /( cr ) = ( 12 ) cr ( 12 ), 则不难
验证 ， H = { a \ aeS 3 , f ( a ) = g ( a )} = {(1), (12)}, 但丑不是 的正规 子群.
问题 1.7.9 设 Gi ，(^2 为两个群，分别以 ei 和 e 2 为单位元，/ : G"i — G 是
一个群同态，则下列结论成立吗？
(1) /将 Q 的单位元映为 G 2 的单 位元；
(2) / # a G Gx 的逆元映为 G 2 中 /( a ) 的逆元，即 f ( a ~ l ) = /( a )" 1 ;
(3) 若 a e Gi 的阶是有限的，则 /( a ) 的阶 o (/( a )) —定整除 a 的阶 o ( a ).
是的 .（1) 由于对任意的 a G (7 i ，有 eia = a ， 故
/( eia ) = /( ei )/( a ) = f ( a ) = e 2 / ⑷，
因而 e 2 = /( ei ).
(2) 由于对任意的 a € G l7 W /( a - 1 )/( a ) = f { a ~ l a ) = /⑹ = e 2 , 故 /( a - 1 )=
/ ⑷一 1 .
(3) 由于对任意的 aeG u 有 f ( a )°^ = /( a° ⑷）= /(ej = e 2 , 故 / ⑷的阶一
定整除 a 的阶 o ⑷.
问题 1.7.10 设 是群 G 到群 G 的单同态，则 G —定是交换群吗？
是的•由 f ( ab ) = f { a ) f ( b ) 可知 ( ab ) 3 = a 3 b 3 , 故 (6 a ) 2 = a 2 b 2 . 同理可证
( ab ) 2 = b 2 a 2 . 因此
(6 a ) 4 = [(6 a ) 2 ] 2 = ( a 2 b 2 ) 2 = (6 2 ) 2 ( a 2 ) 2 = 6 4 a 4 ,
1.7 群的同态
• 49 •
并且
( ba ) 4 = ( ba ) 3 ( ba ) = b 3 a 3 ba .
因而， b 4 a 4 = 6 3 a 3 6 a ， 故 6 a 3 = a 3 6. 因此 f ( ab ) = ( a 6) 3 = ( ab ) 2 ( ab ) = b 2 a 2 ab =
b 2 a 3 b = b 2 ba 3 = b 3 a 3 = (6 a ) 3 = f ( ba ) •于 是容易知道， f ( ab ) = /(6 a ) •由 / 是单同
态可知 a 6 = 6 a ， 所以 G —定是交换群.
问题 1.7.11 什么叫自然同态？
设//是 G 的正规子群，则 7 T : G — G / H,a ^ a 是一个满同态，称为 G 到
G/H 的自然同态.
问题 1.7.12 什么叫群同构？
如果/既是单同态又是满同态，即是双射，则/称为同构 ( isomorphism ). 如果
两个群(^，之间存在一个同构，则称这两个群是同构的，记作 g ^ g 2 . me
到它自身的一个同构称为自同构 （ automorphism ).
同构的群具有相同群性质，因此只用群的性质是没有办法区别的，同构的群可
以看成是相同的群.
问题 1.7.13 若群 G 和群 G 2 同构，则 G 到 G 2 的同构/ 一定是唯一的吗？
不一定.明显地，模5的加法群 Z 5 与它自身 Z 5 是同构的，但 A : n ^ n 和
f 2' nH — n 都是同构的.
问题 1.7.14 若群 G 是交换群，则 f : a ^ a~ l 一定是同构吗？
是的.容易验证.
问题 1.7.15 若群 G 不是交换群，则/ : a ^ a - 1 是同构吗？
不是.若群 G 不是交换群,则存在 a ,6 GG , 使得# 6 a , 因此, f ( a ~ l ) f { b ~ l ) =
ab , 另外， /( a - 1 ^- 1 ) = ( d 1 ) - 1 = 6 a ， 因此， /( d 1 ) / /( a -”/(疒 1 )，所以， /
不是同构.
问题 1.7.16 若 G 是交换群，则 G 到 G 的自同构群一定是交换群吗？
不一定.设 G = Z 2 x Z 2 , 则交换群 G 到 G 的自同构群与&同构，因此，它不
是交换群.
问题 1.7.17 容易知道所有5阶群都同构，所有的4阶群都一定同构吗？所
有的6阶群都一定同构吗？
不一定.凡 I 和4阶循环群不是同构的，对称群为和6阶循环群不是同构的.
问题 1.7.18 有理数加法群 （ Q ，+) 和非零有理数乘法群 （ Q *,.) 同构吗？
不同构.假设有理数加法群 （ Q ，+) 和非零有理数乘法群 ( Q %.) 同构，/为同
- 50 •
第 1 章群 论
构映射，则存在 qeQ , 使得/⑷= -1, 故
= f ( q ) = -1.
从而有理数/ 的平方为-1，矛盾，所以有理数加法群 （ Q ，+) 和非零有理数乘
法群(0%-) 一定不同构.
问题 1.7.19 若 l ， m，n 都是正整数，则一定存在 Z m x 到 x Z / 的非平
凡群同态吗？
是的.只需定义厂 x x Z z 为 /( a , 6) = ( a ，0)， 则 / 为非平凡群
同态.
问题 1.7.20 存在厶到&的非平凡群同态吗？
是的. 由于 p ! = (1234) 为&的3阶元素， 故厂 — S 3 , / : n ^ p ? 为 Z 3
到&的非平凡群同态.
问题 1.7.21 存在 S 3 到 S 4 的非平凡群同态吗？
是的.对每个 a € S 3 ， 令 /( cr ) = / i , 对于 i = 1,2,3，取"⑷= cr ( z ), 并且
/ i (4) = 4,则/为 S 3 到 S 4 的非平凡群同态.
问题 1.7.22 存在 S 4 到& 的非平凡群同态吗？
是的.对每个偶置换 a G S 4 , 令 f ( a ) = (12)，对每个奇置换 a e S 4 , 令 f ( a ) = a ,
则 / 为 S 4 到 S 3 的非平凡群同态.
问题1.7. 2 3 任意素数阶群 Gi 到另一个群 G 2 的非平凡群同态/ 一定是单
射吗？
是的. 容易知道， Ker (/) 是 Q 的子群，因此， | Ker (/)| 一定整除 p , 但/是非
平凡群同态，故 Ker (/) ^ Gi , 所以， Ker (/) = { 6 l } ，即/ 一定是单射.
问题 1.7.24 S n 到 A n ^ 2 存在非平凡群同态吗？
是的.只需定义 f •• S n 一 A n +2 如下：
(1) 当 cr 为偶置换时， /( a ) = a ;
(2) 当 a 为奇置换时， /⑷ = tr((n + l)(n + 2)).
则/为&到 ^ n + 2 的非平凡群同态.
问题 1.7.25 若/是交换群(^到另一个群 G 2 的满的群同态，则 G 2 —定是
交换群吗？反过来成立呢？
是的.容易验证.若/是群 Gi 到另一个群 G 2 的满的群同态， G 2 是交换群时，
Gi 不一定是交换群.设/是2 x 2可逆矩阵全体在矩阵乘法下构成的群到非
1.7 群的同态
• 51 •
零实数全体在乘法下构成的群 G 2 的映射，/⑷为矩阵对应的行列式的值，则/是
群 G 到交换群 G 2 的满的群同态，但 Q 不是交换群.
问题 1.7.26 若/是循环群64到另一个群 G 2 的满的群同态，则 G 2 —定是
循环群吗？反过来成立呢？
是的.容易验证.若/是群 G 到另一个群 G 2 的满的群同态， G 2 是循环群
时， G 不一定是循环群.设/是 x Z 2 到群么 的映射， /( a :, y ) = %则/是群
^2 x Z 2 到循环群 Z 2 的满的群同态，但 Z 2 x 不是循环群.
问题 1.7.27 若/是群 Gi 到群 G 2 的群同态， 7 V 是 Gi 的正规子群，则 f ( N )
一定是群 /( Gi ) 的正规子群吗？
是的.只需按正规子群的定义验证即可.
问题 1.7.28 若丑是群 G 的生成元， 即 G =< H >， f 和 g AG 上的群同
态，若/⑷= g { a ) 对任意 aeH 成立，则 f = g 吗?
是的.由于 G =<丑〉，故对于任意 beG ， 有 Si GH , ki 为整数，使得
b = 々々••々•
从而，/⑼= f { si ) kl f ( s 2 ) k 2 -- f { s n ) kn = g { si ) kl g ( s 2 ) k2 - - g { s n ) kn = g ( b )， 所以，
f = 9 -
问题 1.7.29 整数加法群 Z 到 Z 的同构一定是唯一的吗？
是的. 这是由于/是 Z 到 Z 的同构时，一定有/( I ) = 1, 所以，对于任意
n G Z , 都有 f ( n ) = n .
问题 1.7.30 整数加法群 Z 到 Z 的同态一定是唯一的吗？
不是 . Z 到 Z 的同态有零同态和同构两个.
问题 1.7.31 模12的整数加法群 Z 12 到 Z 12 的同构有多少个？
有 4 个.这是由于 Z 12 有 4 个生成元 I , 5, 7, U , 并且同构只能将 Z 12 的生成元
映为生成元，所以， Z 12 到 Z 12 的同构有 4 个.
问题1. 7 . 3 2 在同构的意义下，4阶群有哪些？
将同构的看作一样，则 4 阶群有 4 阶循环群和克莱因四元群 K 4 .
问题 1.7.33 在同构的意义下，6阶群有哪些？
将同构的看作一样，则6阶群有6阶循环群和对称群
问题 1.7.34 设 G 是所有非零实数构成的乘法群 ， N = {-1，1},则 G/N —
定与所有非零正实数构成的乘 法群丑 +同构吗？
. 52 .
第 1 章群 论
是的. 定义 f : G — R + 为 /(a) = a 2 , 则不难验证/是 G 到丑+的满同态，因
此， G / Ker ( f ) ^ R + , 所以， G / NSR +.
问题 1.7.35 是否有群 G ， 存在 G 到 G 的满同态/,但/不是单同态？
是的.例如设 G 为满足 b ^ o?b = a 3 的 a 和6生成的群，则存在 G 到 G
的满同态/不是单同态，具有这种性质的群称为非 Hopfian 群，它可以与它自己
的一个“真”的商群同构，这是由于 f ，. G — G 是满同态，但不是单同态，因此，
Ker(/) ^ {0}, 并且 G/Ke r (/) 与 G 同构.
问题 1.7.36 Zyr 中的非零元全体构成的乘法群 ZJV 与同构吗？
是的.只需定义/ : — Z 16 为/( I ) = 3,则 /( m ) = /( l ) m 对任意 m G
成立，不难验证 / 是同构.
问题 1.7.37 ☆到 x 有多少个不同的群同构？
两个.这是由于 x 有两个生成元（了，5)和 (1,1).
问题 1.7.38 到 Z 3 有多少个不同的群同态？
有3个不同的群同构. 实际上， /( I ) = 0， g ( l ) = 1, ^ ⑴ = 2确定了 A 到 A 的
3个不同群同态.
1.7.3 同态和同构的定理
问题 1.7.39 什么叫同态基本定理？
同态基本定理：设/ : G — G 2 是一个群同态，则
(1) /的核 Ker (/) 是 G 的正规 子群；
(2) 商群 G / KM /) 与/的像 Im (/) 同构.
问题 1.7.40 设 G u G 2 为两个群，/ : Gi -> G 2 为同态，若 G 是有 限群， 则一
定有 |/( Gi )| 整除 IGJ 吗?
是的. 这是由于 |/(C!)| ^ |叫，并且/ : Q 为同态时， Q/KW/) 与
/(Gi) 同构，因此, |/(Gx)| = IGi/KerC/)! = 所以，|/说)| 整除防|.
问题 1.7.41 所有同阶的有限循环群同构吗？
是的.设 G 是一个 n 阶循环群，以 a 为生成元.作映射
f : Z — G ， m ^ a m .
则/是一个满同态，并且以 nZ 为核.由同态基本定理得知
Z / tlZ = G.
1.7 群的同态
• 53 .
因此， 任意 n 阶循环群都与 Z n 同构，所以，所有同阶的有限循环群同构.
问题 1.7.42 所有同阶的有限群同构吗？
不一定.容易验证 Z 4 和 Z 2 x Z 2 都是 4 阶群，但它们不同构.
问题 1.7.43 f ： Gi G 2 是一个群同态，丑 2 是的一个子群，则
r \ H 2 ) = { aeG 1 \ /⑷ G // 2 }是 G 的一个包含 Ker (/) 的子群吗？
是的.容易验证.
问题 1.7.44 什么是第一同构定理？
第一同构定理： 设 H 和 N 都是 G 的正规子群，且丑 Q 7 V , 则
( G / H ) / ( N / H ) ^ G / N .
问题 1.7.45 什么是第二同构定理？
第二同构 定理： 设好是 G 的正规子群， K 是 G 的一个子群.令
KH = { ab\a e K,beH},
则 KH 是 G 的子群，且
KH/H ^ K/Kf]H.
问题 1.7.46 —个群有可能与它的真子群同构吗？
可以的.整数加法群 Z 和它的偶数子群//之间存在同构 pi Z — H, p ( n ) =
2 n , 因此整数群 Z 与它真子群好同构.
问题 1.7.47 设群 G 是有限群，爪和 7V 2 是 G 的正规子群，若爪兰 AT 2 , 则
G/N x ^ G/N 2 一定成立吗？
不一定.对群 Z 4 x 么，取 M = {0,2} x {5}, iV 2 = {0} x Z 2 , 则爪2 iV 2 , 并且，
G/Ni = Z2 x Z2 , G / N2 — 因此， G / N \ = G / N2 不成立.
问题17. 48 设群 G 是交换群， 苦 N 为 G 中所有阶有限的元素构成的子群,
则 G / N 中的非单位元的阶都一定是无穷吗？
是的•若 aiV 是有限阶的元素，记 o ( aTV ) = n ，则 ( aN) n = iV ， 故 a n N = TV , 医
此， # G TV , 因而， # 是 G 的有限阶元素，所以， a 也是有限阶元素，从而 ， a e 7 V ,
故 aN = N 是单位元.
1.7.4 变换群的定义
问题 1.7.49 什么叫变换群？
• 54 •
第 1 章群 论
非空集合 A 的所有可逆变换关于变换的合成所构成的群，称为 A 的对称群
(symmetric group ), 记为 SU，*SU 的一个子群称为 A 的一个变换群 (transformation
group ).
容易看出，当 A 为有限集时，就是对称群 S n .
1.7.5 Cayley 定理
问题 1.7.50 什么叫 Cayley 定理？
Cayley 定理每一个群都与一个变换群同构.
实际上.设 G 是一个群，则对任意的 a G G , 定义 G 到 G 的变换为
f a : x — ax , 任意 x e G ,
则容易知道 / a 是 G 到 G 的可逆变换，因此不难验证 H = { f a \ aeG } 关于变换
的合成构成 5 b 的一个子群.
令 W : a — 九，则容易知道#是满射，对于 G 中两个不同的元素 a 和6,有
f a ( e ) 与 /6( e ) 不相等，因此 / a 与九不相等，从而#是单射，故#为 G 到 i / 的一
一对应.
由于 ^( ab ) = f ab = f a f b = 冰 zM 6)， 故是 G 到 i / 的同构，所以任意一个群都
与一个变换群同构.
问题1.7. 5 1 若 G 是 n 阶有限群，则 G —定与的一个子群同构吗？
是的.实际上，设 G = { ai , a 2 ，…， 〜} 是一个 n 阶有限群，则对任意的叫 e G ，
定义 G 到 G 的变换为
fm | x — aix , 任意 x e G ,
则容易知道 / ai 可以看作 n 个文字的一个置换，并且不难验证// = {/ ai | a , G G }
关于变换的合成构成一个群，它可以看作^的一个子群.
问题1.7. 52 对任何给定的正整数 n ， 互不同构的 n 阶群一定只有有限个吗?
是的. 由于任何 n 阶群都与 n 次对称群的一个子群同构， 但乂是 n ! 阶
有限群，它只能有有限个子群，故互不同构的 n 阶群只有有限个.
1.8 群的直积
1.8.1 群的内直积
问题 1.8.1 什么叫群的内直积?
1.8 群的直积
- 55 -
设 G 是一个群， TV # = 1,2，... ， n ) 是 G 的 n 个正规子群且适合下列条件：
( 1 ) G = N l N 2 --N n ;
(2) NiC [ Ph … hNw … N n = { e } 对一切 i = 1，2 ，...，n 成立，
则称 G 是 Ni{i = 1,2, …， n ) 的内直积.
问题 1.8.2 如何判别内直积？
判断方法一 设 N # = 1,2,-.. , n ) 是群 G 的正规子群，则 G 是 iV # =
1,2,-.. , n ) 的内直积的充要条 件是：
(1) G = N l N 2 --N n ;
(2) G 中元 素用爪 中元的乘积表示 唯一， 即若
9 = g\Q2 … g n = h\h 2 … h n ,
则必有 gi = hi{i = 1,2, ••- , n ).
判断方法二设 Ni(i = 1,2,…， n ) 是群 G 的正规子群，则 G 是况 (i =
1,2,... ? n ) 的内直积的充要条 件是：
( 1 ) GsNUn'
(2) 若 g\g 2 … 夕 n = e ， 分 i e 则 gi = e(z = 1,2, •■- ,n).
1.8.2 群的外直积
问题 1.8.3 群的外直积是什么？
设 G 是群 ， GJi = 1，2,…， n ) 是 n 个群 ， G = Q x x ... x G n ， 定义 G 中
的 乘法：
(分 1 ， 分 2 ， ... ， gn)(hu&2, … ， h n ) = (gihi,g 2 h 2 , - - - ， gnh n ),
则 G 在该乘法下构成的群称为 Gi(z = 1,2,..- , n ) 的外直积.
问题 1.8.4 设 G u G 2 是群 G 的子群，则 G 4 x G 2 —定与 G 2 x 同构吗？
是的.对任意 Cli € G \， Q >2 6 G 】， 定乂
/ : G\ X G 2 ~^ Cx2 X G\y
( ai , a 2 ) { a 2 , ai ).
则不难验证 f G x xG 2 3\ G 2 x Gi 的同构，所以 Gx xG 2 = G 2 x G y ,
问题 1.8.5 内直积和外直积在同构的意义下是一致的吗？
设群 G 是它的正规子群 = 1,2,…， n ) 的内直积，又:
是 Ni{i = 1,2,-.. , n ) 的外直积，则 G ? 与: T 同构.
基于上面的结论，有时不再区分外直积与内直积，统称为群的直积.
• 56 •
第 1 章群 论
问题 1.8.6 设 G 是 pq 阶循环群且 p 和 q 是互素的正整数，则 G 可分解为
p 阶循环子群与 g 阶循环子群的直积吗？
是的.设 G =< a >,由于 p 和 g 互素，故存在整数 s 和〖使得 sp + ~ = 1，于
是
a = a ps a qt = ( a p ) W .
令 G =< # > ， G 2 =< M >,则 G = G x G 2 . 若 f!G 2 , 贝 IJ o(fe) 整除 |(^ (HG 2 |，
从而 o (6)| p , o (6) •但 ( p ， q ) = 1， 故 o (6) = 1， 从而 6 = e , 因此 G = G \ x G2 - 明显
地，# 周期为 ^ # 的周期为 p , 所以 G 可分解为 p 阶循环子群 G 与阶循环子
群 G 2 的直积.
问题 1.8.7 6 阶循环群是 2 阶循环群和 3 阶循环群的直积吗？
是的. 令 G = Z/6Z, 则 G 有 2 阶子群历= {0,3} 和 3 阶子群// 2 = {0,2,4},
所以， G 是 2 阶循环群和 3 阶循环群// 2 的内直积.
问题 1.8.8 无限循环群 G 可以同构于它的两个非平凡群的直积吗？
不可以.反证法.假设无限循环群 G =< a 〉，它有两个非平凡子群 i / =
< 〉和 K =< # >,使得 G 是它们的内直积，则
H^K = {e).
但这与€ H ^ K 矛盾，所以由反证法原理可知， G 不同构于它的两个非平凡
群的直积.
问题 1.8.9 若 G 和//是群，并且 G 乂 H 是循环群，则容易知道 和//都
是循环群.反过来，若 G 和//都是循环群，则 G x // —定是循环群吗？
不一定 . 厶是循环群，但厶 x 厶中没有 4 阶元，因此， x Z 2 不是循环群.
问题 1. 8 .10 若//，(^和 G 2 都是有限群，并且 H x G x ^ H x G 2 , 则一定
Gi 兰 G 2 吗 ?
是的.这是 Remak , Krull 和 Schmidt 证明的结果，是 Krull - Flemak-Schmidt 定
理的推论.
1.9 有限生成的交换群的结构
问题 1.9.1 有限生成的交换群的基本定理是什么？
任意有限生成的交换群 G —定与某个具有下面形式的循环群直积是同构的.
Z p? x Z p? x
• • •
x Zp^rx x Z x Z x • • • x Z .
1.10 拓扑群
• 57 .
问题 1.9.2 群 Z m x Z n 是循环群，并且与 Z mn 同构吗？
不一定.群 Z m x 心是循环群，并且与 Z mn 同构的充要条件是 m , n 互素.
问题 1.9.3 Lagrange 定理的逆命题是不成立的，但若 n 整除有限生成的交
换群 G 的阶，则 G —定有 n 阶子群吗？
是的.由有限生成的交换群的基本定理，不难验证结论成立.
问题 1.9.4 若 G 是有限交换群，则 G 不是循环群当且仅当 G 有子群与
Z p x Z p (p 为素数）同构吗？
是的.由于循环群的子群一定是循环群，故若 G 有子群与 x Z p (p 为素数)
同构，则由 x Z p 不是循环群可知 G 不是循环群.
反过来， G 是有限交换群 G ， G 不是循环群，则由有限生成的交换群的基本定
理可知 G 有子群与％, x Z ps 同构，因为否则的话，则 G 就是循环群了.明显地，
V x 有子群与 x Z p 同构.所以， G 有子群与 Z p x Z p .
问题 1.9. 5 能用有限生成的交换群的基本定理判断 （ Z 4 x Z 8 )/ < (1,2) 〉与
什么群同构吗？
明显地，有 < (1,2) >= {(0, 0),(1, 2)， (2, 4)， (3,6)} •故 （ Z 4 x Z 8 )/ < (1，2)〉的
阶为
[Z 4 xZ 8 :<(l,2)>]^^ r f ^8.
由有限生成的交换群的基本定理可知 （ Z 4 x Zs )/ < ( l , 2 ) 〉与 Z 8 , Z 2 x Z 4 , 或者
Z 2 x Z 2 X Z 2 同构，容易知道元素 (0，1)+ < (1,2) >= {(1，3)，(2,5)，(3, 7), (0,1)} 是
8 阶的.所以，（么 x Z s )/< (1,2) > 是循环群，它一定与 Z 8 同构.
1.10 拓扑群
1.10.1 拓扑的定义
问题 1.10.1 拓扑是如何定义的？
设 G 是一个非空集合， r 是 G 的一族子集，若 T 满足下面的三个公理，则称
( G , t ) 是拓扑空间.
(1) 0 G r, C G r;
(2) T 中任意个集合的并集属于
(3) r 中任意有限个集合的交集属于 t .
此时称 T 中每一个集合为开集，称 r 为拓扑.若好的补集是开集，则称 i / 为
闭集.
. 58 •
第 1 章群 论
1.10.2 拓扑群的定义
问题 1.10.2 拓扑群的定义是什么？
集合 G 称为拓扑群，如果
(1) G 是群.
(2) G 是拓扑空间 •
(3) 对任意的 a , beG ， 群的运算 ( a , b ) -> ab - 1 是 G x G — G 的连续映射.
条件 （3) 表示了群的运算与拓扑结构的相容性，也常称为相容条件.
拓扑群就是引进了拓扑的群，并且群的乘法和求逆运算关于它的拓扑都是连
续的.
问题 1.10.3 在任意给定的群 G 上，是否可以定义拓扑，使得 G 成为一个拓
扑群？
可以.在任意给定的群 G 上，定义离散的拓扑 t 成为一个离散的拓扑空间.显
然，群的运算 ( a , b ) - ab ~ l 是连续的，因而群 G 在离散拓扑 t 下是拓扑群.这就
是说，任意一个群都可以看作一个离散的拓扑群.
问题 1.10.4 设 G 为 Z 2 加法群，定义 G 中的空集， {0} 和厶为 G 的开集，
则 G 是一个拓扑群吗？
不是.这是由于加法运算不是连续的，实际上，对于 G 中的开集作},它的加法
原像为 {(0,0), ( IJ )}, 但这不是 GxG 的 幵集， 所以，加法不是连续的，故 G 不是
一个拓扑群.
问题 1.10.5 什么是拓扑子群？
作为群的子群与其诱导拓扑构成拓扑群，并称为拓扑子群.也就是说，它既是
子群又是拓扑子空间.
问题 1.10.6 拓扑群的定义中的相容条件 （3) 能不能用 （ a ,6) -> a 6 是连续的
来代替呢？
不能.在实数加法群上规定如下的拓扑.对上任意一点 a ， 对于任意的正
实数 e ， 定义半开区间 [ a，a + e ) 为 a 的开集，记这样定义的开集全体生成的拓扑为
t. 容易知道对于 a < b , 开区间 ( a , 6), 左闭右开的区间 [ a , 6) 和(― oo , + oo ) 都是拓
扑空间 ( R ， 丁) 的开集.但是对于 a < b , 闭区间 [ a , 6] 和左开右闭的区间 ( a , 6] 都不
是拓扑空间 ( R , t ) 的开集.对该拓扑 r , 不难验证，实数加法群 i ? 的加法运算是连
续的， 但减法运算不连续.因此，实数加法群7?在拓扑 t 下不是拓扑群.
1.10.3 拓扑群的性质
问题 1.10.7 G 中群的运算和拓扑结构相容的充分必要条件是什么？
1.10 拓扑群
• 59 •
若 G 是群且是拓扑空间，则 G 中群的运算和拓扑结构相容的充分必要条件是
GxG -^ G 的映射 ( a , 6) ^ ab 和 G — G 的映射 a — a - 1 都是连续的.
问题 1.10.8 设 G 是拓扑群，则任意包含单位元 e 的开集 t /， 都一定存在包
含 e 的开集 V ,使得 W g 吗？
是的.由于拓扑群的乘法运算是连续的，故对于任意包含单位元 e 的开集 R
存在包含 e 的开集 R 和 F 2 , 使得 G t /， 令 K R A V 2 , 则 W g V .
问题 1.10.9 设 G 是拓扑群， aeG , M L a :G ^ G , L a ( b ) = a 6 和 i? a : G ->
G , R a ( b ) = ba 一定是同构吗？
是的.容易知道映射 r a :G — GxG ， T a ( b ) = ( a ， b ) 是连续的，记 p : G x G — G
为 p ( a , 6) = ab , 由于 G 是拓扑群，故 p 是连续的，因此 L a + p 。 r a 是连续的.由
( L a )- X = L a - i 可知， L a 是同构.类似地，丑 a 也是同构.
问题 1.10.10 若拓扑群 G 的子集 H 是开集 ， a e G ， 则 ai / 和一定是开
集吗？
是的.这是因为映射 f :G — GJ : bHab 是拓扑群 G 到拓扑群 G 的同构，
所以， H 是开集时 a 好一定是开集.
问题 1.10.11 若拓扑群 G 的子集 H 是闭集 ， a € G ， 则 a // 和 i/a —定是闭
集吗？
是的.原因与上面问题一样.
问题 1.10.12 若拓扑群 G 的子集 H 是开集， K 是 G 的子集，则 HK 和 KH
一定是开集吗？
是的.明显地，这是由于 ZO / = UaG/c a / f 和//尺= [ j neK Ha .
问题 1.10.13 若拓扑群 G 的子集 H 是闭集， K 是 G 的有限子集，则 HK
和 KH 一定是闭集吗？
是的.这是由于 KH = \ J a £ K aH .
问题 1.10.14 若拓扑群 G 的子群 H 是开集，则 H 一定是闭集吗？
是的 .设好 是拓扑群 G 的一个开子群，由于左乘是同胚，故对 G 中的任意元
素 〜 aH 都是开集.
若 a 拿付，则 ai / 与 H 不相交.假若不然，即 aHf ] H ^0, 必有6 e aH ^ H ,
从而必有 h G H 使 b = ah . 又因为//是子群，故 a = bh - 1 & 与 a ^ H 的假设
矛盾.因而 U aif 是开集，且是//的余集，所以付是闭集.
a^H
问题 1.10.15 若拓扑群 G 的子群 H 是闭集，则// 一定是开集吗？
• 60 •
第 1 章群 论
不一定.设 i ? 2 是平面上的所有实数对构成的加法拓扑群，则子群 H = Rx {0}
是炉的闭集，但明显地，开不是开集.
问题 1.10.16 若 ( G , r ) 是拓扑空间 ， H IG 的子集，则称包含//的最小闭
集为 H 的闭包 ，记为 H . 拓扑群 ( G ， t ) 的子群 H 的闭包71 也是子群吗？
是的. 设 是包含 g / i 的开集，由于 p : G x G — G 的乘法映射是
连续的，故 ^~ 1 { U ) 是 G x G 中包含 { g ， h ) 的开集，因此存在 包含分 的开集 Vi 和
包含/ I 的开集 V 2 , 使得 Fx x C //— 1 (⑺.既然仏 /I e 亙，因此存在 x G V^H
和 "e -由于 x，y G U ， 故 xy e H . 既然 （ x ,2/) e i . L ~ l ( U ), 因此 ， xy e U . Hi
xy e UC \ H . 由于是包含 p / i 的任意开集， 槪 gheTL 记 t : G — g 为逆映射，
w 为包含 / I - 1 的开集，则 T -\ W ) = W - 1 是包含/ I 的开集，故存在 Z e H ^ w -\
因而，2- 1 eHC \ W , 所以， / i - 1 e 77,故丑的闭包亙也是子群.
问题 1.10.17 拓扑群 （ G ， t) 是 HausdorfT 的充要条件是 { e } 是闭集吗？
是的.若拓扑群 （(7, t) 是 Hausdorff 的，则每个单点集都是闭集，因此， { e ) •是
闭集.反过来，若 { e } 是闭集，则对于任意 a G G ， 由 { a } = L a ({ e }) 可知对于每个
a G G , { a } 都是闭集.
对于任意 a / e , 由于 { a } 是闭集，因此存在开集 t /, 使得 eeU ,\ E . a ^ U .
存在开集 V = V - 1 ,满足 e E V ,并且 V CU ^ aeaV . 下面证明 V 与的
交是空集.假如 /I € 贝 lj h = ah u h l eV , 故 a = / i / iF 1 eVV CU . 但这与
a 丰 U 矛盾，所以， Vf ) aV 是空间，故 （ G , t ) 是 Hausdorff 的.
问题 1.10.18 若//是 （7 的正规子群.则//的闭包亙也是 G 的正规子
群吗？
是的.不难验证.
问题 1.10.19 设 G 是拓扑群， HAG 的正规子群，则商群 G/H 一定是拓
扑群吗？
是的.不难验证.
问题 1.10.20 设 Gi 和 G 2 都是拓扑群 ， f ： G x ^ G 2 是在单位元 e 连续的
同态，则/ 一定是连续的吗？
是的.对于任意 a G ，记6 = /( a ), 则对于包含6的任意开集(7,存在开集
O , 使得 U = Ob . 由于/在 e 连续，因此，存在包含 e 的开集 V ,使得 f ( V ) C O ,
因而， f ( Va ) C f ( V ) f ( a ) C Ob , 所以， f 在 a 连续，故 / 是连续的.
问题 1.10.21 拓扑群之间的同构是什么？
设 G，H 是拓扑群，若映射 f •• G — H 是群同态，并且是连续映射，则称/为
1.10 拓扑群
• 61 •
连续同态.若/的逆映射广 1 存在，并且广 1 也是连续同态，则称/是一个同构 •
此时，称拓扑群 G 和 if 是同构的.
问题 1.10.22 实数加法拓扑群 (/?,+) 和非零正实数乘法拓扑群（丑：；，.）是同
构的吗？
是的. 只需定义 f : R — R 〜为 f : aHe ' 则不难验证/是 同构.
问题 1.10.23 群的同态基本定理对拓扑群一定成立吗？即/是拓扑群
到拓扑群 G2 的连续的群同态，则一定有与 Im (/) 同构吗？
不一定.设为实数全体在加法和离散拓扑下构成的拓扑群， G 2 为实数全
体在加法和一般拓扑下构成的拓扑群， 若 f .. G '— G ) 为恒等映射，则/是连续的
群同态，并且 Ker (/) = {0}, 但 Gi / Ker (/) 就是 G ， 它与 G 2 不是同构的.
问题 1.10.24 设 G 是拓扑群，则对于任意包含 e 的开集和任意 G 的紧
子集都存在包含 e 的开集.使得 aVa - 1 C U 对于任意 aeK 都成立吗？
是的.对于任意包含 e 的开集 t /， 根据 G x G G ,{ a , b ) ^ ak - 1 在 （ a ， e )
是连续的可知存在包含 a 的开集 O a 和包含 e 的开集14,使得 ubu~ l C U 对任
意 ueO a 和任意6 e 14 都成立.由于 K 是紧集，故存在有限子集 F ^ 使得
KC \ J ieF O ai . 令 V = 贝 IJ aVa - 1 C U 对于任意 aeK 都成立.
问题 1.10.25 设 G 是交换的拓扑群， Hi 和 H 2 AG 的闭子群，则的 + H 2
一定是 G 的闭子群吗？
不一定.设 G 是实数全体构成的加法交换群7?，/^ = Z 和丹 2 = aZ ， a 是给
定的无理数，则坧和// 2 是 G 的闭子群.不难证明拓+ // 2 在尺中是稠密的
(实际上，不妨设 a = 令 = 1 = 0.414213 - • , e 2 = I - e x = 2 - V 2 =
0.585786 … , e 3 = £2 - ei = 3 - >/2 = 0.171572 …,这样就可以得到一个收敛到 0
的序列 e n G 仏+ H 2 , 因此 ， A + H 2 在 R 中是稠密的)， 但私+ H 2 是可数的，因
此，历+ // 2 是只的真子群，所以，它不是 G 的闭子群.否则的话，必有由私+ // 2
是闭集和 出+ If 2 在 R 稠密可知 Hi + H 2 = R , 矛盾.
第 2 章环和域
环具有加法和乘法两种代数运算，但环的结构和性质并不是很复杂.由于环有
零因子，故没有了消去律，零因子会影响环的性质，因此零因子得到了比较细致的
探讨.理想是环论的重要概念，理想的性质是重要的一部分.素理想和极大理想与
环和域的性质有着密切的关系.
2.1 基本概念
2.1.1 环的定义
问题 2.1.1 环定义在很多书都不同吗？
在不同的书中，环的定义有所不同，有的书的环不要求含有单位元1,但由于这
种没有单位元的“环” 一定可以嵌入到有单位元的环内，并且很多环的主要结果都
只对有单位元的环才成立，故有的书中的环要求含有单位元.但环定义的不同不会
对环的理论本身有影响，只是有些定理的表达会有些区别.
问题 2.1.2 环是什么？
设只是一个非空集合，如果在尺中有两种二元运算+， • 满足以下 条件：
(1) R 是加法 Abel 群和乘法 半群；
(2) a • (b • c) = (a • b ) • c 对任何 a ， b ， c G R 成立；
(3) (a + 6 ).c = a.c + 6 .c 和 a -(6 + c ) = a .6 + a.c 对任何 a , 6, c G R 成立.
则称丑 为一个环 ( ring ).
若存在 eGi ?, 使 e.a = a.e = a 对任何 a e R 成立, e 称为 7? 中的单位元.
问题 2.1.3 对于任意一个加法交换群都可以定义乘法，使之成为一个
环吗？
是的.只需对于任意 a ,6 eG , 定义 a 6 = 0, 则 G 在加法和乘法下构成一个环.
问题 2.1.4 若 R 是有单位元的环，则一定可以定义丑上的另外一种加法 ㊉
和乘法⑭，使（尺,©，0)也是有单位元的环吗？
是的. 在 i ? 上，定义 a ㊉ 6 = a + 6- hl , a 06 = ab^a + b , 则容易验证 （ H , ©，⑭)
是环，并且零元为 - l，a G 尺的新加法逆元为 -2 - a ， 新乘法单位元为 0.
2.1 基本概念
• 63 •
实际上，若定义映射/ :(仏+， .）— （凡 ©, ⑭）为/⑷= (2 - 1，则不难验证/
是环同构.
问题 2 . 1.5 环一定有单位元吗？
不一定.全体偶数在加法和乘法下满足环的分配律和结合律，但它没有单位元,
因此全体偶数构成一个偶数环.
问题 2.1.6 有单位元的的环的单位元一定是唯一的吗？
是的.环的单位元一定是唯一的.
问题 2 . 1.7 什么叫环的左单位元和右单位元？
若存在 G 尺，使 ez • a = a 对任何 a e R 成立，则称为中的左单位元.
若存在 e r G R ， 使 a • e r = a 对任何 ae R 成立，则称 e r 为 R 中的右单位元.
问题 2.1.8 环的左单位元或右单位元一定是单位元吗？
不 一定. 设只= {0, a ，6, c }， 在上定义加法 如下：
+
0
a
b
c
0
0
a
b
c
a
a
0
c
b
b
b
c
0
a
c
c
b
a
0
则只是加法交换群.在上定义乘法 如下:
-
0
a
b
c
0
0
0
0
0
a
0
a
b
c
b
0
a
b
c
c
0
0
0
0
则环拓=(/?,+，.）有左单位元 a 和6,但没有右单位元.
若在 R 上定义乘法如下：
氺
0
a
b
c
0
0
0
0
0
a
0
a
a
0
b
0
b
b
0
c
0
c
c
0
则环凡=(开，+，*)有右单位元 a 和6,但没有左单位元.
• 64 •
第 2 章环和域
问题 2.1.9 若环丑的左单位元是唯一的，则它一定是丑的单位元吗？
是的.若 e / 是环只 的左单位元，则对于任意 a ， bGR ， 有
(aei — a + ei)b = a ( e /6) — ab + eib = ab — ab -\- b = b .
因此 ，（ ae , -a + e t ) 也是的左单位元，因此
{d^i — ci ei) =
故 ae z = a 对任意 ae R 成立，所以， q 就是 i ? 的单位元.
问题 2.1.10 若环只有左单位元和右单位元，则丑一定有单位元吗？
是的.若是的左单位元, er •是的右单位元，则 e /心 = 6/ ，并且〜
因此， e / = e r ， 所以 ， e = q = eT •是 i ? 的单位兀.
问题 2.1.11 什么是有限环？什么是阶？
元素个数有限的环称为有限环.有限环的元素个数称为该环的阶.
问题 2.1.12 模 n 剩余类环是什么？
若 n 是大于1的正整数，则=: {0,1, 2, •• - T } 在剩余类的加法和乘法
下构成环，称为模 n 剩余类环 （residue class ring ).
问题 2.1.13 对于任意正整数 n ， 一定存在阶为 n 2 的交换环吗？
是的.容易知道 Z n © Z „ 在坐标加法和乘法下是阶为 n 2 的交换环.
问题 2.1.14 设丑是环，若对于任意 a e R , 都有 a 2 = a ，则丑一定是交换
环吗？
是的. 对于任意 a，b E ： R ， 有 a + 6 = (a -h 6) 2 = a -\- ab ba b , 故 = —6 a .
另夕卜，对于任意 c G 由 c + c = (c + c ) 2 = c 2 + c 2 + c 2 + c 2 = c = c + c + c 可知
c = — c , 所以，对于任意 a , 6 G i ?, 都有 = 6 a .
问题 2.1.15 对于任意正整数 n ， 一定存在阶为 n 2 的非交换环吗？
是的.容易知道 Z „® Z n 在坐标加法和乘法规定为
(mi,ni)(m 2 ,7i 2 ) =(( 爪 2 + n 2 )mi, (m 2 + n 2 )ni)
时，它是一个阶为 n 2 的非交换环.
问题 2.1.16 阶最小的环是什么？
设丑是只含一个元 a 的集合，若定义 a + a = a , a • a 二 a , 则 i ? 是环，并且零
元素和单位元都是 a ， 即0 = 1 = d . 这样的环称为零环，记作 0. 阶最小的环是1
阶的零环.
2.1 基本概念
• 65 •
问题 2.1.17 在含有不止一个元的有单位元的环 i ? 中，只是否有可能构成一
个乘法群？
不可能.由于对丑的加法单位元0, 0没有逆元，故不可能构成一个乘法群.
问题 2.1.18 在含有不止一个元的有单位元的环只中 ， iT = /?\{0}是否一
定构成一个乘法群？
不一定.实数环中的非零元全体就构成了乘法群，但对于整数环 Z ， 大于1的
元素没有逆元，因此非零元全体不能构成一个乘法群.
问题 2.1.19 有单位元的环的全体可逆元构成一个群吗？
是的.不难验证.
问题 2.1.20 若有单位元的环/?中的元素 a 有两个不同的乘法右逆元，则 a
一定有无穷多个不同的右逆元吗？
是的.这是 Kaplansky 定理.假设 a 只有有限个不同的乘法右逆元 ai ， a 2 ，…，
a m ，则 m > 2,并且
aa \ — 1, aa2 = 1， …， aa m = 1.
故对于 i = 1,2，... ， m , 有
a(l — aja -I- ai ) = a — + aa \ = a — la -h 1 = 1.
明显地，当 i # j 时，有 1 — a^a + ai ^ 1 — aja -\- a \. 因此，1 — + = 1，2, • • • ， m )
是 a 的所有右逆元，从而存在某个 A :， 使得
ai = 1 — a^a + ai,
因此，叫 a = 1. 由于 m 彡2,故存在 m . 因此有 a k aa s = a s , 从而
a k = a Sl 但这与 ai , a 2 , …，是 a 的 m 个不同的乘法右逆元矛盾，所以 ， a —定
有无穷多个不同的右逆元.
问题 2.1.21 设/?是有单位元的有限环，若 a , 6 G /?，= 1,则一定有 ba = I
吗？
是的.若 6 c = 0，则 c = ( ab)c = a ( bc ) = a • 0 = 0,因此，6不是 i ? 的零
因子•由于7?是有限环，故可记丑={〜，❿，... ， a n } ，由6不是7?的零因子可
知/? = { bai , ba 2 ,-- , ba n }. 由于1 € 故存在某个〜€足使得6% = 1,因而
a { ba x ) = a , 并且 a ( ba {) = ( a 6) a * = 故叫 = a ， 所以， 6 a = 1.
问题 2.1.22 若有单位元的环没有零因子，则= 1时， 一定有 ba = 1
吗？
• 66 •
第 2 章环和域
是的.由= 1 可知= a ，故 0 = a6a — a = a(ba — 1). 由于 i? 没有零因子,
故 ba = 1.
问题 2.1.23 是否存在一个有单位元的非交换环尺，有 a，be 满足 a 6= 1,
但 6 a _ 1呢？
是的.设 （7 为实数列全体 {( Xi , X 2 , - - - I Xi 是实数 } 构成的加法群，
则 G 到 G 的内自同态全体在加法和复合作为乘法的运算下构成 环反令
b . {x\ , X 2 ^ 3 ^ 3 ^ ( 0 , 1 *^ 2 ， . • . ， ? • . •) ，
fl : (Xl ， 3^2 ， 工3 ， . • • ， ? . . . ) ~^ (*^2? ^3 j • • • ， j • • •)，
则 = 1, 但 6 a # 1.
问题 2.1.24 设丑是有单位元的环，则一定有 RR = R 吗?
是的.这是显然的.
问题 2.1.25 设 i ? 是环，若凡 R =足则尺一定有单位元吗？
不一定.设 i ? = {0}，则/?是一个零环，并且 RR = R ，但 R 没有单 位元.
问题 2.1.26 存在没有单位元非交换有限环吗？
有很多有限的没有单位元非交换环.例如设是所有具有如下形式的矩阵
2 a 2b
A = ，
2 c 2d
这里 a，b,c，de Z 6 , 则不难验证尺是有限非交换环，但没有单位元.
问题 2.1.27 设环不是零环， SIR 的非平凡子环，若1是尺的单位元,
V 是子环 S 的单位元，则 a —定有 I ' = 1成立吗？
不一定.设只是所有实数上的 2 x 2 矩阵 ，则丑 是环，并且单位元为
I" 1 0 "
0 1 ’
若 S 为所有形如
a 0
0 0
的矩阵在矩阵乘法下构成的子环，则 S 的单位元为
_ 1 0 _
0 0
2.1 基本概念
. 67 •
问题 2.1.28 设环丑不是零环， S 是 i ? 的非平凡子环，若 1 是的单位元，
a 是子环 S 的单位元，并且 a # 1,则 a —定是尺的零因子吗？
是的.由于 a 不是的单位元，故不妨假设一定存在6 e 足使得 6 a # 6,则
( ba)a = b ( aa ) = ba , 因此 ，（6 a — 6 )a = 0，由 6 a 兴 6 可知 a 是 i ? 的零因子.
问题 2.1.29 设穴为交换无限环，若有零因子，则只一定有无限个零因
子吗？
是的.假设尺只有有限个零因子.设 a 是尺中一个零因子，则有 a # 0,并存
在6兴0,使得= 0. 定义映射 f : R — R ， f ( x ) = xa , 则不难验证 f 是 R 为加法
群到自身的群同态.并且 Ker (/) 中的非零元都是零因子，因此， Ker (/) 是有限
群.由于/?是无限群，故由同态基本定理， Im (/) 同构于 R / Ker ( f ), 因此 Im (/) 是
无限集，因而 : r 取遍中的元素时， xa 有无限种不同的取值.由 ( xa)b = x ( ab ) = 0,
可知: m 的非零取值都是尺中的零因子，因此 H 中有无限个零因子.
问题 2.1.30 若 a _ 0 是环 R 的幂零元，则 a —定是丑的零因子吗？反过
来呢？
若 a / 0是环 i ? 的幂零元，则存在正整数 n ， 使得# = 0,不妨设 n 是这样的
正整数中最小的，故 a • a "- 1 = 0,并且 a n - 1 _ 0,所以 ， a —定是 H 的零因子.
反过来 ， a ^ 0 是环的零因子，则 a 就不一定是的幂零元.例如在 2 x 2
实数矩阵乘法矩阵中，对于
有
使得 a 6 = 0,因此， a 是零因子，但对于任意 n , 都有
0
0
# 0 ,
所以， a 不是幂零元.
问题 2.1.31 若//和 S 都是环丑的子环，则 // U 5 一定是开的子环吗？
不一定 . 2 Z 和 3 Z 都是整数环 Z 的子环，但 2 ZU 3 Z 不是 Z 的子环.
问题 2.1.32 在什么条件下，环 i ? 一定是可交换的呢？
这个问题是由1905年 Wedderburn 证明的有限整环一定是域引起的.1945年，
Jacobson 证明了：若对环内的任意元素 a :， 都有依赖: r 的正整数 n ( x ) > 1使得
. 68 .
第 2 章环和域
⑷ = :r ， 则 7? 是交换环. 1951 年， Kaplansky 证明了：若体的任意兀 x, 都有依
赖 x 的正整数 n(x) > 1 使得 W ⑷ 属于 R 的中心 Z ( 丑)，则丑 一定是域. 1951 年,
Herstein 证明了：若有 n > 1 使得 i? 的元素都满足 x n — x e 则 i? 一 定是交
换环. 1955 年推广成：若对环内的任意元: r, %都有依赖于的多项式 p ⑴使
得 x - : r 2 p ( x ) 与^/可交换，则只 一 定是交换环，称为 Herstin 定理.
问题 2.1.33 若将环 H 定义中 G 是加法交换群的条件换成 G 是群，不一定
交换，那能讨论丑的性质吗？
可以.若丑是加法群，但不一定交换，并且 i ? 是乘法半群，满足右结合律，即
对于任意 a , 6, c G R , 都有 (a + b)c = ac -\- be , 则称 i ? 为右近环 (right near - ring ) •类
似地可以定义左近环 (left near - ring ).
例如，设 TV 是一个群 ， TV # {0}，则 TV 上所有的映射在加法和复合作为乘法的
运算下是一个近环，但它不是环.这是因为对于将 iV 的所有元都映为某个固定非
零元的映射 a , 有 aO # 0,所以， TV 不是环.
2.1.2 环的性质
问题 2.1.34 环 R 是交换环当且仅当对任意 a , b e R , 都有 （a + fc ) 2 =
a 2 -f 2 ab -1- b 2 吗？
是的.容易验证.
问题 2.1.35 环 R 是交换环当且仅当对任意 a , 6 G i ?, 都有 a 2 - b 2 =
( a-f 6)( a -6) 吗？
是的.容易验证.
问题 2.1.36 设 R 是环， 苦 a,b e R , 满足 { ab ) 2 = (6 a ) 2 , 则一定有 （ a 6 +
ba)(ab — 6 a ) = 0吗？
不一定.设 M 2 ( R ) 为实数上 2 x 2 矩阵构成的环，令
则
因此， ( ab ) 2 = (6 a ) 2 , 但
(ab 4- ba)(ab — ba ) =
-3 -2
8 4
# 0 .
2.1 基本概念
• 69 •
问题 2.1.37 什么是环的幂零元？
设开是环 ， cx e 亿若存在正整数 n 使得# = 0,则称 a 是幂 零元.
问题 2.1.38 若 a 是环中的所有幂零元，则 1 -a —定是乘法可逆元吗？
是的.由于存在正整数 n 使得 a n = 0,故
(1 — a )( 1 a c? -}-••• + cl 71 i ) = 1 — CL n — 1,
(1 ~i~ + a] + •.. + a 71 . 1)(1 — a) — 1 — d n — 1.
因此 1- a 是可逆元，并且
(1 - a) 一 1 = 1 + a + a 2 + …+ a n ~ l .
问题 2.1.39 交换环丑中的所有幂零元全体是尺的子环吗？
是的 . 若 a，b G R , 存在正整数 m , n , 使得 a n = 0,6 m = 0,则 （a — b) 7n+n = 0,
并且 ( ab ) 171 = a m b m = 0, 因此，交换环尺中的幂零元全体是尺的子环.
问题 2.1.40 什么叫布尔环？
设尺是一个环，若 a 2 二 a ， 则称《为幂等元，若所有的 aeR 都是幂等元，则
称 为布尔环 (Boolean ring).
问题 2.1.41 环丑的幂等元一定是单位元吗？
不一定.实数域上的所有 2 x 2 矩阵 M 2 { R ) 在矩阵的加法和乘法下构成一个
环，有
10
a =
0 0
是幂等元，但 (2 不是单位元.
问题 2.1.42 环7?中的所有幂等元全体是 H 的子环吗？
不一定.在环 Z 6 中， 0， T ,3 和3都是幂等元，但它们不构成的子环.
问题 2.1.43 若丑是布尔环，则 2a = 0 对所有的 aeR 成立吗？
是的.由于 (2a) 2 = 2a, 并且 (2a) 2 = (a + a)(a + a) = 4a 2 = 4a, 故 2a = 0.
问题 2.1.44 若 i ? 是布尔环，则丑一定是交换环吗？
是的.由于丑是布尔环，故 2 a = 0对所有的 aeR 成立，因此由 ( a - h 6) 2 = a + b
可知 ab-\-ba = 0,因而，+ 6 a = 2 a 6, 即 6 a = a 6 对于任意 a,b e R 成立，所以 ，丑
一 定是交换环.
问题 2.1.45 若7?是交换环，则丑一定是布尔环吗？
不一定.如整数环是交换环，但不是布尔环.
• 70 •
第 2 章环和域
2.1.3 零因子和整环
问题 2.1.46 什么叫环的零因子？
设 i ? 是 一 个环， a G - R , a 7 ^ 0,若存在 b E ： R，b _ 0, 满足 = 0(6 a = 0), 则 a 称
为 6 的一'个左零因子 (left zerodivisor ) (右零因子 (right zero - divisor )).
若 R 是环，则对任意 a e R , a ^ 0, 都有 0 a = 0, aO = 0. 在算术运算中，容易知
道，对任意整数 a 和 6, 当 a # 0, 6 / 0 时， 一 定会有 M # 0. 但一般情况下，需要考
虑 a # 0, # 0时，是否可能会有 ab = 0 的问题.
问题 2.1.47 环中一个元 b 先 a 的一个左零因子，则 a 就一定是6的一个右
零因子吗？
都不 一定. 在实数域上的所有形如 011 ai2 的2 x 2矩阵构成的环中,
0 0
对于 a =
1 0
0 0
有 b =
，使得 6 a = 0,因此6是 a 的左零因子，但
ab =
0 1
0 0
所以， a 不是6的右零因子.
问题 2.1.48 什么叫环的乘法逆元和单位？
若 R 中兀素 a , 6满足= 1,则 a 称为6的一个左逆元，6称为 a 的一'个右
逆元.若= 6 a = 1,则 a 称为 b 的乘法逆元，由对称性可知，此时6也是 a 的乘
法逆元或单位 ( unit ).
问题 2.1.49 设环丑有单位元， S 炎 R 中有单位元的子环，则 S 中的乘法
可逆元一定是尺中的乘法可逆元吗？只中的乘法可逆元一定是 S 中的乘法可逆
元吗？
明显地，若 i ? 的单位元与子环 S 的单位元一样，则 S 中的乘法可逆元就一定
是 R 中的乘法可逆元.
由于环的单位元与子环 S 的单位元可以不同，故 S 中的乘法可逆元不一定
是 R 中的乘法可逆元.设只是所有实数上的 2 x 2 矩阵，则只是环，并且单位元为
1 0
0 1
若 S 为所有形如
2.1 基本概念
• 71 -
的矩阵在矩阵乘法下构成的子环，则^的单位元为
1 0
0 0
容易知道
2 0
0 0
是 S 的乘法可逆元，但它不是丑的乘法可逆元.
即使只的单位元与子环 S 的单位元一样，/?中的乘法可逆元也不一定是 S 中
的乘法可逆元.例如整数环 Z 是有理数环 Q 的子环，2是 Q 的乘法可逆元，但2
不是子环 Z 的乘法可逆元.
问题 2.1.50 若丑 是有单位元的有限非交换环，则 ab=l St , 一定有 ba = 1
吗？
是的.若 a , 6 G R,ab = 1,则对于任意 : r e 凡当= 0时，必有 x = ex =
( ab)x = a ( bx ) = aO = 0, 因此，定义 f •• R — R 为 /㈤ = 6: r , 则 / 是单射，由于
R 是有限的，故/为-对应.因此对于1 € 丑， 有某个 yeR , 使得1 = 6%因而，
a = a ( by ) = ( ab)y = y , 所以， 6 a = 1.
问题 2.1.51 设 /? 是有单位元的非交换环，若存在 a , 6 €凡 a 6 = 1，但 6 a # 1，
则还有其他的元 ce H ， 使得 ac = l 吗？
是的.实际上，令 c = 1 — fea + 6，贝 lj ac = a — aba + afe = a—l .a + 1 = 1，并且
c ★ b .
问题 2.1.52 设 H 是环，若 a ， be R ， a ^0， b ^0, 是否可能会有 ab = 0?
有可能.在实数域上的所有2 x 2矩阵中，非零元的乘积可以等于零，
如
1 0 "
h -
' 0
0 *
1 0
? 0 —
1
1
则 a 6 = 0.
问题 2.1.53 设丑是一个有单位元的有限环，若 a € 不是零因子，则 a —
定是乘法可逆元吗？
是的.对于 a €开，若 a 不是零因子，则由是有限的可知1 = a G ， a , ci 2 , …中
一 定存在正整数0 < m < n , 使得 a m = a n ， 这里不妨设 n 是这样的正整数中最小
的.如果 m # 0,则0 = a ( a n - 1 - a m - 由于 n 是最小的，故 a ^ 1 -，- 1 # 0,但
这与 a 不是零因子矛盾.因而 ， m — 定是0,故1 = = a n = aa n_1 , 所以 , a 的乘
法可逆元为 a n - 1 .
• 72 •
第 2 章环和域
问题 2.1.54 设环没有零因子，若非零元6 e 丑,6 2 = 6,则6 —定是丑的
单位元吗？
是的.对于任意 a G i ?, W b 2 a = ba , Hi b(ba — a ) = 0, 因此， 6 a — a = 0, 因而，
ba = a 对任意 a e R 成立.同理可证 ， ab = a 对任意 a e R 成立，所以 ， b 是环丑
的单位元.
问题 2.1.55 设丑是环，则丑的零因子全体/ 一定是尺的理想吗？
不一定.在环中，/ = {2,3} 对加法不是封闭的，实际上，2 + 3 = 1不属于
/，因此，/不是加法群，也不是理想.
问题 2.1.56 设尺是交换环，若 a G 是幂零元，即存在某个正整数 n , 使得
a n = 0,则对于尺的任意乘法可逆元 b，a + b 一定是丑的乘法可逆元吗？
是的. 若 a n = 0 ,则容易知道 ( l - ha )( l - a + a 2 + .. . + (- l ) 2 a n ) = l + (- l ) n a n+1 =
1 + 0=1,因此，1 + a 是丑的乘法可逆元.若6是交换环的乘法可逆元，则容易
验证 { b ~ l a) n = 0,故1 + 6-、是 H 的乘法可逆元，因此 a + 6 = 6(1 + bS ) 是 R
的乘法可逆元.
问题 2.1.57 设 i ? 是环， a，be R ， 苦 ab 是乘法可逆元（单位)，则 a 和 6 都是
乘法可逆元吗？
若 H 是交换环， M 是乘法可逆元，则存在可逆元 c G 仏使得 ( ab)c = 1，故
a ( bc ~ l ) = { ab ) c~ l = cc - 1 = 1，并且由于 i ? 是交换环，故 ( bc~ 1 )a = 1,所以， a 是乘
法可逆元.同理，6也是乘法可逆元.
若 R 是非交换环，并且有 a，be R , 使得 (26 = 1,但 k / 1，则 a 和6都不是乘
法可逆元.
问题 2.1.58 若是没有幂零元的有限环，则尺一定是交换环吗？
是的.这是 Roberto 在2000年证明的结果.参见 ： De Morais , Roberto J F .
Oil some commutativity theorems for finite rings and finite groups . Czechoslovak
Mathematical Journal , 2000, 50(2): 245-247.
问题 2.1.59 什么叫整环？
若交换非零环中任何两个非零元的乘积都不等于零，则称环为整环
(integral domain ).
不过，有的人将整环的英文记为 entire ring , 有些书将整环定义为中任何两
个非零元的乘积都不等于零的非零环，而交换的整环称为整区，因此，这样定义的
整环不一定是交换环，不过这样只有术语的不同，理论本身没有变化，不过有些定
理的描述就不同了.为了简明，本书的整环都指交换的整环.
2.1 基本概念
• 73 •
问题 2.1.60 整环 R 的幂等元一定是单位元吗？
是的. 若 e 2 = e , 则对于任意 a €丑，有 e 2 a = ea , 故 e(ea — a ) = 0,因此 ， ea = a .
同理可证 ae = a ， 所以， e 是丑的单位元.
问题 2.1.61 设丑 是整环， I 炎 R 的理想，并且 I 爹 R , 则商环 R/I 一定是
整环吗？
不一定 . Z 是整环，/ = (6) 是 Z 的理想，但 Z/J 3 Z 6 不是整环.
问题 2.1.62 设丑 是环 ， I A R 的理想，并且商环 R / I 是整环，则 i ? 一定是
整环吗？
不一定.容易证明 Z 乂 Z 不是整环，对于理想/ = {(0， m ) | m e 7 V }， 有
ZxZ / I ^ Z , 因此 ， Z x 是整环.
2.1.4 可除环
问题 2.1.63 什么叫可除环？
若有单位元的非零环 i ? 的任何一个非零元的乘法逆元都一定存在，则 称尺为
一 个可除环 （divisible ring ).
问题 2.1.64 可除环的阶一定大于等于 2 吗？
是的.可除环一定包含加法0元和乘法单位元 1.
问题 2.1.65 交换的可除环一定是整环吗？
是的.设 i ? 是交换的可除环，则对于任意 a , 6 e 仏 a # 0, 6 一 0,若 M = 0,则
a~ l ab = a -1 0 = 0,因此，6 = 0,矛盾，所以， i ? 一定是整环.
问题 2.1.66 整环一定是可除环吗？
不一定.整数环是整环，但不是可除环.
问题 2.1.67 阶大于 1 的有限阶的整环一定是可除环吗？
是的.这是由于有限阶的整环的任何一个非零元的逆元都存在.
问题 2.1.68 可除环一定是交换环吗？
不 一 定.设 i ? 是实数域 ， H = { a -\- bi - {- cj -f dk \ 这里 a , 6, c ? d 6 /?}, 定义加法
(ai - b\i c\j dik ) ( a2 + b 2 i + C2j -h ( hk )
=(ai + a 2 ) + (bi + b 2 )i + (ci + c 2 )j + (di 4- d 2 ) k ,
则 // 是一个加法群.如果定义
• 74 -
第 2 章环和域
ij = k , hi = j , jk = z ,
ji = — k , ik = — j , kj = - i ,
则 // 是一个非交换环，通过计算可得
(a + + cj . + dk)(a — bi — cj — dk ) = a 2 + 6 2 + c 2 + d 2 .
因此 // 中每个非零元是乘法可逆的，也就是说//是一个非交换的可除环，称为四
元数可除环 （quaternion division ring ), 亦称为 Hamilton 四元数可除环.
由 {a + M +勿 - {-dk | a , b , c,de Z ) 全体所构成的集合在四元数的加法和乘法
下构成一个非交换环，称为四元整数环.
问题 2.1.69 若丑 是可除环，则 a # 0 时，方程 ax = b 都有解吗？
若尺 是可除环，贝 ll a # 0时，方程 ax = b 都有解 x = a _1 6, 方程 ya = b 都有
解 y = bar 1 .
问题 2.1.70 若丑是有单位元的环，对于任意 a,be R , a ^0, 方程 ax = b ^
有解 ， H 一定是可除环吗？
是的.若只是有单位元的环，对于任意 aGi ?, a ^0, 由于方程 ax = 1有解，故
存在6,使得 a 6 = 1. 由于方程 bx = 1 有解，故存在 c , 使得 6 c = 1.故 a ( bc ) = a ，因
而，由 ( ab)c = c 可知 a = c , 因此，= 6 a = 1,故 a 是可逆兀，所以，是可除环.
问题 2.1.71 设丑是有单位元的环，若丑只有 {0} 和丑本身是它的左理想,
R 没有其他理想 ，则开 一定是可除环吗？
是的.对任意 aeR ^ a ^ O , 由于 /? a 是丑的左理想，并且# {0}, 但只只
有 {0} 和 i ? 本身是它的左理想，故一定有=兄因而存在 be R , 使得 6 a = 1.
又由于6 # 0,故也是 H 的左理想，并且只6 一 {0}, 所以同样有尺6 =尺，从而存
在 c G 尺，使得 cb = 1. 由 6 a = l 和 c 6 =l 可知 c = cl = c ( ba ) = ( cb)a = la = a ,
故 k = 1，从而 a 是乘法可逆元，所以丑是可除环.
问题 2.1.72 设丑是有单位元的可除环，则丑只有 {0} 和丑 本身是它的理
想，丑没有其他理想吗？
是的. 若/是丑的理想，并且/ # {0}，则存在 aG /, a /0, 因此， a 有乘法逆
元 a -1 , 因而 1 = a _1 a G /,所以， I = R .
2.1.5 子环
问题 2.1.73 什么是子环？
设 S 是环 i ? 的一个非空子集，如果在加法运算下 是开 的子群， abeS 对任
何 a , 6 € S 成立，则称 S 为丑的 一个子环 ( subring ).
2.1 基本概念
.75.
问题 2.1.74 交换环的子环一定是交换环吗？
是的.
问题 2.1.75 整环的子环一定是整环吗？
是的.
问题 2.1.76 有单位元的非交换环的子环一定是非交换环吗？
不一定.设丑是环 ，丑 的中心为集合 C ( R ) = {be R\ab = ba 对任意 ae R
成立 }， 由于 1 e (7( 尺) ，故 C { R ) 不是空集.
对任意 ai , fl 2 ^ C ( R ) 和任意 b £ R ， 有
a\b = ba \, a^b = ba ^ -
因此
故
(ai — ci2)b = b(a\ — 勿)，
( aid 2)6 = 6( aid 2).
CL\ — CL2 ^ C{K )、 Ob\Ci2 G C(R).
因而，是丑的子环.又因为对任意 b u b 2 e C ( R ), 都有 M 2 = b 2 b u 所以 C ( R )
是尺的交换子环.
问题 2.1.77 若环尺的所有真子环都是交换环，则丑一定是交换环吗？
不知道 .若 a # b，ab 关 ba ， 则 R 为 a 和 b 生成的环，那么丑的所有真子环都
是交换环吗？
问题 2.1.78 设7? 是环，但 R 不是域，尺有可能包含一个子环 尸 是域吗?
有可能•设 F 是一个域，则 F 上的全体多项式 F [ rr ] 是一个环，但不是域， F 是
F [ x ] 上的常数多项式全体，所以，多项式环 F [ x ] 包含一个域 F .
2.1.6 子环 R [ a ]
问题 2.1.79 什么是子环丑和元素 a 生成的环？
若 R 是环 F 的子环，则对于 a e F,a 《尺 ，用丑 [ a ] 记包 含只和 { a } 的最小的
F 的子环.
问题 2.1.80 设 Q 是有理数环，则 Q [\/2,\/3] 和⑺力+力]一定相等吗？
是的.明显地，有 Q [ V 2-^ V 3] C Q [72,^3]. 反过来，由于 W + Q [ V 2+ V 3 l
故 (v^-hv^) 3 G Qh/^+v ^]， 故 2v/2+6v/3-f9^+3^ = 11>/2+9^ € Q[y/2+y/3],
因此， = (11^ + 9^3) - 9(x/2 -by/3)e Q [ y /2 + s /3], 因而， W e Q[^2 + ^3],
. 76 •
第 2 章环和域
类似可证明 € Q [ v ^ + \/5]，故 Q [ y /2, V 3] C Q [ y /2 + \/3], 所以， Q [ y ^, \/5]和
Q [ y /2^- VS ] 一定相等.
问题 2.1.81 若交换环的乘法半群是有限个元素生成的，则只一定是有
限环吗？
Isbell 在1959证明了若交换环的乘法半群是有限个元素生成的，则丑一定
是有限环①.
问题 2.1.82 有并且只有有限个零因子的交换环一定是有限环吗？
Ganesan 在1964年证明了只有有限个零因子的交换环一定是有限环②.
2.2 理想和商环
2.2.1 理想的定义
问题 2.2.1 什么是理想？
设/是 i ? 的一个子集，如果在加法下 I 是 R 的子群.并且 cm e J 对任何
aeR . uel 成立，则 J 称为 R 的左理想.
若 ，ua e I 对任何 a eR,u el 成立，则 J 称为的右理想.
若 au e I， ua 6 I 对任何 a e R，u G I 都成立，则 / 称为 i? 的理想 (ideal).
问题 2.2.2 理想一定是子环吗？
是的.容易验证.但有的书中环和子环的定义要求环和子环都一定包含单位
元，这样的话，理想就不一定是子环.
问题 2.2.3 子环一定是理想吗？
不 一定. 在环 Z x Z 中，若 S = {( n ， n ) | n e Z }， 则 S 是 Z x Z 的子环，但对
于 a = (2, 3) e Z x Z，w = (1,1) au= (2,3) 不属于 S ， 因此， 5 不是 Z x Z
的理想.
问题 2.2.4 有限环的理想的阶一定整除环的阶吗？
是的.这是环的 Lagrange 定理，有限环丑和它的 理想/ 在加法下都是加法群，
因此，由群的 Lagrange 定理知道 |J| 一定整 除网.
问题 2.2.5 若/是环丑的理想， SIR 的子环，则 If)S 一定是 S 的理
想吗？
① Isbell J R. On the multiplicative semigroup of commutative ring. Proc. Amer. Math. Soc.,
1959, 10: 908-909.
② Ganesan N. Properties of rings with a finite number of zero divisors. Math. Ann., 1964, 157:
215-218.
2.2 理想和商环
• 77 •
是的.容易验证.
问题 2.2.6 若丑是交换环 ， a G 尺，则 a 生成的理想为 （ a ) = {ar | r e 丑}.若
环 R 不是交换的，则 { ar\re R } 一定是 S 的理想吗？
不一定.在实数上的 2 x 2 矩阵环丑中，令
' 1 0 "
— ，
0 0
则
aR =
1 0
0 0
明显地，对于
an
<121
ai2
«22
是实数
an
0
«12
0
^115^12 € R
0
ba = ，
1 0
不属于 ai ?, 因此， glR 不是一个理想.
问题 2.2.7 交换环丑的所有幂零元 7 V —定是丑的理想吗？
是的. 设 a，b G N , 则存在正整数 m , n 2 ^ 1,使得 a ni = 0,6^ = 0,令
n = max { ni , n 2 }, 则容易知道 a n = 0, 6 n = 0. 故 （a 士 b) 2n = 0,因此 ， N 是 Ft 的加
法子群.
对于任意 r e R、a e N, 由于是交换环，因此， ( ra) n = r n a n = 0,故 ra e 7 V ，
所以， N 是 R 的理想.
问题 2.2.8 若/ 是环 R 的幂零元全体，则/ 一定是的理想吗？
不一定.若 R 是交换环，则不难验证/ 一定是只的理想.
若 R 不是交换环，则/?不一定是 i ? 的理想.例如在实数上的 2 x 2 矩阵全体
构成的环中，令
则 a 2 = 0, b 2 = 0, 因此 ， a , 6 是幕零兀，但
故
(a + 6) 2 = 1 0 •
0 1
因此 ， a + 6是乘法可逆元，因而 ， a + 不可能是幂零元.所以 ， J 一定不 是及的
理想.
问题 2.2.9 设凡和 尺 2 是交换环 ， f : Ih — R 2 是环同态， 了是丑 2 的理想,
则广 1 ⑺一定是丑1的理想吗？
是的.容易验证.
问题 2.2.10 设历和 /? 2 是交换环 ， f ： Ri ^ R 2 是满同态 ， I ARi 的理想,
则 JV) 一定是只 2 的理想吗？
是的.容易验证.
问题 2.2.11 无限的非交换环一定有无限个不同的理想吗？
不一 ■定. 四兀数可除环 (quaternion division ring ) 7/ = { a + bi -\- cj-\-dk \ a ， b ， c，d e
R} 是无限的非交换环，但它只有两个理想 {0} 和好.
问题 2.2.12 设环尺是诣零环 （nil ring )， 即对任意 a e R , 都存在某个正整
数 n , 使得 W = 0,所有元素都是幂零元的理想 J 称为丑的诣零理想 ，若丑 没有
(双边）诣零理想，则只一定没有左（右）诣零理想吗？
不知道.这是 K 6 the 在 1930 年提出的猜想，还没有解决.
2.2 理想和商环
• 79 *
问题 2.2.14 设 M 2 ( R ) 是所有实数上的 2 x 2 矩阵构成的环，所有形如
_ 0 0 _
0 a
的矩阵全体 J 是 M 2 ( R ) 的理想吗？
不是.实际上，对于
0 0
0 a
e J,
0
0
e m 2 ⑻，
" 0 1 "
" 0 0 "
' 0 1 '
0 1
0 1
0 1
不属于 J ， 所以， J 不是 M 2 ( R ) 的理想.
问题 2.2.15 设 S A R 的子环，若 S 有无穷多个不同的理想，问丑是否有
无穷多个理想？
不一定.整数环 Z 是有理数环 Q 的子环，由于不同的素数 p , ( p ) 都是 Z 的真
理想，故 Z 有无穷多个不同的理想，但 Q 的理想只有零理想和 Q 本身.
2.2.3 商环
问题 2.2.16 什么叫商环？
设 J 是环尺的一个理想，则只/7在乘法 （a + J )(6 + I ) = ab + I 下构成一个
环，称为只关于/的商环 (quotient ring ).
问题 2.2.17 设/是环 i? 的理想，则商环 R / I 是交换环的充要条件为 rs-sr G
I 对任意 r，s e R 吗?
是的.若商环 尺 /J 是交换环，则对于任意 r，s G 尽有 ns + J = (r + J)(s + J ) =
(s + /)(r + J ) = sr + /，故 r*s — sr + / = /， 因而， rs — sr E I .
反过来，设 r + /，s + / G R / I , 由于 rs — <sr G /，因此， rs — sr + J = J ，故
rs + I = sr + I , 因而 ， （r + + /) = (s + /)(r + /) 5 所以， R/I 是交换环.
问题 2.2.18 交换整环的商环 R/I 一定没有零因子吗？
不一定.设丑= J = 4 Z , 则容易知道尺是交换整环，但=厶有零因子.
问题 2.2.19 若 商环丑 有零因子，则 R / I 就一定有零因子吗？
不一定.设丑= Z 4 ,/= {0,5}, 则有零因子，但 R/I = Z 2 没有零因子.
问题 2.2.20 设丑是环 ， I IR 的理想，若 R / I 是域，则丑一定是域吗？
• 80 •
第 2 章
不一定.实际上，对于 A 的理想 J = {0, 3}， Z 6 // 包含0 + /，1 + /，2 + /，因此，
Z 6 / J 与 Z 3 同构， Z 6 // 是一个域，但容易知道 Z 6 不是域，也不是整环.
2.2.4 单环
问题 2.2.21 什么叫单环？
任何一个含多于1个元素的环 i ? 都有两个理想0 和反 称为只的平凡理想.
如果一个环除了平凡理想外没有其他理想，那么该环称为单环 (simple ring ).
问题 2.2.22 域尺一定是单环吗？反过来呢？
域丑一定是单环，有单位元的交换环是域的充要条件为是单环.
问题 2.2.23 有不是域的单环吗？有非交换的单环吗？
有.实 数域尺 上的 2 x 2 矩阵全体 M 2 ( R ) 就是非交换的单环 .若 J 是 M 2 ( R )
的非零理想，则一定存在叫 j 不全为0的矩阵属于/，不妨设/ 0,由于 J 是理
想，故有
1 n
0 an cl \2 10 10
a ll = G /,
0 0 ^21 ^22 0 0 0 0
因此
并且
0 0
ei.
o 1
由于理想 / 是加法群，故容易验证，所有2 x 2矩阵都属于/，从而，/是 M 2 ( i ?) 的
非零理想，所以， M 2 ( R ) 是非交换的单环.
问题 2.2.24 有单位元的可除环 i ? 一定是单环吗？
是的.设/是可除环的一个理想，若/不是0理想，则存在非零元 ae I .
由于只是可除环，故 a _1 G 只，从而1 = aa _1 G I . 所以对任意的 r e R , 都有
r = rl e I ， 因此 R = I ， 所以 i ? 是单环.
问题 2.2.25 若 i ? 是有单位元的非零交换环， 并且丑 是单环，则丑一定是
域吗？
2.2 理想和商环
. 81 •
是的.假如 H 不是域，则一定存在 a e R,a ^ 0 , a 不是乘法可逆兀，故 glR #兄
这是由于 ai ? =丑，必存在 b e R , 使得 ab = 1,由是交换环可知 6 a = a 6 = 1，但
这与 a 不是乘法可逆元矛盾.由于 i ? 有单位元，故显然 ai ? # {0}，因此 ai ? 是 i ?
的非平凡理想，但这与丑是单环矛盾，所以，丑一定是域.
问题 2.2.26 若 R 是有单位元的非交换环，并且丑是单环，则丑一定是可除
环吗？
不一定.实数上的所有2 x 2矩阵环 M 2 ( R ) 是一个单环，但它不是可除环.
问题 2.2.27 存在有并且只有三个不同理想的交换环吗？
是的.对于整数环考虑 i ? = Z /25 Z , 明显的开有两个理想 {0} 和 R 另外,
设 a 二5 + 25 Z , I = Ra , 则 / 是丑 的理想，并且 I = 5 k + 25 Z,ke {0,1,2, 3, 4} •故
I 是有5个元素的理想，因此， J 与 {0} 和尺都不同.
另外，丑没有其他的理想，这是由于 i ? 的理想一定是 i ? 的加法子群，只按加法
是25阶的循环群，故由拉格朗日定理可知 i ? 的加法子群的阶只能是1阶，5阶和
25阶，并且容易知道1阶，5阶和25阶都只有唯一的子群，所以，只有三个理想.
问题 2.2.28 设尺是有单位元的交换环 ，若丑 有并且只有三个理想 {0},/ 和
R , 则对于任意 ail , a 都是乘法可逆元（单位）吗？对于任意 a ,6 G /,都有 ab = 0
吗？
对于任意 a ^ I , a 都是乘法可逆元.这是由于 a _ J 时，有 a / 0,并且 a 生
成的理想 （ a ) 等于仏故存在某个 r G 亿使得 m = 1,因此 ，由只 是交换环可知
ar = ra = 1,所以， a 是乘法可逆元.
若 a ,6 e J , 则 J 一 定包含 M 生成的理想 ( ab ). 假如 （ a 6) # {0}, 由于只只有三
个理想，故一^定有 （ ci 6) = /，因此存在某个 r G i ?， 使得 a = ra 6， 因而， a(l — r 6) = 0.
1 -rb 一定不属于 J ( 若 1 - G /， 贝 lj 1 = (1- rb ) -f r 6 6 /, 因此 ， I = R , 矛盾)，由
上面的讨论可知 1 — rb 一定是乘法可逆元，从而由 a ( l - r 6) = 0 可知一定有 a = 0,
但这与 （ ab ) = I 矛盾. 所以， （ a 6) = {0}，即 a 6 =： 0.
问题 2.2.29 单环的子环一定是单环吗？
不一定.有理数环 Q 是单环，但 Q 的子环 Z 不是单环.
2.2.5 理想的性质
问题 2.2.30 设厂 J 是丑的理想，则 If ] J 也是丑的理想吗？
是的.容易按定义验证.
问题 2.2.31 设 /， J 是及的理想，令 J + J = {a + 6 | a e J }, 贝 ij J + J
是丑 的理想吗？
• 82 •
第 2 章环和域
是的.不难验证.
问题 2.2.32 若/ 是环 R 的理想，则一定有 RI = I吗?
是的.容易验证.
问题 2.2.33 若环丑不是交换的 ， a G 丑，则 Ra= { ba\be R } AR 的左理
想吗？是尺的右理想吗？
Ra = { ba\be R } 一定是 i ? 的左理想，但不一定是右理想.
问题 2.2.34 若环丑不是交换的 ， a G 仏则丑 a 是丑的理想吗?
10
0 0
不一定.设只是实数域上所有的2 x 2矩阵，
，则 W
ail 叱
0 0
Ra
an 0
<221 0
，故 ai? U 见
an
ai 2
或
ai 2
0 "
0
0
«21
0
不是 7? 的理想.这是
因为对于
aR (J Ra .
0
0
，有
0
0
€ aR \ jRa , 使得 c 6
0
0
不属于
问题 2.2.35 设/，《/ 是环 R 中两个理想，若/门./ = {0}, 则对于任意 a €
/, 6 G «/,都有 afe = 0吗？
是的. 对于任意 a e /,6 e J ， 由/是理想可知 ab G I ,由 J 是理想可知 a 6 € J ，
因此， abelDJ , 所以， ab = 0.
问题 2.2.36 设丑是环，若/和 J 是及的理想，则/和 J 的乘积 { ab\ae
I , beJ } 一定是尺的理想吗？
不 一定. R { x , y ] 为实数上的二元多项式全体构成的环，则容易验证: r 和 2 /生
成的理想 ( x , y ) = {px + qy \ p,q e R [ x , y ]}, 令 I = J = ( x ， j /)， 贝 ！ J x 2 , y 2 属于 J 和 《7
的乘积，但: r 2 + 沪不属于 / 和 J 的乘积，因此，/和 J 的乘积在加法下不是子群，
所以，/和 J 的乘积不是理想.
由于 | \ aieIMeJ , n 为某个正整数 j 是的理想，故将它规定为
理想/和理想 J 的乘积，不过按照代数学历史上的习惯,还是将它记为 / J , 称为理
想/和理想 J 的乘积，但一定要注意该符号所代表的是理想乘积.
问题 2.2.37 若 A 和/ 2 是环 R 的两个理想，则 hl 2 G / i 门八和 hh = Iif]h
一定成立吗？
设八和/ 2 是环 i ? 的两个理想，一定有/以 2 g / ifl /2, 但不一定有 Ah =
2.2 理想和商环
. 83 .
由于 / i 和了 2 是环尺的两个理想，故 Ah q A，a A g a ， 因而 Ah g a n ^2 -
在整数环 Z 中，令 A = (2) = {2 cx I a € Z } 和/ 2 =⑷= {4 a I a G Z } 是 Z 的
两个理想， A / 2 = (8) = {8 a I a € Z } 7 并且 hf]h = (4) = {4 a | a G Z }, 因此 A / 2
可以真包含在 Afl /2 内.
问题 2.2.38 设 / i ，/2 和心是环尺的理想，则 { I \ l 2 )h = ^(^ 2 ^ 3 )?^ 1(^2 + ^) =
/ 1/2 + / 1/3 —定成立吗？
是的.容易验证.
问题 2.2.39 若/和 J 都是环丑的理想，则理想 I 和 J 的乘积一定包含在
/ f | J 吗？有可能是真包含吗？
是的 . 由于 / 和 J 都是环丑的理想，故对于任意 a 〗G I,bi € J, 都有 aj6i G /，
并且 aA G •/ ， 因此， L/ = {Er=i a i b i I G I,bi eJ}Q If]J.
在整数环 Z 中，令 / 和 J 都是3生成的理想，即/ = J = (3), 则容易知道（3 2 ) g
(3). 由于 /J = {(xi • 3)(2 /i • 3) 4- • • • + ( x n • 3)( y n *3) | x^yi G Z , n 为某个正整数 }=
{ xiyi -3 2 - h ---+ x n i / n *3 2 I x“yi e Z , n 为某个正整数 } 二 (3 2 ), 因此 ， G (3 2 ) £ ⑶，
故 "[ /门丄由 3 € (3) = / f | 丨但 3 多 （3 2 )， 故 3 癸 JJ , 所以 ， IJ
另外，若 Q [ x ) 为有理数多项式环，则对于它的理想 I = J = (X )，有 IJ = ( x 2 ),
但/门7 = (4,因此， U ^ IC \ J .
问题 2.2.40 设/?是交换环， a,be R , 13 'J ( a ) D ( b ) 的充要条件是存在某个
ceR , 使得 b = ac 吗?
是的.若 （ a ) 2 (6), 则6 E ( a ) = {ra \ r 6 R }^ 故存在某个 c E R , 使得6 = ac .
反过来，若存在某个 c e R , 使得6 = ac ， 则6 G ⑷，故 （6) = {rb \ r e R } =
{rca \ r £ R } Q ( a ).
问题 2.2.41 设丑是有单位元的交换整环， a , 6 G 仏则⑷=⑻的充要条件
是存在某个乘法可逆元 ceR , 使得 b = ac 吗?
是的.由于⑷ 〔⑻， 故 a G (6), 因此，存在某个 Ci G 仏使得 a = 由于
(6) C (a), 故 6 G ⑷，因此，存在某个 C 2 G 尺，使得 6 = ac 2 . 故 a = 6ci = ac!C 2 , 因
而， a(l — cic 2 ) = 0. 若 a = 0, 则 6 = 0, 结论明显成立.若 a 笋 0 ， 由于 7? 是整环，因
此, C 1 C 2 = 1，故存在乘法可逆兀 c = C 1 C 2 € /?，使得6 = ac.
问题 2.2.42 设 I ， J 是环 R 中两个理想，什么时候称 J , J 是互素的？
设夂 J 是环只 中两个理想，若 J + J =尺，则称/, J 是互素的 ( coprime ).
问题 2.2.43 设尺是环，厂 J , K 都 是环丑 的理想，若/， J 都与尺互素的，
. 84 •
第 2 章环和域
则 IJ = | ^ aibi | ai G I，bie J，n 为某个正整数 是环 R 的理想，并且 IJ 与 K
互素吗？
是的.由于 I-hK = R,J + K = R , 故存在 aG /, A：i eK.be J , k 2 eK , 使得
a -\- k \ — 1 7 6 + A：2 = l ,
因此
(a + A ： i )(6 + 知 ） =ab ( aA；2 + A ： i 6 -h k \ k2 ) = 1.
由是环尺的理想可知 ， + + K , 因而
1 — ab ( fl /^2 ~\~ k\b - k \ / C2 ) G / i / ~}~ K .
从而由 L / 的定义可知，为环 i ? 的理想，故 1 J + K 是环只的理想，因此 IJ + K =
R ， 所以 IJ 与 K 互素.
问题 2.2.44 iSiR 是交换环，/, J 都是环丑的理想，若/， J 互素，则 /J = /
一定成立吗？
是的.由于 /， J 都是环丑的理想，故明显地 / jg / flJ .
反过来，由于/， J 互素，故存在 a G /,6 G J , 使得 a + 6 = 1，因此对任意的
c e / fV , 有
ca cb = c .
由于 i ? 是交换环，故 c = ac + c6 e / J , 于是 IClJC IJ ^ 所以 /J = / p | J .
问题 2.2.45 什么叫 aeR 的零化子
设只是交换环， aeR , 则称 Ann ( a ) = {6 € i ? | k = 0} 为的零化子
( annihilator ).
问题 2.2.46 设丑是交换环 ， a G 仏则 a 的零化子 Ann ⑷一定是/?的理
想吗？
是的.只需按定义验证.
问题 2.2.47 设丑是非交换环， I 和 J 都是7?的理想，若/ + J =尺，则
If]J = U 一定成立吗？
不一定.设尺是实数上的上三角 2 x2 矩阵构成的环，令
2.2 理想和商环
• 85 •
理想/ = ( a)，J = (6)，则理想/的元都具有形式
'x 0 "
0 0 ’
理想 J 的元都具有形式
0 y
0 2 1
因此 ，I + J = R , 并且 / f | {0}. 但对于
「Oil
有
0 1
ac =
0 0
G / J ,
所以， If ] J ^ IJ .
问题 2.2.48 设 7? 是环， J , J 和 K 都是丑的理想，则 + = /fl J +
If]K 一定成立吗？
设开= Q [ x , y ] 为有理数域 Q 上的多项式全体构成的环，令/ = ( x ), J = ( y )
和 K = (y - x 2 )， 则： r 2 € ( x ) f ]( y,y - x 2 ) = + K ). 另外，容易验证 If]J =
( xy ), I f]K = (xy - x 3 ). 由于 t 2 不能写成: ryp ( x ，2/) + (xy — x 3 ) g ( x ， y ) 的形式，故
x 2 所以， / n ( j + K ) = / rv + jfiK 不一定对任意丑的理想 u
和 k 都成立.
2.2.6 主理想
问题 2.2.49 什么叫子集 S 在 R 中生成的理想？
设穴是一个环， S 是只的一个非空子集， ♦⑸为 R 中所有包含 S 的理想的
交，则（^)是一个理想，称为 S 在/?中生成的理想.
问题 2.2.50 什么叫有限生成的理想？
设/是的一个理想，如果存在/?的一个有限子集 S 使/ = (50,则称/是
—^ 个有限生成的理想 (finitely generated ideal ).
问题 2.2.51 什么叫主理想？
若 I 可由 一 个兀素生成，则/称为 一 个主理想 (principal ideal ).
问题 2.2.52 整数环 Z 的每个理想都是主理想吗？
• 86 •
第 2 章环和域
是的.实际上， 若 I 是 Z 的一个理想，则 J 有非零元，故存在绝对值最小的整
mbeL 对任意的 a el , 一定有绝对值小于 6 的 r ， 使得 (1 =心+ 7>，由/是之的
理想可知 6c e 理想是加法子群，故 r e 由于 6 是/中绝对值最小的整数，因
而 r = 0 ,所以 J = ( b ) 是主理想.
问题 2.2.53 Z [ y /^5] 的每个理想都是主理想吗？
不一定.设 J 是 2 和 1 + 生成的理想，则 J 不是 Z [ v ^5] 的主理想.
问题 2.2.54 设/, J 是环 R 的理想，并且 J G J Q i ?， 若 J 是主理想，则 J
一定是主理想或有限生成的理想吗？
不一定.设 R [ xi , X 2 , - - - , X n , • • •] 为实数 i ? 上的无数个变量的多项式全体，则
R [ xi , X 2 , - --，〜，•••]是一个多项式环，令 / = ( xiX 2 , XiJ ： 3 , * - -，: TiX n , …）和 J =
( A ) 为 i ?[ x !, X 2 ,... , X n ，…]的理想，则/ G J , 并且 J 是主理想，但 J 不是主理想
或有限生成的理想.
问题 2.2.55 设交换整环开不是主理想整环，则 H —定存在极大理想 1,1不
是主理想吗？
是的.由于 P = {/ 是的理想，但/不是主理想 } ，则 P 不是空集，因此，利
用 Zorn 引理，不难证明 P — 定有极大元，所以，尺一定有不是主理想的极大理想.
问题 2.2.56 设交换整环丑不是主理想整环，则丑一定存在素理想/，/不
是主理想吗？
是的. 由于交换整环不是主理想整环，故只一定存在极大理想/,/不是
主理想.假如/不是素理想，则一定存在 x,y G R , 使得 xy G I ，怛 x 拿 I , y 牵 J .
令 4 = / + ( x ), I y = / -f ( y ). 由于 a : 矣/,故 2 厂但 4 既然 J 是不
是主理想的极大理想，因此 ， 4 一 定是主理想，故存在 a e R , 使得 4 = ( a ). 令
J = {r e R \ rl x Q /}, 则由 xy e I 可知 J 是包含 4 的理想，故 •/ 也是主理想，
因而存在 (3 e R , 使得 J =(奶.对于任意的 a e /，由/ g 4 = («) 可知存在某
个 r e /?,使得 a = ra . 由于= r ( a ) Q /，故由 J 的定义可知 r G J , 因而,
a e l x J . 由于 a e I 是任意的，故 J g l x J . 另外，从 J 的定义可知 4 g J , 故
I = I X J = ( a )( f 3) = ( a /3), 但这与 J 不是主理想矛盾，所以 ， J 一定是素理想，因而,
R 一 定存在不是主理想的素理想 J .
问题 2.2.57 设丑是有单位元的交换布尔环，即对于任意 a G /?，都有 a 2 = a ，
R 的任意素理想都是极大理想吗？ i ? 的每个有限生成的理想都一定是主理想吗？
若 R 是有单位元的交换布尔环，则尺的任意素理想都是极大理想.实际上，设
I 是 R 的素理想，则对于任意 aH 都有 a 2 - a = 0 G 厂故 a(a — 1 ) € /,由 J 是
素理想可知 a - lei , 因此， a + / = 1 + /,因而， R / I 只有两个元素0 + /和1 + /，
因此， 丑// 是域，所以，/ 一定是极大理想.
有单位元的交换布尔环只的每个有限生成的理想都一定是主理想.容易知道
只需证明两个元素生成的理想是主理想，然后就可以用归纳法证明有限生成的理想
都 一 定是主理想.假如/是 a 和6生成的理想，由 a = a ( a-f 6- a6 ) 和6 = b ( a + b — ab )
可知/ = (a + 6 — ab ) R , 所以， J 是由 a + b — ab 生成的主理想.
问题 2.2.58 设/ :私 — 尺 2 是环的满同态，若凡是主理想交换整环，则丑 2
的任意理想都是主理想吗？
若坧是主理想交换整环，则 i ? 2 的任意理想都是主理想.实际上， 若 J 是 R 2
的理想，则 /— V ) 是瓜的理想，由拓是主理想交换整环可知存在某个 g G 拓,
使得 r 1 ^) = (^).既然/是满射，因此，= /.故/中的每个元都具有
/⑷的形式（这里 a € ( g )). 由 a €⑷可知存在 r e R \ 使得 a = r 仏故/中的
每个元都具有 /( a ) = f ( r ) f ( g ) 的形式，由于/是满射，故对于任意 S 都存在
r €也使得 s = /( r ), 因而，/ = f ( f - l ( I )) = (/ ⑷)，所以， J 是丑 2 的主理想.
2.3 环的同态
2.3.1 环同态的定义和性质
问题 2.3.1 什么叫环的同态？
设 Ri , R2 是两个环，映射 f : Ri R . 2 称为 一 '个同态 (homomorphism) , 如果
(1) 对任何 a,b e 都有 /(a + 6) = /(a) + /(6);
(2) 对任何 a , beR u 都有 f ( ab ) = /( a )/(6).
问题 2.3.2 设 R u R 2 是环 ， f : R x ^ R 2 为同态，则下面性质成立吗？
(1) 同态/ :丑1 - ► i ?2 把穴1的零元映成只2的零元；
(2) 对任意 aeRi 和正整数 n ， 有 f ( a n ) = /( a ) n ;
(3) 对任意乘法可逆元 aeR u t /(a' 1 ) = /(a)" 1 .
是的.容易验证.
问题 2.3.3 若/为有单位元 （1 #0) 的环私与环只 2 的单同态，则/( I ) 一
定是尺2的单位元吗？
不一定.设/为实数环/?到实数上的 2 x2 矩阵环的映射，对于任意 ae R ,
有
则/是环同态，并且是单射，但/( I )不是 2 x 2 矩阵环的单位元.
• 88 •
第 2 章环和域
问题 2.3.4 若/为环与有单位元 (1^0) 的环只 2 的满同态，则 /— 1 ⑴
一定是的单位元吗？
不一定.设/为实数上的2 x 2矩阵环到实数环只的映射，对于任意矩阵
有 f ( A ) = A 的行列式的值，则/为满同态，但/( I )- 1 不一定是矩阵环的单位元.
问题 2.3.5 若/为有单位元 （1 / 0) 的环坧 与有单位元 （V # 0) 的环 i ?, 2
的同构，则/(1) = 1 , 一定成立吗？
是的.对于任意 a2 G i?2, 有 ai e i?], 使得 /(ai) = <Z2, 故 /(l)a2 = /(l)/(ai)=
/( lai ) = /( ai ) = a 2, 因而，对于 1’ € i ?2, 有 /( l ) l ’ = 1’，所以， /( l ) = 1’.
问题 2.3.6 设 / 为有单位元 （1 # 0) 的环 Ri 与有单位元 （V / 0) 的环 R 2
的同态，若/(1)#1/，则/⑴一定是尺2的零因子吗？
是的.若 /⑴ y ，则 /( I ) — 17 0.由于 /(1)(/(1) - 10 = /⑴/⑴ - /⑴=
/(I • 1) — /( I ) = 0,故/( I )是只 2 的零因子.
问题 2.3.7 设凡是没有单位元的环，是有单位元的环，则有可能存在从
历到丑2的非零环同态吗？
有 可能. 设瓜= 2义尺 2 = Z ， 若/ : 2 Z — ZJ ( m ) = m , 则容易知道/是环
同态.
问题 2.3.8 设拓是有单位元的环，丑 2 是没有单位元的环，则有可能存在从
丑1到丑2的环同态吗？
有可能.容易知道 /( n ) = 0是整数环 Z 到偶数环 2 Z 的零同态.
问题 2.3.9 设免是有单位元的环 ，丑 2 是没有单位元的环，则有可能存在从
只1到丑2的环同构吗？
不可能.因为从拓到凡 2 的环同构/ 一 定将此的单位元映为尺2的单位元.
问题 2.3.10 设 R u R 2 是环，/是从丑 1 到丑 2 的环同构， a G 是零因子，
则/⑷一定是瓜的零因子吗？
是的.由于 a # 0,故 /( a ) 笋0.由 a 是零因子可知存在6/0,使得 M = 0,故
f ( a)m = f ( ab ) = /(0) = 0,并且 /(&) 〆 0,所以，/⑷是丑 2 的零因子.
问题 2.3.11 设 R u R 2 是环，/是从丑 1 到尺 2 的环同构，若凡是整环，则
R 2 一定是整环吗？
是的.假如只 2 不是整环，则存在勿# 0 , 62 / 0 ，使得 02^2 = 0. 由于/是同
构，故存在唯一的 ai e 坧和唯一的卜 e 阶，使得 a2 = /(«!),6 2 = /(6 i ), 容易知
道 w # 0 A 衿0,并且〜心：= 0,因此，由私是整环可知 ai = 0或者= 0,矛盾.
所以，丑 2 —定是整环.
2.3 环的同态
. 89 .
问题 2.3.12 若/是环凡到环尺2的环同态 ， I ARi 的理想，则 /(/) 一定
是丑2的理想吗？
不一定.设/为整数环 z 到有理数环 Q 的映射，对任意 m G Z 都有 /( m ) = m ,
则/是环同态，但对于 Z 的理想/ = 2 Z , /(/) 不是有理数环 Q 的理想.
问题 2.3.13 若/是环凡 到环丑 2 的环同态 ， I ARi 的素理想，则 /(/) 一
定是只2的素理想吗？
不 一 定.设/为整数环 Z 到的映射，对任意 m e Z 都有 /( m ) = m ，则/
是环同态，但对于 Z 的素理想/ = (3), /(/) 不是的素理想.
问题 2.3.14 若/是环瓜到只 2 的环同态，则
(1) 对于瓜的任意理想/, /(/) 都一定是 f ( Ri ) 的理想吗？
(2) 对于拓的任意理想/, /(/) 都一 定是尺 2 的理想吗？
(1) 容易按定义验证， 对于拓 的任意理想 /(/) 都一定是 /( Ri ) 的理想.
(2) 对于坧的任意理想/， /(/) 不一定是丑 2 的理想.例如/是实数到所
有2 x 2实数矩阵构成的环 M 2 ( R ) 的映射，对于任意 a G 丑，有
则/是环同态.显然 K 本身是实数环7?的理想，但 f { R ) 不是 M 2 ( R ) 的理想.
问题 2.3.15 存在 Q [ y /3] M Q [ y /7] 的环同态吗？
不存在.假如/ : Q [ V 3] Q [ Vl ] 为环同态，则/(3) = /(I + 1 + 1) = /⑴+
/⑴ + /⑴=1 + 1 + 1 = 3,若 /( V 3) = a + 〜，贝 IJ 3 = /(3) = /(( V 3) 2 ) =
(/(\/3)) 2 = (a + by /7) 2 = ( a 2 - f - 7 b 2 ) 4- 2 ab \/7 . 故 a 2 + 76 2 = 3, 2 ab = 0, 若 a = 0, 则
b 2 = ^^ b = yj ^^ Q ， 与 a，beQ 矛盾. 若 6 = 0,则 a 2 = 3 与 a e Q 矛盾，所以，不
存在 Q [ v / S ] 到 Q [ V 7] 的环同态.因而，环 Q [ V 3] 与环 Q [ V 7] 不可能同构.
问题 2.3.16 存在一个环 R ， R 到 R 有无穷多个不同的环同态吗？
是的.在有理数多项式环 Q [ x ] 到 Q [ x ] 有无穷多个不同的环同态，实际上，对
于任意多项式 p ( x ) e Q [ x ], 定义 / p ⑷为 f ( q ( x )) = g ( p ( x )), 则 / p ⑷是环同态.
问题 2.3.17 什么叫环的同构？
/是单射时，称/为一'个单同态 ( monomorphism ). /是满射时，称/为一个满
同态 ( epimorphism ). 如果一个同态/既是单同态又是满同态，即/是双射，则/称
为一个同构 （ isomorphism ). 如果在两个环 i ? i , i ? 2 之间存在一个同构，则称这两个
环是同构的， 记作丑 1 3 i ? 2 . 从环到的一'个同构称为自同构 ( automorphism ).
• 90 •
第 2 章环和域
问题 2.3.18 设 m , n 为正整数，则环与 nZ 同构的充要条件是 m = n 吗？
是的•若/ : — nZ 是同构，则一定有 f ( m ) = ± n . 不妨设 /( m ) = n ，则
n.n = /( m ) • f ( m ) = f(m • m ) = m • /( m ) = m • n , 所以， m = n .
问题 2.3.19 整数环 Z 到 Z 的同构一定是恒等映射吗？
是的.设/ : Z Z 是同构，则 /⑴=/(I . 1) = /( I ) 2 ,因此，/⑴= 0或
/⑴=1,由于/是满射，故一定有/⑴= 1. 所以，/ 一定是恒等映射.
问题 2.3.20 实数环丑到只的同构一定是恒等映射吗？
是的. 容易知道， 若 f •• R — R 是同构，则一定有/( I ) = 1.
对于任意 n 6 Z ， 有 f ( n ) = n . f ( l ) = n . 1 = n , 故对于任意上 G Q ， 有
m
故/ 对任意 ^- eQ 都成立 •
\mJm m
若 a € 丑 ， a 彡0,贝 U /( a ) = /( V ^ 2 ) = /( v ^) 2 ^ 0, 因此，对于 a ,6 ei ?, a ^6 Bt ,
一定有/⑷ < f ( b ).
假设存在 c e R , 使得 /( c ) # c , 则不妨设 /( c ) < c , 由于一定存在有理数 r ,
使得 /( c ) < r < c , 但 /( r ) = r , 并且由 r < c 可得 /( r ) < /( c ), 因此， /( c ) < r =
f ( r )< /( c ), 这个矛盾说明，对于任意 c e 尽都一定有 /( c ) = c ， 所以，实数环只到
R 的同构一定是恒等映射.
问题 2.3.21 对于两个不同的素数 p 和 (?， 有可能存在环/?, 丑 有两个子环分
别与和&同构吗？
有可能.明显地，环 x 有两个子环分别与 Z p 和&同构.
问题 2.3.22 环 R 有可能与它的真子环同构吗？
有可能.设丑= {( ai , a 2 , - - - , a n ,---) | 是实数 }, 在按坐标的加法和乘法下
是环. ^5 = {(0, ai , a 2 ,...， a n ，… ） |叫 是实数}，则容易知道5是尺的子环，并
且 /( ai , a *2, - - - ， a n ，...） = (0, ai , a 2 - - - , a 7i , • • •) 是环同构.所以，环 i ? 与它的真子
环 S 同构.
2.3.2 环的同态和同构定理
问题 2.3.23 什么是环同态基本定理？
环同态基本 定理： 设/ : 坧—丑 2 是一个环同态，则 Ker (/) 是凡 的真理想，
^/Ker(/)^Im(/).
2.3 环的同态
• 91 •
问题 2.3.24 环 Z 6 和 Z 2 x Z 3 同构吗？
是的. 定义 Z 到 x 的映射为 f ( n ) = (n (mod 2 ),n (mod 3))， 则容易验
证 / 为环同态，并且 Ker(/) = 6Z, 因此， Z/6Z 与 Z 2 x 同构，所以，环 Z 6 和
Z2 X 同构.
问题 2.3.25 什么是环第一同构定理？
环第一同构 定理： 设 S 是环 i ? 的一个子环， I 是 R 的一个理想，则 S J =
{a + 6| a € /} 是丑的子环，/是 S + J 的理想， Sf]I ^ S 的理想，且
问题 2.3.26 什么是环第二同构定理？
环第二同构定理 ：设只 是一个环，/， J 都是只的理想，并且/ ^ J ， 则 J / J 是
R / I 的理想，并且
( R / I )/( J / I ) ^ R / J .
问题 2.3.27 若集合 S 是环，但 S 没有单位元，则是否存在有单位元的环丑
和厂 — 亿满足
/( a + 6) = /( a ) + f ( b ), f ( ab ) = /⑷/⑼，
并且/是单射？
是的. 令 // = {( a ， m ) \ a e R,m e Z }, 对任意的 （ a , m ) e (6, n ) e //, 定义
(a, m) + (6, n) = (a + 6, m + n),
(a, m)(6, n ) = (ab + na + mb , mn),
则不难验证， // 关于上面的定义构成一个环.
对任意的 ( a , m ) e 好， 有
(a, m)(0,1) = (aO + la + m0, ml) = (a, m),
(0, l)(a, m) = (0a H- mO -h la, lm) = (a, m),
故 (0,1) ^ R 的单位元.
对任意的 a ,6 e 5,定义 f : S ^ R , a ^ ( a ,0), 则容易验证
/(a H-6) = /(a) + /(6), f ( ab ) = /(a)/(6),
并且 / 是单射.
由上面问题可知，若 S 是环，但 S 没有单位元，则 S 可嵌入含有单位元的环
丑中. 这就是有的书中环的定义要求一定要有单位元的一个原因.
• 92 .
第 2 章环和域
问题 2.3.28 设丑是有单位元的环，若对于某个固定的 n 〉1， 丑到丑 的映
射 f •• a — a n 是环同态，并且它是满的，则只一定是交换环吗？
是的.这是 Herstein 在1961年得到的结果①.
2.4 域
2.4.1 域的定义
问题 2.4.1 什么叫域？
一 个交换可除环称为域 ( field ). 域的子环如果是域，则称为一个子域 ( subfield ).
问题 2.4.2 设 F 是所有具有如下形式的矩阵
T a —b 1
则 F 是域吗？
是的.定义映射/从 F 到复数域 C 为 f ( A ) = a + bi , 则不难验证/是域同构.
问题 2.4.3 设 F 是域 ， ae F 满足 a - 1 = d ， 则 a —定是1吗？
不 一 定.若 a - 1 = a ，则 a 2 = a • a - 1 = 1， 故 1 — a 2 = 0,因此， （1 - a)(l + a ) = 0,
所以 ， a = 1 或者 a = —1.
问题 2.4.4 若 p 是一个素数，则剩余类环是一个域吗？
是的. 不难验证 Z p = {0,1,.-.1} 是一个有单位元的交换环.
对于 Z p 的任意一个非零元％不妨设1 < a < p - 1，由于 p 是素数，故
( a , p ) = 1,从而存在 u , v , 使得
ua vp = 1 .
因此 ua + vp = ua 4- vp = I , 又因为硕 = 0, 所以豆石二丽二丁，即泛是可逆元，所
以剩余类环 Z p 是一个域.
问题 2.4.5 若 F 是一个域， a , 6 G 若 3 a = 36,则一定有 a = b 吗?
不一■定.明显地，之3是一个域，对于1, 2 G Z3 ， 有31 = 3 = 0, 32 = 0，但1 _ 2.
问题 2.4.6 若尺是环，则/? 一定有一个子环是域吗？
若环只有单位元1,则 i ? 一 定有一个子环是域，实际上 ， S = {0,1} 是7?的子
环，也是域.若环只没有单位元1,则7?不一定有一个子环是域，如零环就没有子
环是域.
① Herstein I N. Power maps in rings. Michigan Math. J., 1961, 8: 29-32.
2.4 域
. 93 •
问题 2.4.7 若 F 是域，则 F 包含 1 的子环 R 一定是整环吗？
是的.若 a , be R , a ^0 ,ab = 0, 则由 a ， 可知 6 = 0, 因此， 丑是 整环.
问题 2.4.8 若 F 是域，则 F 包含 1 的子环 R 一定是域吗？
不一定.实数域及的包含1的子环 Z 不是域.
问题 2.4.9 若 F 是域，则 F x F 是域吗？
不是. 容易知道，对于 (1,0),(0, 1) gFxF , W (1，0)(0，1) = (0,0)，因此 ， FxF
有零因子，所以， FxF 不是域.
问题 2.4.10 对于两个不同的素数 p 和 A 有可能存在域仏只有两个子环分
别与 A 和 Z g 同构吗？
不可能.若有两个不同的素数 p 和(?，在域私丑有两个子环分别与&和&
同构，则存在尺的分式域，在同构的意义下，包含两个不同的素子域 Z p 和 Z g ，因
此，这两个子域的单位元是不同的，并且满足 x 2 - x -0, 但明显地，在一个域中，满
足 x 2 - x = 0的元素只有该域的单位元，矛盾.
问题 2.4.11 若理想 {0} 是环只的极大理想，则尺一定是域吗？ 若只 是交
换环呢？
{0} 是非交换环丑的极大理想，则尺不一定是域.若// =仏+ + cj + M |
这里 a ,6, C , d 都是实数 } 为 Hamilton 四元数可除环，则对于//的任意非零理想 J ，
一 定存在 a # 0 ,a G J , 由于丑是可除环，故存在 beH , 使得 6 a ：= 1,因此，1 € J ，
因而 ， J = H , 所以， {0} 是//的极大理想，但丑不是交换环，故好不是域.
若理想 {0} 是有单位元的交换环的极大理想，则丑一定是域.实际上,对于
任意 a € 0,由于 a 生成的理想一定包含{0}，故由 {0} 是交换环尺的极大
理想可知 （ a ) =仏因此，存在使得 6 a = 1,因而由/?是交换环可知 b 是 a
的逆元，所以，交换环只一定是域.
问题 2.4.12 若交换环/?有并且只有一个极大理想 ，则丑 一定是域吗？
不一定 • 々2) = | p , gez , p 是奇数1有并且只有一个极大理想/,/为 Z ( p )
中所有乘法不可逆的元全体.但不是域.
另一个例子为 Z 2 ( i ) = {0, l , i , 1 + i } 有并且只有一个极大理想/ = {0, 1 + i }，
但由于1 + i 没有乘法可逆元，因此， Z 2 ( i ) 不是域.
问题 2.4.13 存在有并且只有两个极大理想的交换环吗？
是的.设 Z 2 ( i ) = {0，1乂1 + i }， 贝 lj Z 2 ( i ) x Z 2 ( i ) 有并且只有两个极大理想.它
们是 J = {(0,0)，(0,1)，(0, i )， (0,1 + i )} 和 J = {(0,0)，(1，0)， ( i ， 0)， (1 + 2,0)}.
问题 2.4.14 设尺 i 和丑 2 都是交换环，则 I A RixR 2 的理想的充要条件为
• 94 •
第 2 章环和域
I 可以写成 I = hxl 2 的形式吗？这里 A 和易分别是丑1和开 2 的理想 •
是的.若 J 是瓜 X 只 2 的理想，则对于任意 （ a ，6) € /，有（1，0) • ( a , 6) e /，故
( a , 0) G /,并且 (0,1) • ( a , b ) = (0, b ) G /. 令 7 i = {a | ( a , ft ) G / 对某个 6 成立 }，
I 2 = { b \ ( a , b ) e I 对某个 a 成立 }, 则容易验证 A 和分别是丑 i 和丑 2 的理想,
并且7 = 6 x / 2 .
问题 2.4.15 设札和尺 2 都是交换环，则丑1 x 只 2 有哪些素理想？
Ri x R 2 的素理想就是那些形如巧 x 尺 2 和瓜 x P 2 的理想，这里巧和分
别是瓜和他的素理想.
问题 2.4.16 设 i ? 是交换整环，若对丑的任意两个理想 I 和 J 都有 JJ =
/门 J , 则只一定是域吗？
是的.对于任意 aeR ， a 爹0, 令 I = J = aR ， 则明显的 I，J 是 R 的理想.由
于 /J = 了门 J ， 故 IJ = aR , 因此 ， a € JJ , 因而，存在 b u dieR ( i = 1,2,...， n ), 使
得 a = 5 Zr=i (^ bi )( adi ), 令 r = bidi , HO a = a 2 r . 由 a / 0 和 jR 是交换整环可
知 ar = ra = 1, 故 a 是乘法可逆兀，所以，是域.
问题 2.4.17 域 F 的任意乘法有限子群 G —定是循环群吗？
是的.容易知道 G 是循环群当且仅当 m 是使得 a m = 1对所有 a G G 成
立的最小正整数时，一定有 m = | G |. 既然= 1,因此 ， m < | G |. 反过来，由
a m = 1对所有 a E G 成立可知每个 a e G 都是 x m - 1 = 0的零点，由于多项式
f ( x ) = x m - l 最多只有 m 个不同的零点，故 | G | < m ， 所以 ， m = | G |, 故 G 是循
环群.
2.4.2 域中的理想
问题 2.4.18 域 F 有哪些理想？
设 J 是域 F 的理想，则/是 {0} 或 R 实际上，若/是域 F 的理想，/不是
理想 {0}, 则存在 a 6 /, a 7 ^ 0. 由于 F 是域，故存在 a - 1 € F , 因而1 = aa~ l G /,
所以/等于 F .
问题 2.4.19 若有单位元的交换整环只有有限个理想，则它一定是域吗？
是的.对于任意 ae R , a ^ 0, I n = { ra n | r e i ?} 是 i ? 的理想，既然丑只有
有限个理想，因此存在 m < n , 使得 J m = /„，故存在 r e R , 满足 a m = ra n , 因此
aira 171 - 71 - 1 ) = 1，即 a 的逆元一定存在，所以，丑一定是域.
问题 2.4.20 有单位元的交换环 i ? 是域当且 仅当丑 只有平凡的理想吗？
有单位元的交换环 i ? 是域当且仅当/?只有零理想 {0} 和凡明显地，若/?
是域 ，则只 只有平凡的理想.反过来，若交换环丑只有平凡的理想，则对于任意
2.4 域
• 95 •
ae R , a ^ 0, 理想了 = ⑷一定是 尺由 1 €丑可知存在6 G 丑，使得肋=1,故
M k = 1，即 a 为开的乘法可逆元，所以，丑一定是域.
问题 2.4.21 没有单位元的交换环丑是域当且仅当只只有平凡的理想吗？
不一定.零环是没有单位元的交换环，并且只有平凡的理想，但它不是域 •
2.4.3 域的同态
问题 2.4.22 什么是域之间的同态？
两个域或域与环之间的同态是指将域看作环时的同态.
问题 2.4.23 设/ : F A 是从一个域到一个环的同态，若欠# 0, 则/ 一定
是单同态吗？
是的.由于 A # 0 ,故 /(If) = 1 a # 0 ,因此 Ker (/) 是 F 的一个真理想，它只
能是 0. 所以，/是单同态.
2.4.4 分式域
问题 2.4.24 什么是分式域？
设只是交换整环，令 F = || | a , 6e /?, a ^ o |, 规定等价关系 a 1 / b 1 ^ a 2 / b 2
当且仅当 a \ l )2 = ^ 261 .
F 的加法和乘法运算为
a ,\ a 】 d \ b 2 + ft 2 ^i
b \ + b 2 bib 2 ’
CL \ d 2 —
b \ 1)2 b \ b 2
容易验证加法和乘法都是合理的，并且在加法下 F 是 Abel 群，其零元是 I .
乘法满足结合律、交换律和对加法的分配律，^是单位元，每个非零元^有可逆元
1 0
- ，因此 F 是一^个域，称为 i ? 的分式域 (field of fractions ).
令 J : i? — F ， a h ^则 J 是一个单同态，因此丑可以看成它的分式域的一
个子环.例如有理数域 Q 是整数环 Z 的分式域.
问题 2.4.25 在环 Z 7 中，如何理解1 = 3呢？
在考虑 A 的分式域时，===的意思就是1 • 1 = 2 • 4 = 1，这里的 i = 4就
2 1 2
是这个意思.
. 96 •
第 2 章环和域
2.4.5 极大理想
问题 2.4.26 什么是极大理想？
设/是环7?的一个理想， I 弄 R , 若 I 和 R 之间没有其他理想，则称 J 是尺的
一 个极大理想 （maximal ideal ).
问题 2.4.27 每个有单位元的交换环都一定有极大理想吗？
是的.根据集合论中的 Zorn 引理可以证明.设/是 i ? 的真理想，记 A = {./
是的真理想，并满足/ G J }， 用包含作为偏序.
选取4中的一个链 B = ( Kdwn ， 则 K = U ^ en 化是只的一个理想.假如
1 G K , 则一定存在某个 u ;， 使得1 €心，但这与 L 是 R 的真理想矛盾，因此， /(
是/?的真理想.明显地， K 包含理想/,故 K e >1，因此，4中的每个链在4中都
有上界.由 Zorn 引理可知 ， A —定包含极大元 A /, 所以， M 就是一个包含/的极
大理想.
问题 2.4.28 设/是交换环的真理想 ，则 /是极大理想的充要条件是对每
个 a G R \ I , 都存在& € 使得1 — cib 6 I 吗?
是的.若存在理想使得 I Q J C R , 并且/ # J ， 取 a e J , a 《/,则存在
be R , 使得 c = 1 - M e /，故 1 = c + tz6 e 丨因此， J = R , 所以， I 为 R 的极大
理想.
若 I 是极大理想，则对于任意 ae R.ai /,由 a 和/生成的理想一定等于
R . 由于 a 和/生成的理想为 {ra + w | r € /?, u € /}, 因此，由 1 € 可知存在
u 6 6 E /?,使得 1 = 6 a + W ， 故 1 — a6 = 1/ € /.
问题 2.4.29 没有单位元的环都一定有极大理想吗？
不一定.零环 {0 } 是没有单位元的环，并且不存在极大理想的例子.对于非零
环， Henriks ⑼在①中，证明交换环尺没有极大理想的充要条件为：是根环 (radical
ring ) 和 r 2 + p /? = /?对每个素数 p G Z 成立.
问题 2.4.30 每个环都一定有不是 {0} 的极大理想？
不 一定. 如实数环尺没有不是 {0 } 的极大理想.
问题 2.4.31 设是实数环 ，环 R x R 有哪些极大理想？
容易验证 ，I = R x {0} 和 J = {0} x 是 i ? x 的理想，由于 x R/I = R
和尺 x R / J ^ R 可知/和 J 都是 Rx R 的极大理想.
若 K 是 x 7?的极大理想，则有 {(0,0)} 不是极大理想可知一定存在不全为
① Henriksen M. A simple characterization of commutative rings without maximal ideals. Amer¬
ican Mathematical Monthly, 1975, 82. 5: 502-505.
2.4 域
• 97 •
0的 a，6 e /?,使得 u = ( a , b ) e R ， 假如 # 0, 则存在 r G ^ 使得
uv = (1，1) G 只，故 K = 只，但这与 K 是极大理想矛盾，因此，一定有 a = 0或者
6 = 0,所以，环 i? x 丑的极大理想只有 J 和上
问题 2.4.32 设 C [0，1] 为[0，1]上的连续函数全体构成的环，则/ = {/ G
C [0,1] I f ( 0 ) = 0} 是 C [0,1] 的极大理想吗？
是的.设 ./ 是 C[o, 1] 的一个包含/的理想并且 J 丰1 、则存在 f e JJ ^ /,
故/(0) # 0•令 〆 : r ) = 1 — 则分⑼= 0,因此 g J g J， 由 J 是理想可知
J^y/(x) G J , 因而 1 =贞0；) +
极大理想.
▲ f ( x ) € J , 故 J = C [0,1], 所以， J 是 C [0,1] 的
问题 2.4.33 设/是有单位元的交换环 i ? 的一个理想，则 R / I 是一个域当
且仅当/是尺的一个极大理想吗？
是的.设只"是域，欲证 I 是 R 的一个极大理想. 若 J 是 R 的一个包含/的
理想并且 J + 1 . 任取 a € J , a _ /，则 a + J 是凡 /7中的非零元，因此存在6 + /,
使得 （a + I)(b + /) = 1 + /,从而 — 1 G /•记 u — 1,则 lx G /, 1 = a 6 — a . 由
于 a G J , J 是7?的理想， 故 ab e J ， 从而由 ue I Q J 可知 w e J , 故 1 G J ,
因此 J = R , 所以 I 是 R 的一个极大理想.
反过来，设 J 是丑的一个极大理想.设 aei ?, 令 J 为由/和61生成的理
想.根据极大理想定义得 J = /?,故1 G J ， 由于 J = { I \ J { a }) = {ba + u \ ue I,be
R }, 故存在 a 6 jR , u G /, 使得 1 = 6 a + 由于 a 6 = 1 — ix , 故 （a + /)(6 + /) = 1 + /，
因此 ci + / 是可逆元，所以 i ?// 是一个域.
问题 2.4.34 设/是有单位元的交换环丑的一个理想，则 R / I 是一个域当
且仅当/是 i ? 的一个极大理想，能给出该结果的一个应用吗？
设 L 为所有有界的实数数列，在坐标的加法和乘法下，容易验证匕是一个交
换环，其中零元为（0,0,…)，单位元为（1，1,…). 若 I n = {(ai) € Zoo I an = 0}, m
容易验证 / n 都是 Zoo 的理想.定义映射 7 r n : /oo — > i ? 为 （ Cli ) ^〜，则 7 T n 为环同
态，并且 Ker(7T n ) = / n ,Im(7T n ) = i?., 因此， loo/In 与 R 同构，故 loo/In 是域，所以,
In 是 loo 的极大理想.
问题 2.4.35 设/是没有单位元的交换环丑的一个理想，若/是的一个
极大理想，则 R / I 是一个域吗？
不一定.交换环 2 Z 没有单位元,对于它的理想/ = (2) = 2 x 2 Z = { 2 { 2 k ) | k e
Z }, /是 2 Z 的极大理想，但 2 Z/I = (2 A :(4) \ke Z } = {0 = 2 Z ,2 = 2 -h 2 Z } 不是
• 98 •
第 2 章环和域
域，实际上, 2# 5,但 2 x 2 = 0.
问题 2.4.36 设丑是一个环，则尺的极大理想是否一定唯一？
不一定，如整数环 Z ， Z 有极大理想 （2), (3) 和 （5) 等.
问题 2.4.37 设丑 i 和尺 2 是环，/是丑 2 的极大理想 ， f : Ri — R 2 是环同态，
则 /— 1 ⑺ 一 定是丑1的极大理想吗？
是的.容易验证.
2.4.6 环和域的特征
问题 2.4.38 什么是环中元素的周期？
设只 是一个环 ， a 是 R 的非零元，若存在某个正整数 m , 使得 ma = 0,就称 a
是周期元.若 m 是使得 ma = 0的最小非负整数，则称 m 为 a 的周期.
问题 2.4.39 什么是环丑的特征？
设尺是一个环，若存在非零正整数 n ， 使得对尺的一切非零元 a ， 都有 na = 0,
则这样的正整数中最小的就称为环 i ? 的特征 ( characteristic ). 若不存在这样的正
整数，则称该环的特征为零或者 oo .
问题 2.4.40 整环丑的特征 p —定是素数吗？
是的. 若 a 是 R 的非零元， ma = 0,则对任意的 b G R , 有 ( ma )6 = 0,故
a ( mb ) = 0. 由于丑 是一个整环，故 m 6 = 0. 记使得 ma = 0 的最小正整数为
p , 如果 p 不是素数，则存在 mi , m2 , 使得 p = •由 mim 2 a = pa = 0 可知，
m 1 m 2 a = mim 2 ( la ) = ( m 2 l )( m 1 a ) = 0,故 m 1 a = 0 或 m 2 a = 0, 但这与 p 是最小
正整数矛盾，所以一定存在素数 p ， 使得对尺的一切非零元 a , 都有 pa = o .
问题 2.4.41 设丑是环，是否一定存在素数 p ， 使得对丑的一切非零元 a , 都
有 pa = 0?
不 一定. 实际上，在环 厶 ㊉ Z 3 中， (1,0) 的周期为2,但 (0,1) 的周期是3,因
此在 Z 2 © Z 3 不存在素数 p , 使得对 Z 2 © Z 3 的一切非零元 a ， 都有 pa = 0.
问题 2.4.42 设环丑存在素数 p , 使得对丑的一切非零元 a ， 都有 ㈧ = 0,则
R 一定是整环吗？
不一定.设尺是取值于模3的剩余类域 Z 3 的所有 2 x 2 矩阵全体构成的环，
则对尺的一切非零元 a , 都有 3 a = 0,但容易验证只不是整环.
问题 2.4.43 设只 是特征为素数 p 的有单位元的交换环， 苦 a AR 的幂零
元，则一定存在正整数 n ， 使得 （1 + a) n = 1吗？
是的.由于 a 是幂零元，故存在正整数 m , 使得= 0.由 p 是素数可知一定
2.4 域
• 99 .
存在某个正整数 fc , 使得 沪〉 m ， 故 (1 + aK = 〆 +/ = i + a - a P fc — = 1 + 0=1.
问题 2.4.44 设 R 是整环， J 是丑的理想，并且/ #丑，则 R / I 的特征一定
与 R 的特征一样吗？
是的.由于丑是整环，故尺的特征是素数 P . 由于 J #只，故1 + /不是只/了
中的零元.由 〆 1 + J ) = pi + / = 0 + J 可知只//的特征一定小于等于 p . 假如
R / I 的特征严格小于 p ， 则1 + /在 /?" 中生成的循环群的阶一定整除 P ， 既然
1 + / # 0 + /，因此，1 + /的阶不是1，因而 ，1 + 1 的阶一定是 p , 所以， R / I 的特征
一 定是 p .
问题 2.4.45 设 J = (2 + i ) 是整环 Z ⑷的理想，则 Z [ i]/I 的特征是什么？
Z [ i ]/ I 的特征是 5. 1 + /不是 Z [ i ]/ I 中的零元.这是由于若 1 + /是 Z ⑷//中
的零元，贝 IJ 1 € / = (2 + i ), 即存在 a + bi e Z [ i ], 使得 （ a . + bi )(2 + i ) = 1 的话，则
a ^ hi = -}— e Z [ i ], 但是 ^ = g ^ 故明显地， - i - 不属于 Z [ i ], 因此 ，1 + /
不是 Z [ i]/I 中的零元.由于 5(1 + /) = 5 + / = 5 + (2 + i ) = (2 + i )(2- i ) + (2 + i )=
0 + (2 + i ) = 0 + J , 故， Z [ i ]/ I 的特征小于等于 5.
问题 2.4.46 设交换整环只的特征为素数 p ， 若 I A R 的真理想，则 R / I 的
特征也一定是 p 吗？
是的.既然 I 是 H 的真理想，故1 + / 不是 R / I 的零元，即1 + / # 0 + /. 由
pi =0可知 p(l + /) =pl + / = 0 + /, 因此1 + J 的周期小于等于 p . 在丑//中考
虑由1 + /生成的循环加法群，则1 + /在加法群 i ?/ J 中的阶一定整除 p . 但1 + 了
在加法群 只 / J 中的阶大于1，因而，1 + J 在加法群中的阶一定等于 p . 由只"
的特征一定与1 + J 的周期相等可知它等于 p .
问题 2.4.47 若 Z 是整数环，则 Z [ z ]/(2 + z ) 的特征是多少？
Z [ i ]/(2 + i ) 的特征是 5. 实际上，记理想/ = (2 + z ), 先证明1 + /不是
Z [ i ]/ I 的零元.反证法，假如1 + / = 0 + /，贝 IJ 1 G /，故存在 a + bi e Z [ i ], 使得
1 = (a + 6 i )(2 + i )， 但 a + bi = - i )(2 + i ) = ~~5~ ^ %⑷，这与 a + bi e
矛盾.因而，1 + / # 0 + 另夕卜，容易知道 5(1- f /) = 5 + 7,并且5 = (2 — i )(2 + i ),
故 5(1 +/) = (2- z )(2 + i ) + / g / + / = J , 故 Z \ i ]/ I 的特征一定小于等于 5. 由上
面问题的讨论可知 Z [ i ]/ I 的特征一定整除1 + /的周期5,并且1 + J # 0 + /意味
着 Z \ i ]/ I 的特征一定大于1,所以， Z \ i ]/ I 的特征一定是 5.
问题 2.4.48 若 S A 环 R 的子环，则 S 的特征一定与丑的特征相等吗？
不一定.容易知道 A 的特征是4, 但厶 的子环 S = {0,2} 的特征是 2.
.100 -
第 2 章环和域
问题 2.4.49 若 Di 是有单位元的整环 D 的有单位元的子环，则的特征
一定与乃的特征相等吗？
是的.设 A 的单位元为 1' D 的单位元为1，由 1' 1 G D 可知 V • 1 = 1.在
D x 中，有 V • 1' = 1' 因此 V • 1 = V • 1' 故 V = 1,所以， Di 的特征一定与丑的特
征是 一 样的.
问题 2.4.50 任何一个特征为零的域 F 包含一个同构于有理数域 (3 的子
域吗？
是的.由于域 F 的特征为零，故对任意的非零正整数 m ， 都有 m • 1 / 0. 定义
f:Q — F ，^ H ( p . l )( q . 1”(这里 g / 0)，则不难验证/的定义是合理的，并且/
是单同态，所以 Q 与 F 的子域 /( F ) 同构.
问题 2.4.51 任何一个特征为素数 p 的成 F 包含一个最小的子域，它同构于
Z p 吗？
是的.设域 F 的特征为 p，l 为 F 的单位元，记由1生成的 F 的子域为 F p . 明
显地 ，凡 = {0,1,2,... T }， 这里石=1 + 1 +…十 i ( A ； 个 1). 由于 F 的任何子
域都包含1，故它一定也包含 F p ， 因而 F p 是 F 最小的子域.
定义 9: Z P — 则不难验证， p 是域同构，所以特征为 p 的域 F —定
与 Z p 同构.
问题 2.4.52 iSi F 是特征等于素数 p 的交换整环 ， a e 则/ :尸— F，a 4 a p
是环同态吗？
是的.由上面命题可知 （a 土 6 )p = # 士妒，故 /(a ± b ) = /⑷士 f ( b ). 明显地，
f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) = aW , 因此 /⑴=/(1)/(1) = 1〃 • P = 1,所以 / 是环同态.
问题 2.4.53 设 F 是特征等于0的交换整环 ， a € 则 f •• F — F、cih a p
是环同态吗？
不一定.在交换整环 Z 中，/ : Z — Z ， n ^ n 3 不是环同态.
问题 2.4.54 在特征为素数 p 的有限域 F 中 ， a e F ，则/ : F — F,a a p
是环自同构吗？
是的 • 在有限域尸中，若# = 0,则 a = 0( 否则由 a 可逆可得出矛盾)，因此同
态/的核是{0}，从而同态/是单射.由于 F 是有限的，故/ 一定是满射，所以/
是 一 个自同构.
问题 2.4.55 对于任意素数 p , 存在特征为 p 的非交换环吗？
是的 . Z p 上的所有 2 x 2 矩阵构成的非交换环 M 2 ( Z p ) 的特征是 p .
2.4 域
• 101 -
2.4.7 素理想
问题 2.4.56 什么叫素理想？
设只是交换环， 若 I 是 R 的真理想，并对任意的 ci，6 G 仏当 M G /时，一定
有 ae / 或 6 e /， 则称 J 为素理想 (prime ideal ).
问题 2.4.57 任意整环都一定有素理想吗？
是的.对于任意整环 RJ = {0} 就是它的一个素理想.
问题 2.4.58 il C [0, 1] 是 [0, 1] 上所有连续函数构成的环，若/ = {/ e C [0, 1] |
/(0.25) = 0，/(0.5) = 0}， 则 J 是(7[0，1]的理想吗?/是不是素理想?
容易按定义验证 J 是 C [0,1] 的理想，但它不是素理想.实际上，令 f ( x ) =
x - 0.25, ^( x ) = x — 0.5, 则 f ( x ) g ( x ) e /, {S f ( x ) ^ /, 并且 g ( x ) ^ I . 所以， J 不是
C [0,1] 的素理想.
问题 2.4.59 在整数环 Z 中，理想 pZ 是素理想的充要条件为 p 是素数吗？
是的.若 P 是素数，则 Z / pZ 是域，因此，是极大理想， 所以， P Z 是素理想.
反过来，若 p 不是素数.如果 p=l, 那么明显地， Z 不是 Z 的素理想.如果 n 〉1，
那么一定存在 m，n e N , 使得 mn = p ，但 m ， n 都不属于 pZ , 所以， pZ 不是素
理想.
问题 2.4.60 在整数环 Z 中，若 p 为素数，问 （ p 2 ) 和 （ 2p) 是素理想吗？
都不是.由于 p 2 = p • p G ( p 2 )， 但 p 辛 ( P 2 )， 故 （ P 2 ) 不是素理想.类似地， （2 p )
也不是素理想.
问题 2.4.61 Z 12 的理想、素理想和极大理想有哪些？
容易验证， {0}，{ G ，3,3， g ， S ， TO }，{ n ，3， S ，5}，{5,3， g }，{0， g } 和 Z 12 都是 Z 12 的
理想.
{5,5,3， S ， S ， T 0} 和 {0,3, 6, 9} M Z 12 的素理想和极大理想.
问题 2.4.62 Z 2 x Z 4 的理想，素理想和极大理想有哪些？
Z 2 x Z 4 的理想有
{(0,0)}, {0} X Z 4 , Z 2 X {0},{0} X 2 Z 4i Z 2 x 2 Z 4 , Z 2 x Z 4 .
既然 (0,2)(0,2) = (0,0), 因此， {(0,5)} 和 Z 2 x {0} 都不是素理想.由于 ( T ,2)(0,3) =
(0,2) G {0} x 22 4 ,故 {5} x 2 Z 4 也不是素 理想. 因此 Z 2 x 2 Z 4 和 {0} x 是素理
想和极大理想.
问题 2.4.63 设/是含单位元的交换环丑的一个理想，则 R / I 是一个整环
当且仅当 I 支 R 的一个素理想吗？
• 102 .
第 2 章环和域
是的.设 R / I 是整环，对任意的 ex , e 丑，当 M /时，由于
(a + /)(6 + /) = a6 + / = /，
故 a + / = /或者6 + / = /，因而 a e I 或者 b € I ,所以 I 是素 理想.
反过来，设 J 是丑的素理想.在 R / I 中，若 （a + 7)(6 + /) = /，则 a 6 e /，故
ael 或者6 € 因而 a + I = I 或者 b + I = I , 因此没有真零因子，所以及//是
一个整环.
问题 2.4.64 交换环只的极大理想 J 一定是素理想吗？
不一定.在环 2 Z 中，了 = 4 Z 是极大理想，但 4 = 2.2 e 4 Z ， 但2不属于 4 Z ,
因此， 4 Z 不是素理想.
问题 2.4.65 有单位元的交换环只的极大理想 / 一定是素理想吗？
是的.这是由于 丑/7 是整环的充要条件为 I 是 R 的素理想，7?//是域的充要
条件 是/是 i ? 的极大素理想，所以，极大理想 J 一 定是只的素理想.
问题 2.4.66 交换环丑的素理想 J 一定是极大理想吗？
不一定.实际上，对于整数环 Z , / = {0} 是 Z 的素理想，但它不是 Z 的极大
理想.
问题 2.4.6 T 设丑是有单位元的有限交换环，若 J 是素理想，则 / 必是极大
素理想吗？
是的.由于及/了是整环的充要条件为 f 是 B 的素理想，故若/是素理想，则
R/I 是有限整环，因此，尺//是域，而 i ?// 是域的充要条件是/是尺的极大素理
想，所以，/ 一定是 开的素 理想.
问题 2.4.68 设丑是环，若存在某个正整数 n 〉1, 使得对于任意 a € 仏都
有 a n = a , 则丑中的每个素理想都是极大理想吗？
是的.设 P 是丑的素理想，/是包含 P 的理想，若存在 a e I,a i P , 则由
a n = a 可知 a(l — a n ~ l ) = 0 e P . 由于尸是素理想， a 多 P ， 故 1 — a 71 " 1 G P , 因此,
1 — a 71 - 1 e /, 由 a € / 可知 a 71 " 1 G /, 因而， 1 = (1— a n ~ l ) + a n ~ l € 广故 / = 仏
所以， P 是 R 的极大理想.
问题 2.4.69 若只是有限交换环 ，则只 的每个素理想都一定是极大理想吗？
是的.设只是有限环， P 是 i ? 的素理想，则 R / P 是整环.既然尺是有限交换
环，因此， R / P 也是有限交换环，故 R / P 是域，所以， P 是 R 的极大理想.
问题 2.4.70 若 / 是环丑！到环只 2 的环同态，则对于丑 2 的极大理想
= { aeR !\ f { a ) e 1} 一定是沁的极大理想吗？
2.4 域
• 103 -
不一定.设/是整数环 Z 到有理数环 Q 的映射， /( a ) = a , 则容易知道/是
环同态，但对于 Q 的极大理想/ = {0 }, f -^ I ) = {0 } 不是 Z 的理想，这是由于存
在理想 （2) 2 {0}，并且 （2) # Z ，(2) / {()}•
问题 2.4.71 设7?是环， i ? 不一定是交换环，若/是素理想，则当 J , X 是丑
的两个理想，并且 g J 时，/ 一定包含 J 或 X 吗？
是的. 若 J , K 是 R 的两个理想，并且 G /， 并且/ 不包含 J , 则一定存在
aeJ^Ua 不属于 I , 对于任意 be K , 由于 JK g 广故 M e /, 由/ 是素理想可
知一定有6 e /，所以 ， J 一定包含尺.
问题 2.4.72 设丑是环，不要求 i ? 是交换的，若 J , K 是尺的两个理想，并
且 G J , 则 J 一定包含 J 或此时/ 一定是素理想吗？
不一定.设尺是非交换环， 若 I 是 R 的真理想，并对任意的 a ，6 e 只，当 e /
时，一定有 a G /或6 G /，则有的书称/为完全素理想 (completely prime ideal ).
在实数上的 nxn 矩阵全体构成的非交换环中，零理想/满足若 J , K 是的两
个理想，并且^ 则/ 一定包含 J 或 X ，但 J 不是这里的完全素理想.
问题 2.4.73 设丑是交换环，若 J ， 尺是丑的两个理想，并且 JA ： G /，则 J
一定包含 J 或尺，此时/ 一定是素理想吗？
是的.设 a6 e 则理想 （ a6 ) Q /， 由于只 是交换环，故⑷⑻= ( a6 ) Q /，从
M , ( a ) C I 或者 （6) g /,故 a G /或者6 G /，所以，/ 一 定是素理想.
问题 2.4.74 设丑是有单位元的交换环，丑 2 =仏若 J 是极大理想，则/ 一
定是素理想吗？
是的.设/是丑的极大素理想，明显地，/ #仏若 J ， A ： 是只的两个理想，并
且 JdKdJ 和 K 都不等于/，要是能证明 J 不包含 JK , 则/ 一定是素理
想.
由于/是尺的极大素理想，故由/十^/和 J + K 是 i ? 的理想可知/ + J =
I + K = R . 因此
R = R 2 = (/- hJ )( I - hK ) = I 2 - h / K - hJI - hJKCI - hI - hI-hJK = I + JKCR .
因而 I C I -h JK = R , 并且 I ^ I-h JK , 从而 J 不包含 JK , 所以 ，I 是 R 的素
理想.
问题 2.4.75 设丑是有单位元的交换环，若丑 2 笋尺，则一定存在极大理想/，
并且 J 不是素理想吗？
是的. 设 尺 2 # 只， j 是丑包含开 2 的极大理想.如果 I = R , 那么 / 不是素理
想； 如果/ #丑，则 g /,但 J 不包含只，因此， J 不是素理想.
_ 104 •
第 2 章环和域
问题 2.4.76 设丑 是交换布尔环，即任意 ae R , 都有 a 2 = a ，则丑的每个素
理想 J 一定是极大理想吗？
是的.设 J 是丑的理想，并且包含/, / / J , 则取 i G J , 并且 f 不属于 I , 则对
于任意 a 6 R , 有 i(a — ai ) = ai — ai 2 = d — ai = 0,故 i(a — ai ) G 由 J 是素理想和
i 不属于 / 可知 a _ ai G /，因此 a — ai E J , 因为 ai e J , 所以 ， a = (a — ai ) -hai G J ,
即 J = 仏因而 ， J 是 R 的极大理想.
问题 2.4.77 设只是 Jacobson 环，即任意 a G R , 都有正整数 a ( x ) > 1, 使得
以⑷= a ，则丑 的每个素理想/ 一定是极大理想吗？
是的.可以证明 Jacobson 环一定是交换环，设 J 是尺的理想，并且包含 ♦
J ,则取 i G J , 并且 i 不属于 /,则对于任意 a G i ?, W — ai 2 ( c ) _1 ) = ai — ai 1 ^ =
ai-ai = 0, 因此， z ( a - az i(x)_1 ) G /. 由 / 是素理想和 i 不属于 J 可知 a — ai 认 岣- 1 G I ,
故 a - ai^~ l e J , 因为 ai ^- 1 e J , 所以 ， a = (a - &⑷- 1 ) + 以⑷ - 1 e •/, 即
J = R , 因而 ，I 是 R 的极大理想 •
问题 2.4.78 设丑 i 和丑 2 是环， / 是丑 2 的素理想， f : Ri R 2 是环同态，
则 广 1 ⑺ 一定是丑1的素理想吗？
是的.容易验证.
问题 2.4.79 若 / 是有单位元的交换环丑到域 F 的环同态，则 Ker (/) 一定
是丑的素理想吗？
是的.若/是交换环万到域 F 的环同态，则 R / Ker ( f ) ^ Im (/)， 由于 Im (/)
是域 F 的子环，因此, Im (/) 是整环，所以， Ker (/) 是 i ? 的素理想.
问题 2.4.80 设只是有单位元的非零交换环 ，若丑 的每个理想都是素理想,
则只一定是域吗？
是的.由于 {0 } 是素理想，故7?是 整环. 对于任意非零元 a e R ， 由于理想 a 2 /?
是素理想，故由只可知 a 2 R , 因此存在某个 r e R , 使得 a = a 2 r , 因而,
a(l — ar ) = 0, 既然丑是整环，因此1 — ar = 0. 由 H 是交换环可知 ar = m = 1,故
a 是乘法可逆元，所以， i ? 是域.
2.4.8 准素理想
问题 2.4.81 什么是准素理想？
设 i ? 是交换环，若/是7?的理想，并对任意的 a , 6 G /?,当 G J , a _ /时,
一■定有整数 n > 0,使得 W /，则称/为准素理想 (primary ideal ).
问题 2.4.82 交换环只的准素理想一定是理想吗？
不一定.在 Z 中，若 p 是素数， n 是正整数，则 p n Z 是环 Z 的准素理想，但
p n Z 不是 z 的理想.
问题 2.4.83 若 J 是交换环 R 的准素理想， rad / = {r G i ? | r n G / 对某个正
整数 n } —定是 i ? 的素理想吗？
是的.设 r , s G 只,使得 rs G rad /，则存在正整数 n ， 使得 r n s n = ( rs) n e I . 若
G 则 s G rad 若# 不属于 I , 由于 r n s n G J 和 J 是尺的准素理想，因此存
在某个正整数 m , 使得 G /,因而 ， r G rad /,所以 ， rad I 是 R 的素理想.
问题 2.4.84 任意环只都存在拓扑 r ， 使得 R 成为拓扑环吗？
是的.在任意给定的环上，定义 r 为离散拓扑，容易验证，环 H 在离散拓扑
r 下是拓扑环.
第 3 章环上的多项式
域上的多项式与在高等代数中已经讨论了数域上的多项式的性质类似，但交换
环上的多项式的性质就有较大的不同，非交换环上的多项式有很多奇特的性质.
3.1 多项式
3.1.1 多项式的定义
问题 3.1.1 什么叫环上的多项式？
设丑是一个交换环，表达式
f ( x ) = a n x n H - a n _ ix n_1 H - h a\x -h ao
称为上的一个多项式 ( polynomial ), 这里〜， a n _ i, …，〜 ao G 与中的
元都可交换，并且 l:r = : r .
对于多项式
f ( x ) = d n x n CL n —\ x n i + . • • + d\x cio ，
若 〜_ 0, a n x n 称为该多项式的首项，称为首项系数 (leading coefficient ), 此时
称多项式 f ( x ) 的次数为 n ， 首项系数 a n 为 1 的多项式称为首一多项式， x 称为不
定元（或变量)， ao 称为常数项 (constant term ).
R 上以 x 为不定元的多项式全体所构成的集合记作 R [ x ], R [ x ] 中两个多项式
f ( x ) = a n x n -h a n - ix n ~ 1 + - - • + 0 ^ 0 ： + a 0 与 g ( x ) = b n x n 4 - b n - ix n ~ l + •.. + bix -\- b 0
相等是指对应的系数 q 和 6,(2 = 0 , 1 , 2 ,-.. , n ) 都相等.
3.1.2 多项式的运算
问题 3.1.2 若丑是一个交换环，则 H [ x ] 是一个交换环吗？
是的.多项式之间可以按通常的方式定义加法、减法和乘法等.直接验算可知,
它们满足交换律、结合律、分配律等，因此丑[: r ] 对上面的加法和乘法构成一个交换
环，称为只上的多项式环 (polynomial ring ).
问题 3.1.3 设 J 是交换环 R 的理想，则多项式环 J [ x ] —定是 R [ x ] 理想吗？
3.1 多项式
. 107 .
是的.容易验证.
问题 3.1.4 什么是 /(re) 在 ae R 的值？
设 / ( x ) = d n x n 4 - a n _ ix n— 1 + • • • -| - ol\X + a。G * R [ x ]， 对于 a € i ?， 定乂
/ ( a ) = a n a n 4- a n —\( i n 1 + • • _ + cl\cl - f - a 。，
称 /( a ) 为 /( x ) 在 a 处的值.若 /( a ) = 0, 就称 a 为 f ( x ) 在交换环丑的 一 个根
( root ) 或零点.
问题 3.1.5 域 F 上的多项式在 F 中一定有根吗？
不一定.对于 /( x ) = 2 x 2 -h x + 1 G Z 3 [ x ], 容易知道 /( x ) 在 Z 3 中没有根.
问题 3.1.6 若 F 是有限域，则一定存在多项式 f ( x ) e F[x], f ( x ) 在 F 中没
有零点吗？
是的.设 i 7 * 的元素为 ai ， a2 , …， a n , 则容易知道 f ( x ) = (: r — ai)(x — 心） … (rr —
a n ) + l 在 F 中没有零点.
问题 3.1.7 交换整环丑上的多项式 f { x ) 与多项式 g { x ), ^ 果对任意的 aeR ,
/( a ) 与都相等，那么多项式 /( a ：) 与 g ( x ) 一定是相同的多项式吗？
不一定•在之 3 [$]中，令 f { x ) = x 5 + 2 x , g ( x ) = x 3 + 5 x ， 则 /(0) = g (0) = 0,
/( T ) = P ( T ) = 0,/(2) = g ( 2 ) = 0, 因此对任意 a € Z 3 , 两个多项式的值相等，但 /( x )
与 p ( x ) 是不同的多项式.
3.1.3 多项式的性质
问题 3.1.8 设丑 是一个交换整环， f ( x ), g ( x ) e R [ x ], 则下面性质成立吗?
(1) deg(/ 分 )= deg(/) + deg ⑷;
(2) R [ x ] 是一个交换 整环；
(3) 若 c e 丑， c 一 0, 则 deg(c/(x)) = deg(/) 对任意 f ( x ) G R [ x ] 成立；
⑷ deg (/ ± g ) ^ max(deg(/),deg ⑷).
是的.容易验证.
问题 3.1.9 设丑是一个交换环， f ( x ), g ( x ) G 丑 ㈤ ，贝 ij
deg(/W = deg(/) + deg(p)
是否一定成立呢？
不 一定. 这也是一般都只在交换整环上讨论多项式的一个原因.容易知道， Z 6
是 一 个交换环，若 /⑻= 2a: + 1 和 = 3 x 2 + 了 时，则 f{x)g(pc) = 3x 2 +5x + T,
故 deg(/p) = deg(/) + deg ⑷不成立.
.108 •
第 3 章环上的多项式
问题 3.1.10 设丑是一个交换整环，则 f(x) e R[x] 是多项式环 R[x] 的乘法
可逆元的充要条件是 fix) 是常数多项式，并且 f(x) = a 是丑中的乘法可逆元吗？
是的.若 f ( x ) 是常数多项式，并且 f ( x ) = a 是只中的乘法可逆元，则明
显地， f ( x ) 是多项 式环开 ㈤ 的乘法可逆元.反过来，若存在多项式 g ( x )， 使得
f { x ) g ( x ) = 1，贝 1 J deg (/) + deg ( p ) = deg (/^) = 0,故 deg (/) = deg ⑷= 0,因此， f ( x )
和 g ( x ) 都是常数多项式，所以， /( x ) 是尺中的乘法可逆元.
问题 3.1.11 设交换环丑有零因子，若 f(x) e R[x] 是多项式环 R[x] 的乘法
可逆元，则 f(x) 是常数多项式吗？
不一定.在 A 上，取 f(x) = 3x - \-l,g(x) = + T ， 贝 lj / ㈤ 和分 ㈤ 是多项式
环 R [ x ] 的乘法可逆元.
问题 3.1.12 设 F 是域，则 F[x] 中的多项式 /(X) 是乘法可逆元（单位）当且
仅当 f(x) 是非零常数多项式吗？
是的.若中的多项式 f ( x ) 是乘法可逆元，则 f ( x ) 不是零多项式，并且存
在非零多项式 〆 $) e F [ x ], 使得 f ( x ) g { x ) = 1,因此， deg (/) -f deg ( g ) = 0. 由于 F
是域，因此， deg (/) = deg ( g ) = 0, 所以， /( r ) 一定是非零常数多项式.反过来，如果
f ( x ) 是非零常数多项式，则明显地 /( x ) 是 F [ x ] 中的乘法可逆元.
问题 3.1.13 设 是交换环, /( ： r) = a n x n H- a n _ix n_1 -+-••• + a\x + a 0 G R [ x ],
则 /( x ) 是 R [ x ] 的乘法可逆元（单位）的充要条件是什么？
/( x ) 是 i ?[ x ] 的乘法可逆元的充要条件是 a 0 是开 的乘法可逆元，并且 ai , a 2 , ••- ,
a n 都是幕零兀.实际上，若 f ( x ) 是乘法可逆元，则存在 g ( x ) = bmX 171 -\- b rn - ix rn ~ l +
••• + 6 ix + 6 0 , 使得 f ( x ) g ( x ) = 1，故 a 0 6 0 = 1，因此， a 0 是交换环的乘法可逆元.
要证明 a〗（i = 1, 2, . • • , n ) 是幂零元，只需证明对于 i ? 的每个素理想/,都有叫 e /.
对于任意取定的素理想/,记商环丑//中的元素 a + I 为 a , 定义0 : R [ x ] -> R / I [ x ]
为 ( j ){ c r X r 4 - Cr _ iX r_1 + … + CiX + Co ) = C r X r + C r _ iX r-1 + … + + ^ 0 ,贝 lj 0 是
环同态.既然 f ( x ) = a n x n + a n - ix n ~ l + • • • -h aix +勿是丑 ㈤ 的乘法可逆元，因
此， 0(/) = a n x n + a n - ix n ~ l -h - - • +〜:r +泛0是 i ?/7 的乘法可逆元.由于/是素理
想，故尺//是整环.由于整环 R / I 的多项式环 R / I [ x ] 中的乘法可逆元都一定是次
数为0的多项式，因而， 0(/) 一定是常数多项式， 故巧 = 0, 即〜 G 厂既然/是任
意的，因此，对于任意 i = 1,2, • • • , 71 , ai 都是幂零元.
反过来，若勿是丑的乘法可逆元，并且 a l 5 a 2? ... , a n 都是幂零元，则一定存
在足够大的某个正整数 m ， 使得巧 1 = 0对 i = 1，2, ... ， n 都成立.因此，不难证明
( a n x n - ha n _ ix n_1 -h - • • + aix ) n(m_1)+1 = 0.故 a n x n -h a n _ ix n_1 +• • • + 々 0 :是 R [ x ]
中的幂零兀，由 do 是乘法可逆元可知 f ( x ) = ( a n x n -h a n -\ x n ~ l + • • • + a \ x ) + ao
3.2 带余除法
. 109 •
是 R [ x ] 的乘法可逆元.
问题 3.1.14 设 F 为域， ai , a 2, •…，为 F 中 n 个不同的元素，则一定存在
域 F 上的非常量多项式 f(x), 使得对 e F， 有 f( ai ) = 1对任意 i 成立吗？
是的.取
9i{x) = (x - ai)(x - a 2 ) • • • (x - ai-i){x - a i+i ) • - (x - a n ).
则 9i{di) 7 ^ 0 , gi(aj) = 0 对任意 i 一 j 都成立•令
n
/⑷ =— 1 讲( X )，
则 f(ai) = 1 对任意 i 成立.
问题 3.1.15 设 i ? 是交换环，若 f(x) = a n x n H - a n _ ix ,n_1 +• - -- hai^+ao 6 R[x],
则 / ㈤ 是尺 M 中的幂零元的充要条件是 ao , ai , a 2 , •■- , a n 都是幂零元吗？
是的.若/ ㈤ 是丑[: r ] 中的幂零元，则 xf(x) 也是幂零元，故1 + x /( x ) 是尺问
中的乘法可逆元.由于 1 +:r/(x) = a n x n+1 + a n _ ia ：- + … + aiX 2 + aoa： + i ，故
a o , ai ， … , a n 都是幂零元.
反过来，若 a 0 , a !,-.. , a n 都是幂零元，则存在足够大的正整数 m , 使得对所有
的 i = 0，1，…，71，都有 < = 0,故直接计算可知/ ㈤ ( n + l )( m - l ) + l = 0 ,所以， f(x)
是幂零元.
3.2 带余除法
3.2.1 带余除法
问题 3.2.1 设丑 是一个交换环， f(x),g(x) e R[x]. ^ g(x) ^ 0且它的首项
系数是只中的乘法可逆元，则存在唯一的一对多项式 g (x),r(:r) e R[x}, 使得
(1) /(x) = g{x)q{x) 4- r(x);
(2) deg(r) < deg ⑷.
成立吗？
是的 . 不难验证 .
问题 3.2.2 在上面的带余除法中 ，丑 是一个交换环， f(x),g(x) e 丑 [ x ]， g(x) ★
0,如果不要求 〆 x ) 的首项系数是丑中的乘法可逆元，定理成立吗？
不 一 定 . 在整数多项式环 Z[x] 中，对于 /(a:) = x 2 + 1, g(x) = 2x, g(x ) 的首项
系数不是 Z 中的乘法可逆兀，不存在 <7( 工 ） G Z[x], 使得 /(t) = q(x)g(x) + r(x).
• 110 .
第 3 章环上的多项式
3.2.2 整除的性质
问题 3.2.3 设丑是一个交换整环，则下列性质成立吗？
(1) R 中任何一个乘法可逆元整除任何一个多项式；
(2) 任何一个非零多项式整除0多 项式；
(3) 0不能整除任何多 项式；
⑷若 g ( x )\ f ( x ), g ( x )\ h ( x ), 则对任何多项式 a ( x ) y b ( x ) 都有
g ( x )\[ a ( x ) f ( x ) -f b ( x ) h ( x )];
(5) 若分 ( x )|/( x ), 且 /( x ) # 0,则 deg (^) ^ deg (/);
⑹若 p ( x )|/( x )， 则 g ( h ( x ))\ f ( h ( x )).
是的.容易验证.
问题 3.2.4 设是一个交换环， f ( x ), g ( x ) G 丑 [ x ]， g ( x ) ^ 0，々( x ) 的首项系数
是丑中的乘法可逆元，则 g { x )\ f ( x ) 当且仅当 /( x ) 被 〆 a :) 除的余式等于零吗？
是的.
3.2.3 余数定理
问题 3.2.5 什么是余数定理？
设 R 是交换环， f ( x ) e R [ x ], 则对任意的 ae R , 存在唯一的 q ( x ) E 丑 [ x ]， 使
得 f ( x ) = q ( x)(x - a ) + /( a ).
问题 3.2.6 余数定理对非交换环也成立吗？
是的.
问题 3.2.7 设 R 是交换环， f ( x ) e R [ x ], 则 a G 只是 f ( x ) 的根当且仅当
(x - a )|/( x ) 吗？
是的.
问题 3.2.8 设丑是交换整环， /(: r ) 是 R [ x ] 的 n 次多项式 n 彡1，则对 A : 彡 n ,
ai ， 《 2,…， afc e 丑是 f ( x ) 的不同根当且仅当 （ a : — ai)(:r — < 22 ) •. • (z — afc )|/(: r ) 吗？
是的.
问题 3.2.9 设 i ? 是交换环，但不是整环， f ( x ) 是 只[: r ] 的 n 次多项式 n 彡1，
则对 A : 彡 n ， ai , a2 , …，以 e i ? 是 f ( x ) 的不同根当且仅当 （ a : — ai)(x — 句） • • • (x —
叫 )|/( x ) 吗？
不一定.在 心中， 多项式/ ㈤ = X 2 - T 有根 T 和3,但 Or - T)(：r - 3) 不能整
除 f ( x ).
3.2 带余除法
-111 -
问题 3.2.10 设丑是交换整环， / ㈤ 是 R [ x ] 的 n 次多项式 n 彡1，则 f ( x )
在丑中最多只有 n 个不同根吗？
是的.
问题 3.2.11 设丑是交换环，但不是整环， f ( x ) 是 R [ x ] 的 n 次多项式 n 彡1,
则 f ( x ) 在 R 中最多只有 n 个不同根吗？
不 一 定.对于交换环么， f ( x ) = x 2 — I G 是2次多项式，但它有4个根
T ,3,5 和 7.
问题 3.2.12 若无限域丑上的多项式 f ( x ) 与 多项式 g ( x ), 如果对任意的
a E R , / ⑷与 g ( a ) 都相等，则多项式 /( x ) 与 g ( x ) —定是相同的多项式吗？
一 定是相同的.假如对任意的 a e R ， f ( a ) 与 g ( a ) 都相等，但多项式 /( x ) 与
g ( x ) 是不相同的多项式.令 / i ( x ) = f ( x ) - p ( x ), 则 / i (： r ) 是非零多项式，因此它的
次数小于等于 max ( deg (/)， deg ⑷)，记为 n ， 则 h ( x ) 最多只有 n 个根，但对任意的
a e R , h ( a ) = /⑷— g ( a ) = 0,所以 f ( x )= g ( x ).
问题 3.2.13 域 R 上的 n 次多项式 /( x ) 与多项式 g ( x ), 若存在 n + 1 个不
同的 叫 e = 1 ,2 , ••- ， n + 1)， 使得 f ( ai ) 与 g ( ai ) 都相等，则多项式 /($) 与 g ( x )
一 定是相同的多项式吗？
是的.不难验证.
问题 3.2.14 设丑是一个交换整环， f ( x ), g ( x ) 都是非零多项式.若 f ( x )\ g ( x )
且 g ( x )\ f ( x ), 则存在 R 的一个乘法可逆元 c ， 使得 f ( x ) = cg ( x ) 吗？
是的.设 f ( x ) = g ( x ) a ( x ), g ( x ) = /( x )6( x ), 则 f ( x ) = f ( x ) b ( x ) a ( x ). 由于
R [ x ] 是交换整环，故由 f ( x )( l - b { x ) a { x )) = 0 可知， a ( x ) b ( x ) = 1,因此 deg ( a ( x )) <
0, deg (6( x )) 彡 0, 所以 a ( x ), b ( x ) e 丑是 中的乘法可逆元.
3.2.4 域上多项式环的任何理想都是主理想
问题 3.2.15 域 F 上的多项式环 F [ x ] 的任何理想都是主理想吗？
是的.设 J 是 F [ x ] 的一个理想.若 J = {0}, 则 J 是主理想，因此只需考虑
"{0} 的情形 •
在了中选一个非零元 g ( x ), 使多项式 〆 : r ) 的次数是/中最小的.如果 〆 x ) 的
次数是0,则 〆 a :) 是 F 的非零元，因此 J 是主理想.
如果 〆 x ) 的次数大于0,则对任意 f ( x ) e I . 存在 q ( x ), r ( x ) G F [ x ], 满足
并且 deg ( r ) < deg (^).
= 咖) 沒 ㈤ +中)，
* 112 •
第 3 章环上的多项式
由于 r(x) = f ( x )- q { x ) g ( x ) G 根据 deg ⑷的极小性， r 一定等于0,从而
f ( x ) = q(x)g(x).
因此 /( a :) 在 p (: r ) 所生成的主理想中，所以/是 F [: r ] 的主理想.
问题 3.2.16 什么是主理想整环？
设是一个交换整环，若丑每个理想都是主理想，则交换整环丑称为主理想
整环 (principal ideal domain ).
问题 3.2.17 整数环 Z 和域 F 上的多项式环 F[x] 都是主理想整环？
是的.
问题 3.2.18 主理想整环开上的多项式环 /?[ x ] 一定是主理想整环吗？
不一定.整数环 Z 是主理想整环，由于 Z [ x ] 的由2和 x 生成的理想 （2, x ) 不
是主理想，故 Z 上的多项式环 Z [ x ] 不是主理想整环.
问题 3.2.19 主理想整环只上的子环 S —定是主理想整环吗？
不一定.实际上，有理数域 Q 上的多项式环是主理想整环，但它的子环
Z [ x ] 不是主理想整环.实数域只上的多项式环 R [ x ] 是主理想整环，它的子环 Q [ x ]
也是主理想整环.
问题 3.2.20 设 F 是域， djx ), 办 ( x ) 都是 /( x ) j ( x ) 的最大公因式，则 d x {x)
与 d 2 (x) 一样吗？
不一定.不过一定存在域 F 中的一个非零元 c ， 使得 di(x) = c - d 2 (x ) 1 这是由
于 di(x)\d2(x)^d2{x)\di(x), Hi d\{x) = c - d 2 (x).
由上面可知最大公因式在相差一个常数因子的意义下是唯一的，因此首项系数
都等于1的最大公因式是唯一的.
问题 3.2.21 设 F 是域， f(x) ， g(x) 不全为零，则最大公因式 gcd(/(x),g(a:))
存在，并且存在 o(x),6(x), 使得 gcd(f(x),g(x)) = a(x)f(x) + 6(:r)g(x) 吗？
是的.
问题 3.2.22 域 F 上的多项式/ ㈤ 和 g ( x ) 互素的充要条件是存在 u ( x ), v { x ) e
F [ x ], 使得 f ( x ) u ( x ) -f g ( x ) v { x ) = 1
是的.
问题 3.2.23 设丑是主理想交换整环，则对于任意 a，bG R ， a，b 都有最大公
约元 d 存在，并且有 u，v e R , 使得 d = ua -\- vb
是的. 对于 a，b e R 、 由于理想⑷和理想 （6 ) 的和⑷ + (6) 也是只 的一个
理想，7?是主理想整环，故 （ a ) + (6) 是 i ? 的一个主理想，因此存在 d e R , 使得
3.2 带余除法
• 113 •
( a ) + ( b ) = ( d ).
由于 a , 6 e ⑷+⑻，故 a , 6 G ⑷，因此 c ?| a 并且 d |6. 另外，若 c €仏 c | a 并且
c |6, 则 a G ( c ) 并且6 e ( c ), 故 d G ⑷=⑷+⑼ g ( c )， 因而 c | d ， 所以 d 是最大公
约元.
由 d € ( d ) = ( a ) -|- ( b ) 可知，存在 u , v G i ?, 使得 d = ua + vb .
问题 3.2.24 主理想整环一定是唯一分解整环吗？
是的.
问题 3.2.25 唯一分解整环一定是主理想整环吗？
Kantz 在1995年证明了唯一分解整环一定是主理想整环或主理想整环的多项
式环 .®
问题 3.2.26 设丑是交换环，在多项式环 R [ x ] 中，若 J = ( x)，J = Or + 1)，则
J 和/ + J 是什么？
IC\J = ( x 2 + X )，实际上，若 p ( x ) G Jp | J ， 则 p ( x ) G /,故 x 整除 p ( x ), 因
而， p ( x ) = 由 p ( x ) G J 可知 : r + 1 整除 p ( x ), 故 : c + 1 整除 xq ( x )^ 因而，
p ( x ) = x(x -h l ) r ( x ), 所以， If \ JQ ( x 2 H - x ).
反过来，若 p ( x ) e ( x 2 -h x ), Wi p ( x ) = ( x 2 4 - x ) r ( x ) 对某个多项式 r ( x ) G
成立，故 p ( x ) e If ] J , 因此， ( a: 2 +: r ) g J 门《/，所以，/ 门 J = ( x2 +$).
容易看出 I J = 实际上，由于 1 = — x - f - (x + 1) G ■/" + »/， 故对于任意
p ( x ) E R [ x ]^ 都有 p ( x ) * 1 6 / H - J , 所以， / + J = R [ x ].
问题 3.2.27 若 J 是环 i ? 的极大理想，则/[: r ] 一定是多项式环丑 [ x ] 的极大
理想吗？
不一定.设/ = (2), 则容易证明/是整数环 Z 的极大理想.设 J 为常数项是
偶数的多项式全体，则不难验证 J 是別 x ] 的理想，由 : r + 2 eJ 和 x + 2《 /丨州可
知不是 Z [ x ] 的极大理想.
问题 3.2.28 设丑 是有单位元的交换环，则 （ x ) 是多项式环 R [ x ] 的素理想的
充要条件是尺是整环吗？
是的.定义柯 x ] 到 i ? 的映射为 f ( p ( x )) = p (0), 贝 U /将风: r ] 中的多项式
p ( x ) = a n x n + a n _ ix n_1 + • • • + aix + a 0 映为 容易验证 / 是满同态，并且 Ker (/)
为所有常数项是0的多项式全体.根据环的第一同构定理，有 R [ x ]/( x ) ^ R . 由于
( x ) 是尺 [ x ] 的素理想的充要条件为 R [ x ]/( x ) 是整环，所以， （ x ) 是 R [ x ] 的素理想的
① （ 1) Kantz G. t/ber Integritatsbereiche mit eindeutiger Primelementzerlegung. Arch. Math.
(Basel), 1955: 6, 397-402. (2) Kantz G. Uber den Typus eines Zerlegungsringes. Monatsh. Math.,
1955, 59:104-110.
.114 .
第 3 章环上的多项式
充要条件为尺是整环.
问题 3.2.29 设 i ? 是有单位元的交换环，则 （ x ) 是多项式环 R [ x ] 的极大理想
的充要条件是开是域吗？
是的.定义丑 [ x ] 到7?的映射为 f ( p ( x )) = p (0)， 贝 U /将尺 [ x ] 中的多项式
p ( x ) = a n x n + a n -\ x n ~ l + • • • + aix + a 0 映为知，则/是满同态，并且根据环的第
一同构定理，有 R [ x ]/( x ) = R . 由于 （ rr ) 是 i ?[ x ] 的极大理想的充要条件为 R [ x ]/( x )
是域，所以 ， （ x ) 是尺 [ x ] 的极大理想的充要条件为尺是域.
问题 3.2.30 设丑 是有单位元的非零交换环，则 i ?[ x ] 一定有无穷个素理
想吗？
是的.由 Zorn 引理可证风 x ] — 定有素理想，用归纳法，假如风 x ] 有 n 个素理
想巧(《=1,2,…， n ), 则选取叫€乃，使得 ai a 2 • • • a n / — 1，并且最少有一个叫是
X ，这总是可以做到的，因为巧是理想，故叫€巧时，对 R [ x ], W a iX G Pi , S
此，可用 a # 来代替: r .
令 a = a \ a 2 •••〜+ 1 , 贝 Ij a 7^ 0 , 假如 a G 巧，既然 m 整除 aia 2 … a n ，而巧
是理想，因此， aia 2 … a n e 巧，故1 = a - a 1 a 2 -- a n G P u 从而忾= R , 但这与
是素理想矛盾，同理可证 P,(z = 2,3,..• ,n ). 既然 a # 0,并且 a 不是乘法可逆
元，因此，一定存在另外一个素理想 P n+ i 包含 a, 所以，由归纳法原理可知丑 M 有
无穷多个素理想.
问题 3.2.31 ( x ) 是有理数多项式环 Q [ x ] 的极大理想吗？
是的.这是由于 Q [ x }/( x ) ^ Q 是域，故 （x) 是有理数多项式环 Q ㈤的极大
理想.
问题 3.2.32 ( x ) 是整数多项式环 Z [ x ] 的素理想和极大理想吗？
( x ) 是整数多项式环 Z[. t ] 的素理想,但不是极大理想.这是由于 Z [ x ]/( x ) U
是整环，但 Z 不是域.
问题 3.2.33 多项式环 Z [ x ] 有哪些素理想和极大理想？
(0), (p)，(x) 和 （p,:r) 在 p 是素数时是整数多项式环的素理想，但只有
(p, x ) 是极大理想.
问题 3.2.34 试给出商环 Z 2 [ x ]/( x 3 -f x ) 的一些非平凡的理想.
在 Z 2 [ x ] 4 1 ,由于 x 3 + x = z(;r+ I) 2 ,故可以验证 A = (x),/ 2 = (x(x-f 1)),/ 3 =
((x + I ) 2 )是 Z 2 [x]/(x 3 + x) 的非平凡的理想.
问题 3.2.35 设丑是交换环，如何判断 R [ x ]/{ p { x )) 是不是域？
只需检查 p { x ) 是不是7?[: r] 的不可约多项式，如果 p ( x ) 是不可约多项式，则
3.3 因式分解
• 115 •
1= (p(x)) ^ R[x] 的极大理想，因此， R[x}/(p(x)) 是域.例如 Q[rr]/(x 2 + l) 是域，但
对于实数上的多项式 R[x], R[x]/(x 2 — 2 ) 不是域，因为 x 2 — 2 = (x — V 2 )(x + \/ 2 )
是可约多项式，故对于理想 I = ( x 2 -2) y ^ x - y /2 -himx + V 2 + I 都不是 R[x]/I
的零元，但它们的乘积是零，因此， R[x]/(x 2 - 2) 不 是域.
3.3 因式分解
3.3.1 整除、相伴、素元和不可约元
问题 3.3.1 b 整除 a 是什么意思？
设丑是一个交换整环， a，be R ， b 弄 0, 若存在 ceR,\ta = bc, 则称6整除 a ，
记为 6|a. 当 6 整除 a 时, 6 称为 a 的一个因子 (divisor).
问题 3.3.2 什么叫相伴元？
若环/?中的两个非零元 a , 6满足 a |6, 则称 a 和6是相伴元 （ associates ).
问题 3.3.3 设 R 是整环， a,beR, 则理想⑷与理想⑼相等的充要条件为
a 与 b 相伴吗？
是的.不难验证.
问题 3.3.4 什么叫素元？
设 P 是交换环开中的一个非零元，若 p 不是乘法可逆元，且 p = M 时，一定
有或则称 p 为 一 个素元 (prime element).
问题 3.3.5 什么叫不可约元？
设 P 是交换环只中的一个非零元，若 p 不是乘法可逆元，且 p = M 时， a 和6
中 一 定有 一 '个是乘法可逆兀,则称 p 为 一 个不可约元 (irreducible element ). 若 p 不
是不可约兀，则称 p 为一■个可约元 （reducible element ).
问题 3.3.6 设 i?, 是交换环， R 中的素元一定是不可约元吗？
不 一定. 在环 A 中，5是素元，由于 5 = 5.3, 但5和3都不是的乘法可逆
元，故2不是 Z 6 的不可约元.
问题 3.3.7 设尺是交换整环，丑中的素元一定是不可约元吗？
交换整环只中的素兀一^定是不可约兀. 若 a 是 R 中的素元，则 a = 6 c 时，一 '
定有 a |6 或 a | c , 不妨设存在 d 使得6 = M ， 则 a = adc . 由于 i ?, 是整环，故也=1,
从而 C 是乘法可逆元，所以素元 a —定是不可约元.
问题 3.3.8 交换环丑的不可约元一定是素元吗？
• 116 •
第 3 章环上的多项式
是的.设 a e 丑是不可约元，若 a = 6 c ， 则6或 c 是可逆元，不妨设6是可逆
兀，故 c = b ~ l a ^ 因此， a 整除 c ， 所以， a 是素兀.
问题 3.3.9 若丑是交换 整环，则 a € 是素元的充要条件为 （ a) 是非零素
理想吗？
是的.不难验证.
3.3.2 唯 一因子 分解环
问题 3.3.10 交换整环 i? 什么时候称为唯一因子分解环？
交换整环 R 称为唯 一 因子分解环 （unique factorization domain). 若下面条件
满足：
(1) R 中任何一个非零元 a 可表示为
a = cpi ••- p r ,
其中 c 是乘法可逆元, Pu ..、 Pr 全是不可约元， r 是一个非负整数.
(2) 设 cpi - - p s = dqi - • q t , 其中 c ， d 是乘法可逆元， Pi , ••- , p s , 叭，… ，以都
是中的不可约兀，则 s = t ， 并且在对 qu …， Qt 作适当的置换后，每个 p r 与办
相伴.
问题 3.3.11 在唯一因子分解环的定义中，为什么需要条件 （2), 有可以分解
成不可约元的乘积，但分解不唯一的环吗？
有的.实际上，在交换整环 Z [ y / lO ] = + e Z } 中， 4 + vTii 和4-\/10
都是 Z [ VTo ] 的不可约元，2和3也是 Z [ ViO ] 的不可约元，但对于6 6 4#]，有
两个不同的分解6 = 2 • 3 = (4 + v / l 0)(4 - VT 0).
问题 3.3.12 若丑是一个唯一因子分解环 ， p e R 是一个不可约元， p 整除
a 6, 则 p 整除 a 或 p 整除6吗？
是的.
问题 3.3.13 在唯一因子分解环 丑中， 不可约元和素元一样吗？
不可约元和素元没有区别.在交换整环中，素元一定是不可约元.唯一因子
分解环中的不可约元一定是素元，因此在唯一因子分解环只中，可以不再区分素元
和不可约元.在整数环 Z 中，每个元素都可以唯一分解成素数的乘积，如对30 e Z ,
有 30 = 2 • 3 • 5.
问题 3.3.14 整环一定是唯一分解整环吗？
不一■定.在整环 Z [ y /3 i ] = { a -\- by /3 i \ a , 6 G Z } 中， 4 = 2. 2 = (1 + \/3 i)(l — \/3 z ).
3.3 因式分解
. 117 -
问题 3.3.15 域是唯一分解整环吗？
是的.这是由于域只有零元和可逆元，任意 a e F，a = a • 1, a 可逆， 1 是不可
约元.
问题 3.3.16 ZK / 3 !] 和 Z [ y /^2] 都是唯一分解整环吗？
是的.
问题 3.3.17 什么叫欧几里得整环？
设尺是有单位元的整环，若存在映射
d : R \{0} N ,
使得对任意 a , 6 G # 0,有 a M 穴，使
a = bq r ,
其中 r = 0或 d ( r ) < d ( b )， 则称 F 为一*个欧几里得整环 (Euclidean domain ).
问题 3.3.18 整数环 Z 是欧几里得整环吗？
是的.只需定义映射= M 即可.
问题 3.3.19 高斯整环 Z [ i ] = {a + | a , b e Z } 是欧几里得整环吗？
是的.只需取映射+ 6 i ) = a 2 -\- b 2 即可.
问题 3.3.20 欧几里得整环只的每个理想都一定是主理想吗？
是的.设 d 是欧几里得整环尺的映射， 若 I 是 R 的一个理想，则/ = {0} =
< 0〉或/ # {()}• 当/ / {0} 时，集合 { d ( a ) | aG /, a ^0} 是一个非负整数的非
空集合，因此一定存在最小数，设 a 使得 d ⑷最小，则对于任意 bGlJqjGR ,
使得 b = aq + r , 其中 r = 0或 d ( r ) < d ( a ). 假如 r 兴0,则 d ( r ) < d ( a ) 与 a 的选择
矛盾，因此一 ■定有 6 =叫，所以，/ = ( a ) 是主理想.
问题 3.3.21 主理想整环只一定是欧几里得整环吗？
不一定.若0 = 1(1 + v ^), 则可以证明整环
2[0] = {a bf ) I a , b G Z }
是主理想整环，但 Z 网不是欧几里得整环.
问题 3.3.22 设 <9= ^(14- v / m ), M m 取哪些值时， Z {6] = {a + 6(9 丨 a , b e Z }
一定是欧几里得整环？
m = —3,-7，—11，5,13,17,21，29,33,37,41，57, 73时， Z [0] = {a - i - 6(9 | a , b e Z }
一 定是欧几里得整环.
.118 •
第 3 章环上的多项式
问题 3.3.23 m 取哪些值时， Z[y/m\ = {a + by/m \ a , b E ： Z} 一定是欧几里得
整环？
m = 一1，—2,2,3,6,7,11，19时， Z[y/rri\ = {a + by/m \ a , b e Z} 一定是欧几里
得整环.
问题 3.3.24 欧几里得整环只一定是唯一分解整环吗？
是的.这是因为主理想整环只 一 定是唯一分解整环.
问题 3.3.25 域一定是欧几里得整环吗？
是的.设 F 是域，定义 d : F — N 为 d ( a ) = 0对于任意 a e F , 则任意
a , b € 有 q = b ~ l a , r = 0，使得 a = bq r , 所以，域 F — 1 定是欧几里得
整环.
问题 3.3.26 欧几里得整环一定是域吗？
显然不一定.整数环 Z 是欧几里得整环，但整数环 Z 不是域.
问题 3.3.27 什么是可约多项式和不可约多项式？
设/?是交换环， /( x ) G H [ x ] 是一个非零元，若 f(x) 不是乘法可逆元，且 f(x) =
时，和 h{x) 中一定有 一 个是乘法可逆元，则称 f{x) 为多项式环7?问
的 一 个不可约多项式 (irreducible polynomial ). 若 f(x) 次数大于零，并且不是多项
式环 R[x] 的可约多项式，则称 f(x ) 为 一个可约多项式 (reducible polynomial ).
问题 3.3.28 模 2 的整数域 Z 2 上的多项式中次数为 2, 3,4 和 5 的不可约多
项式有哪些？
整数域 Z 2 上的多项式中次数为2的不可约多项式有： x 2 + 1.
整数域 Z2 上的多项式中次数为3的不可约多项式有： x 3 + x + l ， x 3 + x 2 + 1.
整数域 Z 2 上的多项式中次数为4的不可约多项式有： x 4 -h x : \x 4 - fx - hl , x 4 -f
x 3 + a : 2 4- a : -f 1 .
整数域 Z2 上的多项式中次数为 5 的不可约多项式有： x 5 - I - x 3 - hx 2 -f x-f 1, x 5 +
re 4 -h x 2 -h a : + l , x 5 -h x 4 -f a : 3 4- x -f l , x 5 4- x 4 x 3 -f x 2 -h 1, x 5 H - x 3 -h l , x 5 -h x 2 -f 1.
问题 3.3.29 模 3 的整数域上的多项式中次数为2, 3和4的首一不可约
多项式有哪些？
整数域 Z 3 上的多项式中次数为2的首一不可约多项 式有： x 2 + l , x 2 +x +
2, x 2 2 x -\- 2.
整数域上的多项式中次数为 3 的首一不可约多项 式有： x 3 + 2 a : + l , x 3 + x 2 +
2x4-1, x 3 -f 2x 2 -hl, x 3 -f-2x 2 -i-x+l, a: 3 -f x 2 -|-2, x 3 +2x 2 +2, x 3 +:t 2 +:c+2, x 3 +2x 2 +2x+2.
问题 3.3.30 设 F 是域，则 F [ x ] 中的非零常数多项式一定是可约多项式吗？
3.3 因式分解
• 119 -
是的.对于交换环只上的非零多项式 /( x ) G 只 ㈤ ，若 /( a :) 不是乘法可逆元,
并且 f { x ) = 贞: r )/ i ( x ) 时， g ( x ) 和 h ( x ) 中一定有一个乘法可逆元，则称 f ( x ) 为不
可约多项式.在域中，由于 f ( x ) = a # 0时， f ( x ) 是乘法可逆元，故 f ( x ) 不是不可
约多项式，所以，中的非零常数多项式一定是可约多项式.
问题 3.3.31 设丑是环，则 R [ x ] 中的非零常数多项式一定是可约多项式吗？
不一定.在中，常数多项式 f ( x ) = 4/0,4不是乘法可逆元.由于 f ( x ) =
5 . 5,并且5不是乘法可逆元，故 /( x ) = 4是可约多项式.
在整数多项式环中，对于 f ( x ) = 3,明显地 ， 3不是乘法可逆元，并且
3 =分(: r )/ z ( x ) 时，一定有 g ( x ) = ±1 或者 h ( x ) = ±1, 所以， f ( x ) = 3是 Z [ x ] 的不可
约多项式.
问题 3.3.32 设 F 是域.则 F [ x ] 中的一次多项式一定是不可约多项式吗？
是的.若 /(: r ) 是 F [: r ] 的一次多项式，并且 f ( x ) = p (: r )/ i (: r ), 贝 !j
1 = deg (/) = deg(g - h ) = deg ⑷ + deg ( h ).
既然 F 是域，因此， deg (^) = 0或者 deg ( h ) = 0,因而，或者 h ( x ) 是乘法可逆
元，所以，一次多项式/(3：) — 定是不可约多项式.
问题 3.3.33 设 R 是交换环，则 R [ x ) 中的一次多项式一定是不可约多项
式吗？
不一定.在整数多项式环 Z [: r ] 中，令 f ( x ) = 2 :r + 4,则 /( x ) = 2 (:r + 2), 但
9 ( x ) := 2和 h ( x ) =x + 2 都不是乘法可逆元.因此， /( x ) 是可约多项式 •
问题 3.3.34 有单位元的交 换环丑 上的首 —— 次多项式一定是不可约多项
式吗？
是的.设 f ( x ) = : r + a , 若 f ( x ) = x-\-a = 6 (cx + d )， 则 6 c = 1，因此, c 6 = be = 1，
故 6 是可逆元，所以， f ( x ) 是不可约多项式.
问题 3.3.35 若 F 是一个域，则 0 次的非零多项式一定是乘法可逆元，因此
一个多项式 f ( x ) G F [ x ] 是一个不可约多项式，当且仅当 deg (/) 〉0， 并且 /( rr ) 不
能分解成两个次数小于 deg (/) 的多项式的乘积吗？
是的.
问题 3.3.36 若 i ? 是环，但不是域，则 /( x ) G R[xl deg (/) > 0 不能分解
成两个次数小于 deg (/) 的多项式的乘积时， f ( x ) 一定是丑 [ x ] 的不可约多项式吗？
不一定.事实上， f ( x ) = 4 (x - 1) 6 Z [ x ] 不能分解成两个次数小于1的多项式
的乘积，但它是 Z [: r ] 的可约多项式.
.120 •
第 3 章环上的多项式
问题 3.3.37 如何用 Eisenstein 判别法证明 f ( x ) = a ; 2 +:c + 1 在 Z [ x ] 是不可
约多项式？
令 a : = ?/ + 1，则 /(y + 1) = (y + I ) 2 + (?/ + 1) + 1 = 2/ 2 + + 3,故3不整除
1，3整除3,并且3 2 不整除3,因此 ， /(y + 1) 是不可约多项式，所以， f ( x ) 是不可
约多项式.类似可证明对于任意素数 p ， 多项式 f ( x ) = xP~ l + xP ~ 2 + • •. + o : + 1是
Z [ x ] 的不可约多项式.
问题 3.3.38 什么叫真因式？
设 f ( x ) 是一个可约多项式，若贞 x ) 整除 f ( x ) 且 0 < deg (^) < deg (/), 则称
g ( x ) 为 f ( x ) 的一个真因式 •
问题 3.3.39 设 F 是域， p ( x ) 是一个不可约多项式， p ( x ) 整除 /( x ) g ( x ), 则
p ( x )\ f ( x ) 或 吗？
是的.如果 p ( x ) 不整除 /( x ), 由上面引理知 p ( x ) 与/⑻互素，则存在 a (： r )，6( x )
G F [ x ], it
a(x)p(x) 4 - b(x)f(x) = 1 ,
两边同乘 9(4 得
a ( x ) p ( x ) g { x ) -h b ( x ) f ( x ) g ( x ) = g ( x ).
由于 P ( x ) 整除 f ( x ) g ( x ), 它也整除上式的左边，所以 p ( x )\ g ( x ).
问题 3.3.40 设 /( x ) 是域 F 上的一个次数大于3的多项式，若 f { x ) 在 F 是
可约的，则 /( x ) 在 F 上有根吗？
不一■定.如实数域 上的多项式 /(: r ) = x 4 2 x 2 + 1,由 x 4 -|- 2 x 2 H - 1 = ( x 2 +1) 2
可知，它是可约的，但 /(: r ) 在实数域尺上没有根.
问题 3.3.41 设 /( x ) 是成 F 上的一个次数等于2或3的多项式，则 /( x ) 在
F 上是可约多项式当且仅当 f ( x ) 在 F 上有根？
是的•若 /( x ) 是 F 上的可约多项式，则存在 g ( x ), h ( x ) e F [ x ], 使得 f ( x ) =
g ( x ) h ( x ), 并且 deg ( g ) < deg ⑺， deg (") < deg ⑺.由于 f ( x ) 是次数等于 2 或 3 的
多项式 ，故贞 x ) 和 / i ( x ) 至少有一个是一次因子.不妨设 g ( x ) = + 6( a 笋 0), 则
— a 一 4是 g ( x ) 中的根，因而 - a ， 也是 f ( x ) 的根.
反过来， 若 a 是 f ( x ) 在 F 中的根，则 （: r - a ) lf ( x ), 所以 f ( x ) 可约.
问题 3.3.42 设 F 是域，则 F [ x ] 中的2次和3次多项式是不可约多项式的
充要条件为 /( x ) 在 F 中没有零点.如果 F 不是域，则结论成立吗？如果 F 是域，
但多项式的次数大于3,则结论是否成立？
3.3 因式分解
• 121 •
如果 F 不是域，则结论不一定 成立. 对于 /( x ) = 6 x 2 - 13 x + 6 = (2 x -3)(3 x -
2) E Z [ x ], 容易知道 /( x ) 在 Z 中没有零点，但 /(: r ) 是可约多项式.
如果 F 是域，但多项式的次数大于3,则结论不一定成立.对于 f ( x ) = x 4 +
3 x 2 + 2 G Q[x], 容易知道 /( x ) 在 Q 中没有零点，但 f(x) = ( x 2 + l )( x 2 + 2)，所以，
/( t ) 是 Q [ x ] 的可约多项式.
问题 3.3.43 设 F 是域，则 F [ x ] 中的非常数多项式 p ( x ) 是不可约多项式的
充要条件为 p { x ) 整除时，一定有 p { x ) 整除 f ( x ) 或者 g (: r ) 吗？
是的.假如 p ( x ) 整除 /(: r ) p (: r ) 时，一定有 p ( x ) 整除 f ( x ) 或者 g ( x ) 成立 •
由于 p ( x ) 是非常数多项式，因此， p { x ) 不可能是乘法可逆元.若 p ( x ) = r ( x ) s ( x ),
则 p ( x )\ r ( x ) 或者 p ( x )| s ( x )， 但 deg (/) = deg ( r ) + deg ( s ), 故 deg ( p ) ^ deg ( r ) 或者
deg ( p ) < deg ( s ), 因此， deg ( r ) = 0 或者 deg ⑷ = 0, 所以， r (: r ) 或 s ( x ) —定是非零
常数多项式.因而 r (: c ) 或者 s (: c ) 是乘法可逆元，所以， p ( x ) 是不可约多项式.
问题 3.3.44 设 p 是素数，则 f ( x ) = x 2 bx -\- c G Z p [ x ] 是可约多项式的充
要条件为6 2 - 4 c 是％ 的某个元素的平方吗？
是的•若 f ( x ) = x 2 -\- bx c 可约，则存在 e Z pi 使得 = x 2 ^ bx -\- c =
(x — a){x — /?)， 故 6 = a + /?， c = a /?， 因此， b 2 — Ac = (a — /3) 2 . 反过来，若 6 2 — 4 c 是
Z p 的某个元素的平方，则 Vb^~Tc e Z p , 令 a = 6 + y 6 2 -4 c ^ = 6- x /6 2 -4 c ^
则 fi x ) = (x - a)(x — /?)， 所以， f ( x ) = X 2 -\-bx c 是可约多项式.
问题 3.3.45 设 f { x ) 是域 F 上的一个次数大于0的多项式，则 f ( x ) 可以写
成不可约分解式吗？
是的.设 f(x) 是域 F 上的 一 个次数大于0的多项式，则
/(x) = 啊 ㈤… p„(x )，
其中 c 是一个非零常数， Pl ( x ),... , p n ( x ) 是首一不可约多项式，上面等式就称为
f ( x ) 的不可约分解式.
这里的 C 和真因式列 { pi ( X )， … , p n ( x )} 在相差一个次序的意义下由/( X )唯
一 确定.
问题 3.3.46 任意域 F 上的单变量多项式环—定是唯一因子分解环吗？
是的.
问题 3.3.47 环 i ? 上的单变量多项式环 R [ x ] 一定是唯一因子分解环吗？
不一定 • Z 8 上的多项式 f ( x ) = a； 2 + 7, 有 f ( x ) = (x + 7)(x + 1), 并且 f ( x )=
(x + 5)(x + 3), 因此， Zg [ x ] 不是唯一因子分解环.
• 122 .
第 3 章环上的多项式
3.3.3 多项式的重因式
问题 3.3.48 什么叫多项式的重因式？
若 /( X ) = cpi ( x) kl - - - p r ( x ) kr , 并且 Pi ( x ), - - - , Pr ( x ) 是两两不同的首一不可约
多项式，则称该分解式为 f ( x ) 的标准不可约分解式.指数&称为因式在
f { x ) 中的重数 （ multiplicity ), 重数大于 1 的因式称为重因式.
问题 3.3.49 多项式 /( x ) 的导数如何定义？
设 f ( x ) = a n x n -f a n _ ix n_1 + • • • + a。G F [ x ]， 称
f ’( x ) = na n x n ~ l + (n — l ) a n _ ix n ~ 2 -f • • • -f ai
为 f(x) 的导数.
问题 3.3.50 交换整环上一个非零多项式的导数的次数一定是原多项式的次
数减1吗？
不 一 定•在 Z 5 [: r ] 中， f ( x ) — 2 x 5 - hx 2 +5 x + T 的导数为 f ( x ) = Ox 4 -f 2 x + 2 =
2 x + 2.
问题 3.3.51 域上一个非零多项式的导数的次数一定是原多项式的次数减
1吗？
不一定.例子同上.
问题 3.3.52 特征是0的域上一个非零多项式的导数的次数一定是原多项式
的次数减1吗？
是的.
问题 3.3.53 设 f ( x ) = cpi ( x) kl - - p r ( x ) kr 是特征为 0 的成 F 上一个次数大
于1的多项式 /( x ) 的标准不可约分解式，则 gcd (/( x ),/ / ( x )) = 产 - 1 吗？
t=l
是的.
问题 3.3.54 设 f ( x ) = cpi ( x) kl - - p r ( x ) kr 是特征为素数 p 的成 F 上一个次
数大于1的多项式 f ( x ) 的标准不可约分解式，则 gcd ( f ( x ) J f ( x )) = fl Pi { x) ki ~ l
i=l
吗？
不 一定. 在 A 上，对于 f { x ) = (: r + T ) 3 , 有 gcd ( f ( x ), f f ( x )) = gcd(x + T ) 3 ,0) =
(x + T ) 3 .
问题 3.3.55 设 F 是域，若 f ( x ) e F [ x ), gcd (/( x )， 厂 ( x )) = 1，则 f ( x ) 无重因
子吗？
3.4 本原多项式
• 123 .
是的. 如果 f ( x ) = g ( x ) r h ( x ), 其中 deg(^) > 0, h { x ) 一 0，r > 1，贝!]
f \ x ) = rg ( x ) r ~ l g \ x ) h ( x ) g ( x ) r h \ x )
= g ( x ) r ~ l [ rg ( x ) h ( x ) + g ( x ) h f ( x )}.
因此 g ( x )\ gcd(/(x), 从而夕 (x) = 1，所以 f ( x ) 无重因子.
3.4 本原多项式
问题 3.4.1 什么是本原多项式？
设 i ? 为环， f ( x ) = a n x n + a n - ix n ~ l -f • • • + aix + a 0 是一个非零多项式，其
中 a n , a n _ i , - - - , ai , a 0 G R . 如果除了乘法可逆元外， a n , a n _ i , ••- , ai , a 0 没有其他
公因子，则称 f ( x ) 为 一个本原多项式 (primitive polynomial ).
问题 3.4.2 若 p 为素数， Z p [ x ] 的多项式都是本原多项式吗？
是的.这是由于对任意的多项式 /( x ) € Z p [xl 若 a 是 f ( x ) 的系数的公因子，
则 a 是乘法可逆元，因此 f ( x ) 是本原多项式.
问题 3.4.3 设尺是唯一因子分解环，不可约多项式 / Or ) G R [ x ] 一定是本原
多项式吗？反过来呢？
容易看出，次数大于等于1的不可约多项式 f ( x ) G R [ x ] 一定是本原多项式.反
过来，如在 Z [ x ] 中，多项式 f ( x ) = : r 2 +4 :r + 3 是本原多项式，但 f ( x ) = rr 2 +4 x + 3 =
(x + 3)( x-f 1), 所以本原多项式 f ( x ) e i ?[ x ] 不一定是不可约多项式.
问题 3.4.4 设尺是唯一因子分解环，则两个本原多项式 /( x )，^. t ) G 及 [ a :] 的
乘积 f { x ) g ( x ) 仍然是本原多项式吗？
是的.设
f ( x ) = a n x n + a n —\ x n 1 + . • • + a\x + a 。，
g ( x ) = b rn x Tn -h 6 m _ ix m_1 + ••• + hx + 6 0
都是本原多项式.将 f ( x ) g ( x ) 展开成
f ( x ) g ( x ) = c n + rn x n+rn -f c n + rn _ ix n+m_1 + ••• + dx + c 0 ，
则
Ck = E CLibj .
i -\- j=k
.124 .
第 3 章环上的多项式
反证法.假如 f ( x ) g { x ) 不是本原多项式，则存在只中的不可逆元 p 整除每个
Ci . 设〜是 /( i ) 中从左边数起第一个不被 p 整除的系数.设~是 g ( x ) 中从左边
数起第一个不被 P 整除的系数.则
Cr-fs — O-r^s 〉: ^ : i?
i >0
i >0
它不被 p 整除，矛盾.由反证法原理可知， f ( x ) g ( x ) 是本原多项式.
问题 3.4.5 设丑是唯一因子分解环，若两个多项式 /( X ), p ( x ) G R [ x ] 的乘积
f ( x ) g ( x ) 是本原多项式，则 /( x ) 和 〆 J ：) 都是本原多项式吗？
是的.实际上，设 f { x ) = afi ( x ), g ( x ) = bgi ( x ), 这里 a,b e R , / i ( x ) 和 g \{ x )
都是本原多项式，则由上面问题可知， / i ( x ) gi { x ) 为本原多项式.由于 /(： r ). g ( x ) 是
本原多项式，故 a 6 是乘法可逆元，因此由 a ( b ( ab )- i ) = e 可知 a 是乘法可逆元.由
(( ab )~ l a)b = e 可知6是乘法可逆元，所以 f ( x )= a / i ( x ) 和 g ( x ) = bgi ( x ) 分别都
是本原多项式.
3.5 唯一因子分解环上的多项式
问题 3.5.1 设是唯一因子分解环，则 R [ x ] 也是唯一因子分解环吗？
是的.
问题 3.5.2 设尺是整环，若 R [ x ] 是唯一因子分解环，则只也是唯一因子分
解环吗？
是的.这是由于 a e R 是不可约元当且仅当 a 是多项式环 i ? ㈤ 的不可约元.
3.6 非交换环上的多项式
问题 3.6.1 非交换可除环/?上的一个多项式是怎么定义的？
设开 是一个非交换可除环，表达式
f ( x ) = a n x n + a n _ ix n_1 +- h a\x -h a 0
称为上的一个多项式，这里 a n , a n _ i , •..G /?， x 与尺中的所有元都可交
换，并且 \x = x . R 上的一个多项式全体记为 i ?[ x ].
问题 3.6.2 非交换可除环上的 f ( x ) = a 2 x 2 + xai + a 0 是多项式吗？
不是.按照非交换可除环开上多项式的定义， g ( x ) = a 2 x 2 -f aix + a 0 是多项
式， f ( x ) = a 2 x 2 + xa Y -h a 0 不是多项式，多项式的项中的系数一定要在 x 的左边.
3.6 非交换环上的多项式
. 125 •
问题 3.6.3 设丑是非交换环，则多项式环 R [ x ] 的 中心一 定包含 x 吗？
是的.按照非交换环上多项式的定义， z 与环 E 的任意元素 a 都满足 ax = xa ,
因此多项式环 R [ x ] 的中心一定包含: r .
问题 3.6.4 非交换可除环丑上的一个多项式在 a 处的值是什么？
设 /(^) = a n x n -f a n -\ x n ~ l -h • • • -h a\X -f a 0 € R [ x ], 对于 a e i ?, 定义
/ (a) = a n a 71 + d n —\(i Tl 1 + •. • + aid + <2 。，
称 /( a ) 为 /( x ) 在 a 处的值.若 /( a ) = 0, 则称 a 为 f ( x ) 的右根（或零点).一般都
只讨论右根，因此就将右根简称为根.
问题 3.6.5 若 f ( x ) = g [ x ) h ( x ), 则对于 a e R , f ( a ) = g ( a ) h ( a ) 是否一定
成立？
不 一 定•设丑是非交换环, a , 6 6 R , ab / ba , 则对于 g ( x ) = x — a , h { x ) = x — b ,
有 /( 工） = g ( x ) h ( x ) = X 2 — (a + 6 )x + 故
/( a ) = a 2 — (a + b)a ab = ab — ba ^ 0,
但 g ( a ) h ( a ) = 0. 因此 /( a ) = g ( a ) h ( a ) 不成立.
实际上，在所有整数上的 2 x 2 矩阵全体构成的非交换环 AJ 2 ( Z ) 中，只需取
0 0] , I" 0 1 '
(2 = , 0 = ,
10 0 0
一 -J I— ■
则容易知道，对于环 M 2 ( Z ) 上的多项式 g ( x ) =x + a , h { x ) = a : — a ，有
f { x ) = g { x ) h { x ) = x 2 - a 2 .
但 / ⑻: = 6 2 — a 2 = 0,而
g(b)h(b)=
0
1 "
0 1 "
• -1 0 •
1
0
-1 0
0 1
所以 ， fW 弄 g(b)h(b).
问题 3.6.6 设丑是非交换环 ， a e R 是非零多项式 /(: r ) G R [ x ] 的根的充
要条件为 x - a 先 /( x ) 在 R [ x ] 的右除 因子. R [ x ] 有根 a 的多项式全体为左理想
R [ x](x — a ) 吗？
3.6 非交换环上的多项式
. 127 •
的一个根.但由于 7 ^ 0,因而 -j 不是方程 (x-i)(x-j) = 0
的一个根.容易知道 = 故 —j 与 j 共辄，但- j 不是它的一个根.
问题 3.6.10 设 i ? 是环， f ( x ) = g ( x ) h ( x ) G R [ x ], 若 a G i ? 是 " 的根，则 a 是
f 的根吗？
n / n \ n
是的•设 g ( x ) = ^ 则 f ( x ) = g { x ) h ( x ) = I ^ b { X l j h ( x ) = ^ bih ( x ) x \
i =0 \ z =0 / i =0
n
故 /( a ) = ^^ bih ( a ) a l = 0, 所以 a 是 / 的根.
1=0
问题 3.6.11 设 是环， /( x ) = g ( x ) h ( x ) e R [ x ], 苦 a e R I g 的根，则 a 是
f 的根吗？
不一定.实际上，在所有实数上的2 x 2矩阵全体构成的非交换环 M 2 ( i ?) 中，
只需取
1
0 "
, b =
' 0
1 "
, C =
" 0 o '
0
0
0
0
1 0
设 g ( x ) = bx , "( x ) = c ，则 g ( a ) = ba = 0, 因此 a 是 g 的根，但
/( a ) = bca = a 7 ^ 0 ,
所以， ci 不是 / 的根.
问题 3.6.12 对于非交换可除环丑上的多项式 f ( x )， g ( x ) e R [ x ], 可能存在
不同的 qi { x ) 1 q2 ( x ) G i ?[ x ] ri ( x ), r 2 ( x ) e R [ x ], 使得 f ( x ) = qi ( x ) g ( x ) + ” 1 (工)， 并
且 /⑻ = g ( x ) q 2 ( x ) -h ” 2 ( x ) 吗?
有可能.设 i ? 是有理数域上的 2x2 阶矩阵构成的非交换环，若 f ( x ), g ( x ) e
♦]，
/( 工）
2 1 '
o
" 0 0 '
1 0 "
0 1 '
" 1 1 "
—
X 2 +
x H -
, g(x) =
x +
0 0
1 0
0 1
-1 0
1 1
设 /( 工）= + n(4 和 /( x ) = q 2 ( x ) g ( x ) -\- r 2 ( x ), 则容易知道 和 q 2 ( x )
都是 一 次多项式，故可设 qi ( x ) = a\x + b \ n ( a :) = Ci , gr 2 ( x ) = a 2 x + 62 和
r 2 ( x ) = c 2 , 代入后比较系数可知
并且
第 4 章向量空间与模
域上的向量空间的性质与数域上的向量空间的性质是比较类似的.
4.1 向量空间
4.1.1 向量空间的定义
问题 4.1.1 向量空间的定义是什么？
设 F 是一个域， v 是一个 Abel 群 （用加 法记它的群运算)，若有一个数乘运算
F xV
( a , u ) i — > au ，
满足以下条件：
(1) \u — u 对任意 u 成立；
(2) ( ab)u = a ( bu ) 对任意 a,b E F,u E V 成立；
(3) (a -h b)u = au bu 对任意 a,b E F,u E V 成立；
(4) a{u - i - w ) = au aw 对任意 a E F , u,w E V 成立.
则称 V 为域 i 7 上的 一 个向量空间 （vector space ) 或线性空间 (linear space ), 向量
空间中的元素称为向量 ( vector ), 域中的元素称为纯量 ( scalar ).
问题 4.1.2 含有非零元的最小向量空间含有多少个元素？
容易知道， Z 2 = {0,1} 是一个加法 Abel 群，它可以看作域厶上的向量空间，
它只有两个元素.
4.1.2 向量空间的性质
问题 4.1.3 设1/是域 F 上的向量空间，则对任意的 a e F , u e V , ^
a 0 = 0, u = 0, (— a)u = a (— u ) = —au 吗？
是的.由于 aO = a (0 + 0) = aO + aO , 故 aO = 0. 类似地，可以证明其他的结论
也成立.
问题 4.1.4 设 K 是域 F 上的向量空间，若对于 a € F，u € V ，有 aw = 0,则
一定有 a = 0或 ix = 0吗？
4.1 向量空间
. 129 .
是的.若 au = 0，但 a / 0,则由于 F 是域 ， a € F , 故存在 a -1 € i 7 ， 使得
a~ l au = a -1 0 = 0,所以 w = 0.
问题 4.1.5 设 V 是域 F 上的向量空间，若 a e F 使得 au = u 对任意 uG K
都成立，则 a = 1 —定成立吗？
是的.若 a € F 使得 au = u 对任意 u E V 都成立，则由 0 = u — ix = cm — w =
au—lu = ( a — l ) u 可知， a —1 = 0 或者 w = 0, 但 u 是 V 的任意兀素都有 (a—l)u = 0
成立，所以， 一 定有 a — 1 = 0，即 a = 1.
问题 4.1.6 设 V 7 是域 F 上的向量空间，若对于 a G F , w , v G au = av ,
则一定有 w = t ; 吗？
不 一 定. 若 a = 0，则对于任意 u + V ， 都有 cm =⑽.若 a # 0，则⑽=⑽时,
一 定有 u = V.
问题 4.1.7 设 V 是域， F 是 F 的子域，则 K 是 F 上的向量空间吗？
是的.容易按向量空间的定义验证.
4.1.3 向量空间的子空间
问题 4.1.8 什么是向量空间的子空间吗？
设 V 是一个向量空间，若 W 为 F 的非空子集，满足以下 条件：
( 1 ) oew ；
(2) u -\- v e W 对任意 u,v e w 成立；
(3) au e W 对任意 a eF . ueW 成立.
则称 w 为 K 的一个子空间.
问题 4.1.9 若 F 是域，则可将 F 看作 F 上的向量空间吗？
是的.容易按向量空间的定义验证.
问题 4.1.10 设 F 是域.将 F 看作 F 上的向量空间，则 F 没有非平凡的子
空间吗？
是的. 容易按照子空间的定义验证， F 是域时， F 可看作 F 上的向量空间，故
对于 F 的任意子空间是域 F 的理想，由于域只有平凡理想，故 F 没有非平
凡的子空间.
问题 4.1.11 设 K 是非零向量空间，则 V — 定有非平凡的子空间并且
V 吗？
不一定.若 V 是一维的向量空间，如 V 是实数全体构成的实数7?上的向量空
间，则 V 没有非平凡的子空间使得 W
• 130 -
第 4 章向量空间与模
问题 4.1.12 向量空间 V 的加法子群 W —定是 V 的子空间吗？
不一定.设只是实数，有实数 H 的向量空间只 2 的加法子群 Z 2 ,Ma = V 2 eR )
u = (1， 1) e Z 2 , 有 an 不属于 Z 2 , 因此， Z 2 不是丑 2 的子空间.
问题 4.1.13 若向量空间 V 的非空子集 W 在纯量和向量的数乘运算下是封
闭的，则 W —定是 F 的子空间吗？
不一定.设丑是实数，有实数尺的向量空间丑 2 的加法子群 W = {( x , y )\ xy ^
0}，则 VT 在纯量和向量的数乘运算下是封闭的，但对于 w = ( l ,0) G^,v = (0,- l)G
W ， 有 u + u = (1， -1) 不属于所以， W 不是 F 的子 空间.
问题 4.1.14 设 V U V 2 ,W 都是向量空间 V 的子空间，若 Vi + W = V 2 + W ，
则一定有 Vi = F 2 吗？
不一定.设只是实数，向量空间炉有子空间％=印&11{(1，0)}，7 2 =叩&11{(1，1)},
W = span {(0, 1)}，则 h W = V 2 + V ，但 Vi # V 2 .
问题 4.1.15 若 V 是无限域 F 上的向量空间，则 F 不可能是有限个真子空
间的并吗？
是的.反证法.假设 h ， F 2 ，...， K n 是满足 F = KiU ^2 U --* UKz 的真子空间
中个数最少的真子空间.
取
1X1 6 Vi , U\ ^ V2, ^2 G V2, U2 ^ - - - (JV^.
对于 i = 1，2, …， n, 令
Fi = {a e F \ ui -j- au 2 G Vi}.
则 F = | JF 2 U ... UF n . 由于 F 是无限域，故一定有某个 K 最少包含两个元素.
由于 w e _ V 2 , ％ e K 2 , 故是空集.故存在某个 i # 2,有两个不同的
a，b 6 F “ 使得 ixi +似2 € %，并且 wi + 〜 2 € V ^， 因而
(a — b)u2 = (ui H- au2) - ( 以 i + bu 2 ) G K,
故 e K . 但这与 ^2 《 K 的选取相矛盾，所以定理成立.
问题 4.1.16 若1/是无限域 F 上的向量空间，则 F 的有限个真子空间的并
是 K 的子空间吗？
一定不是.原因与上面问题理由一样.
问题 4.1.17 若 V 是有限域 F 上的向量空间， F 是 n 个真子空间的并，则
一定有< n 吗？
4.1 向量空间
• 131 •
是的.从前面两个问题的论证过程可以看出结论成立.
问题 4.1.18 若 K 是有限域 F 上的 n(n > 1) 维向量空间，则向量空间 V —
定可以表为有限个真子空间的并吗？
是的.若 V 是有限域 F 上的 n 维向量空间，则容易验证 K 有 m = | F | n 个不
同元素，记 V " = {0, vi , - - - , v m - i }- 由于 V 是 n 维的，故不妨设 . , u n 线
性无关，令 = 1,2,… ,n) 为 Vi 生成的一维线性子空间，则 V = \J^ =1 V i .
问题 4.1.19 若1/是有限域 F 上的向量空间，则向量空间 V —定只有有限
个元素吗？
不 一 定.设心= {0,1,2}, V = {(^1,^2, …，叫， • • • ） 丨以 i e Z 3 }， 则1/是有限域
Z 3 上的向量空间，但容易知道 V 中的元素个数不是有限的.
问题 4.1.20 设1^,1/ 2 是域 F 上的线性空间 y 的两个真子空间，则 V / ViU
V 2 吗？
是的.不妨设 Vi 和 W 没有相互包含的关系，则存在 ix 6 VijU ^ V2 , 7/^0,
并且存在 v e V 2l v ^ 0. 此时一定有 u v ^ Vi, 不然的话，由 w + r e Vi 和
u e Vi 可知 ， v e Vi ， 与 ？； 多 V] 矛盾.同理可知道 u-\-v^. v 2l 因而 u -h v e v, is.
w + ViUR ， 所以 v^v l \jv 2 .
问题 4.1.21 设 V U V 2 是域 F 上的线性空间 y 的两个真子空间，则 ViUV 2
是 V 的子空间吗？
不是.原因与上面问题理由一样.
问题 4.1.22 向量空间 V —定不能表为它的3个真子空间的并吗？
不一定 . V = {(a u a 2 ) | a, G Z 2 j 是域 Z 2 上的向量空间，则可以表为它
的3个真子空间的并.实际上，只需令 Vi = {(0,0)，( l ，0)}， y 2 = {(0,0), (0,1)}, ^ 3 =
{(0,0)，（1，1)}，则 KsHUbUW .
问题 4.1.23 设 V U V 2 是域 F 上的线性空间 V 的两个真子空间，则 R + K 2
一定包含 K 和 K 2 吗？
是的. 由于 Vi 包含0,故容易知道 R + 1/ 2 — 定包含 V 2 . 同样地，容易知道
Vi^V 2 一 定包含
问题 4.1.24 设 V U V 2 是域 F 上的线性空间 V 的两个真子空间，则包含 K
和 V 2 的子空间 M —定包含 Vi + K 2 吗？
是的.容易验证.
问题 4.1.25 设 Vi ，％ ，…，是特征为0的域 F 上的线性空间 F 的 n
个真子空间，若子空间 M g ^ iU ^2 U **- UK ? 则一定存在某个子空间 V ；包含
• 132 .
第 4 章向量空间与模
M 吗？
并且每个 Kf | M 都是子空间，由前面结论可知 V ；门 M 不可能都是 M 的真子空
间，因此，一定存在某个 i ， 使得 Vi^M = M , 所以，一定存在某个子空间％包
含 M .
问题 4.1.26 存在两个不同的域 A g F 2 , F X ^ F 2 , 交换群 V 和它的子
群 W ， 使得 W 是 K 在域巧上的子空间，但 W 不是 K 在域 F 2 上的子空
间吗？
存在.容易知道，有理数域 Q 是实数域/?的子域，设 K 为复数加法群， W 为
有理数加法群，则 w 是 v 在域 g 上的子空间，但 w 不是 k 在域上的子空间.
4.1.4 线性无关和基
问题 4.1.27 什么是线性无关？
设^1 ，^2, • • •， l/ n G V 是向量空间 V 的一组非零向量，如果存在一组不全为零
的纯量 ai , a2 , …， a n € F , 使得
a\U\ -h (22 乜 2 + - h o, n u n = 0,
则称 ui , w 2 , ••- , u n 线性相关，否则称 ui , u 2 , ••- , u n 线性无关.
问题 4.1.28 什么是 W 是 S 张成的子空间？
设 S 是域 F 上的向量空间 V 中一个子集，若
VF = { aiUi + d2 乜 2 + . • 02, • * * , afc G i 7 *, 1/1,1^2 ? …、 Uk 泛 S、k 为某个正整数}，
则称 W 是 S 张成的子空间，记为 VT =< S >.
问题 4.1.29 什么是基？
一 个张成整个向量空间 F 的线性无关集 S 称为 F 的一组基，若 S 中的元素
个数 n 有限，则称 n 为向量空间 V 的维数，记为 dim ( K ), 此时 K 称为有限维向量
空间.若 S 中的元素个数是无穷，则称向量空间 K 是无穷维的.
问题 4.1.30 实数/?为有理数域 Q 上的向量空间时，/?是有限维向量空
间吗？
不是.容易知道 ， S = {7 T , 7 T 2 , … ，7 T n , … } 是7?的一个无穷的线性无关集，所
以，只是无穷维的向量空间.
问题 4.1.31 向量空间 K 有可能存在不可数的线性无关集吗?
4.1 向量空间
• 133 .
有可能. C [0,1] 为实数域丑上的向量空间 ， {： r a I a G [0,1]} 是不可数的线
性无关集.
问题 4.1.32 若 ^1? ^ 2 , * * * , Um 和 Vi ，以2, • • • , 都是向量空间 V 的基，则一
定有 m = n 吗？
是的.
问题 4.1.33 设 t / 和 W 都是域 F 上的向量空间 V 的子空间 ，若 dim ( t /) +
dim ( W ) > dim ( K )， 则 UC\W 一定含有非零元素吗？
是的•设 dim ( U ) = m , dim ( W ) = n ， wi ， U2 , … ，Wm 是 C / 的一个基，仿 i ， 忉 2 ，...，
是 W 的一个基，则由 m + n 〉 dim ( 1 l /) 可知 ui , u 2 , - - - , u ni , wi , W2 , - - - , w n 是线
性相关的，因此存在不全为0的 Cl ,C 2 ,- • ,c n G F 和 d u d 2r - .Crr, G F , 使得
771 71
CiUi -h djWj = 0.
i=l j=l
容易知道 Cj 不可能都是 0, 木也不可能都是 0, 因此 C{Ui = — djWj 一定
2=1 j=l
属于 V 和
问题 4.1.34 设[/和 W 都是域 F 上的向量空间 K 的子空间，并且 U(^W =
{0}，若…，以 m 是的一个基, Wi , W 2 r - 是 W 的一个基，则 U \, U 2 ,'' - ,
u m , wi , w 2 , ••- : W n 一定是线性无关的吗？
是的.容易验证.
问题 4.1.35 设/?是一个交换整环 ， F Q R , F A R 的一个域，并且看成
是 F 上的向量空间时是有限维的，则丑一定是域吗？
是的.要证明尺是一个域，只要证明中不为0 的元素都是乘法可逆元.对
任意一个 a G 仏 a # 0,由 （1) 可知存在非零的多项式 f ( x ) e F [ x ] J ( a ) = 0. 不妨
设 f ( x ) = c 0 + cix + c 2 x 2 + •. • + c m x m 是 F [ x ] 中满足 f ( a ) = 0 次数最小的多项
式，则 c 0 / 0,不然的话，分(: r ) = ci + C2：r + …+ c m x rn ~ 1 e F [ x ] 为满足 p ( a ) = 0 次
数更小的多项式.
由于 /( a ) = Co + c\a -h C2a 2 + • •. + c m a m = 0,故
(Ci + C2d + • • • + c rn a Tn ^)a = — cq .
由 Co # 0, co G i 7 可知 cf 1 存在. 令 6 = (ci + C2a + • •. + c m a m _1 )(— co ) — S 贝 1 J = 1,
因此丑中不为 0 的元素都是乘法可逆元，所以尺是一个域.
问题 4.1.36 Q (於）为 Q 上的向量空间时，它的基是什么？
-134 •
第 4 章向量空间与模
由于妁是不可约多项式 x 3 -2 的根,故容易知道 Q ( V 2) 有一个基为1，於,於.
问题 4.1.37 Q ⑷为 Q 上的向量空间时，它的基是什么？
由于 i 是不可约多项式: r 2 + 1的根.故容易知道 Q ( i ) 有一个基为 l ， i .
4.1.5 线性映射
问题 4.1.38 什么是线性映射？
设 h ， V 2 是同一个域 F 上的两个向量空间， T 是从 Vi 到 K 2 的一个映射，若
T(au -\- bv ) = aT ( u ) + bT ( v ) 对任意 a ,6 € F 和任意 u,v eV \ 成立，则称 7" 是线性
映射.线性映射也称为向量空间之间的同态，当 Vi = \/ 2 = 1/时，一般将线性映射
T 称为线性变换.当 R F 时，将线性映射 T 称为线性泛函.
问题 4.1.39 设％和 K 2 都是域 F 上的向量空间， T 是 Vi 到 V 2 的线性映
射，则 r 是线性同构的充要条件是 Ker ( T ) = {0}, 并且 Im ( r ) = V 2 吗？
是的. 容易知道： T 是单射的充要条件是 Ker ( T ) = {0}, 并且: T 是满射的充要
条件是 Im ( T ) = V 2 .
4.2 内积空间
4.2.1 内积的定义
问题 4.2.1 什么是内积？
设 F 是一个域， K 是 F 上的一个向量空间，若存在 F x F 到 F 的一个映射，
使得对任意 u ， v，w G V , a，b e F , 有
(1) ( u , v ) = ( v , u );
(2) (au - I - bv , w ) = a ( u ^ w ) -h b ( v , w ).
则称 V 为内积空间 (inner product space ). 若对所有的 u G V ， 当 （ w , w ) = 0 时一定
有 tz = 0, 则称该内积 (inner product ) 是非退化的 （ nondegenerate ).
问题 4.2.2 向量空间的内积与空间解析几何中三维欧几里得空间 （Euclidean
space ) 的内积的差异是什么？
差异就是: 一 般来说 w € V "，当 ( u , u ) = 0时，不一■定有 u = 0.
问题 4.2.3 设 F 是一个域， V 是 F 上的内积空间，若 u € K ， 并且对任意
v E V f ^ ( u , v ) = 0，则 w = 0吗？
不一定.对于实数尺，在炉上定义，对任意 u ， t ; €炉有 ( Ul v ) = 0 f 则容易验
证尺 2 是内积空间，但对于 u = (1,1) €开 2 ,有 （ ix ， r ) = 0对任意 veR 2 都成立，但
u ^ 0.
4.3 模
• 135 •
问题 4.2.4 当 V 是域 F 上的向量空间时，讨论的都是 a G F 左乘 it G F, 那
aeF 右乘有意义吗？
因为数乘是 F x K 到 K 的运算，所以 ua 没有任何意义.
问题 4.2.5 设 F 是一个域， V 是 F 上的内积空间，则对任意 u e V, 有
(w,0) = 0?
是的. 这是由于 （ u ，0) = ( w ， 0 + 0) = ( w ，0) + ( T /， 0)，故 （ w ，0) = 0.
4.2.2 正交和正交基
问题 4.2.6 什么是正交？
设 F 是一个域， V 是 F 上的内积空间，若％!； € 有（％〃）= 0, 则称 u 和
是正交的 ( orthogonal ).
问题 4.2.7 什么是正交基？
设 F 是一个域， y 是 F 上的内积空间，若 u 1? u 2 ,... , u n e K 为 F 的基，并且
对任意 i 关 j ， 有 ( ui . uj ) = 0,则称 u l7 W2, …， e K 为 K 的正交基 (orthogonal
basis ).
问题 4.2.8 设 F 是一个特征不为 2 的域， F 是 F 上的 n 维内积空间，则 K
一定存在正交基 { ui , U 2 , - - - ，? Xn } 吗？
是的.
4.3 模
4.3.1 模的定义
问题 4.3.1 什么是模？
设只是一个环， M 是一个 Abel 群，若有一个数乘运算
R x M — M,
( a , u ) i — > au
满足以下 条件：
(1) lu = u 对任意 u e M 成立；
(2) (ab)u = a(bu) 对任意 a，b e R，u e M 成立；
(3) (a + b)u = au-\-bu 对任意 a,b e R,u e M 成立；
(4) a(u -h w) = au-\-aw 对任意 a € R,u,w e M 成立 •
则称 M 为环丑 上的 一 个左模 （left module ).
.136 -
第 4 章向量空间与模
所谓左模是指用丑的元素 d 从左边去乘 M 的元素仏同样地，可以定义右模
(right module ), 只需将上面条件 （1) 〜⑷中 F 的元素写在 M 的元素 u 右边即可：
(1*) ul = u 对任意 u e M 成立；
(2*) u(ba) = (ub)a 对任意 a, b G R,u E M 成立；
(3*) u(a + b) = ua + ub 对任意 a,b G R，u E ： M 成立；
(4*) (u + w)a = ua-\- wa 对任意 a E ： R ， u，w G M 成立.
一 般来说，环只上的左模 M 不一定是右模，如取值于 Z 2 的矩阵加法群 M =
是非交换环= Q a ，6 ，ce 上的左模，但它
不是右模.
f 0 w
l[° ^
由于右模的理论与左模是完全平行的，故只需讨论左模，一般都将环只上的左
模称为 i ? 上的模 ( module ). 除非特别说明，后面出现的模都是指左模.
4.3.2 模的性质
问题 4.3.2 若 M 是交换环 7? 上的模，则对任意的 a G R ， u6 M, 有
aO = 0, Ou = 0, a(—u) = (—a)u = —(au)
吗？
是的.
问题 4.3.3 整数加法群 Z 可以看作整数环 Z 上的模吗？
是的.
问题 4.3.4 若 M 是交 换环丑 上的模，对任意的 ae R，ue M, 当 cm = 0 时，
一定有 a = 0或 W = 0吗？
不一定.整数加法群 Z 6 可以看作整数环 ☆ 上的模，但对于2 € Z 6 , 3 G Z 6 ,
有 2.3 = 0.
问题 4.3.5 若丑是环， M 是它的一个左理想，则 M 可以看作环 H 上的左
模吗？
是的.
问题 4.3.6 什么是子模？
若 M 是环只上的模， 7 V 是 M 的子集.若
(1) 7 V 是 M 的 子群；
(2) 对任意 a G R，u £ N ， 有 au E N 成立.
则称 7 V 是 M 的子模.
4.3 模
• 137 .
问题 4.3.7 若 M 是交换环 R 上的模.对任意非零的 ueM,u 一定是线性
无关的吗？
不一定.整数加法群 Z 6 是交换环 Z 6 上的模，对于5 G Z 6 , 不存在 a € Z 6 , 使
得 = 因此5是线性无关的.但对于加法群 Z 6 中的非零元5,有交换环中的
3 g Z 6 , 使得5_3 = 0,故5是线性相关的，所以模中的非零元不一定是线性无关的.
问题 4.3.8 若 M 是交换环 i ? 上的模，对于一组线性相关的元素，则组中的
元素一定可以由其他元素线性表出吗？
不一定.整数加法群 Z 6 是交换环 Z 6 上的模，5和3是线性相关的，但5不能
由 3 线性表出.
问题 4.3.9 什么是自由模？
若环上的模 M 存在一个子集使得任意 ueM 都可以写成 S 中有限个
元素的线性表示，并且表示是唯一的，则称 S 为模 M 在/?上的一个基.若模 M 有
基，则称 M 是开上的自由模.
问题 4.3.10 S 为模 M 在丑上的一个基的充要条件是什么？
容易知道， S 为模 M 在只 上的一个基的充要条 件为：
(1) 对任意 W € A /， 存在* Ui ， U 2, . • • ， Wn € S 和 fli , (22, • • • , a n G 使得
u = a\U\ H- a<zU2 + •.. + a n u n .
(2) 对以 1 ，以 2 , • • • , u n G 和 cii ， a 】， • ’ • ， d n R ， 若 a\U\ + d2 u 2 + •. • + a n u n = 0,
则一定有
ai = a2 = • • • = a n = 0.
问题 4.3.11 什么是模的直和？
设 M 是环 i ? 上的模，…， M n 是 M 的子模，若
⑴对任意 u e M , 都有 w = ui + u 2 + • • • + u n , 这里 Uf e Mi .
(2) Mi 门 (Afi + M2 + ... + Mi—i + Mj+i + •.. + M n ) — {0}.
则称 M 是 M U M 2 , … ， M n 的直和，记为 M = © Mi .
问题 4.3.12 若 M 是环 R 上的模，则 M 是自由模的充要条件为 M 和 R 的
直和同构吗？
是的.若 M 是自由模 ， S = { u a |a G A } 为它的基，则对任意 u G M , 有
^Ot \ J ^ OL 2 ， “an G S 和， G a2 ，’ • • ， G /?，使得 it = fl ai 1 L ai a a 2 t / a2 + .. • +
aa n ^ a n . 定义映射 9 : M 4 ㊉ 则容易知道 W 是同构.反过来，容易证明若存在
同构 ip : M — ® aJ R , 则 M 是自由模.
• 138 •
第 4 章向量空间与模
问题 4.3.13 若 M 是交换环丑上的有限模，则 M 中一定有线性无关的元
素吗？
不一定.整数加法群 z 6 是整数环 Z 上的模，对任意 u e Z 6 , a e Z , ⑽对6取
模，不难验证 Z 6 中的任意元素 u , 都存在 aeZ , 使得⑽=0,因此中的任意元
素^都不是线性无关的.
问题 4.3.14 若 M 是交换环丑上的模，则 M 中的非零元 xz 都可以扩展成
M 的一组基吗？
不一定.实际上，整数加法群 Z 6 是交换环 Z 6 上的模，但非零元5是不可以扩
展成 Z 6 的一组基的.
问题 4.3.15 对于可除环丑上的自由模 M , 若 { uiw ， … ， m } 和…，
v n } 都是 A / 的基，则 m = n 吗？
是的.不失一般性，不妨假设 m ^ n , 由于 { ui , u 2l - - - ,^ m } 是 M 的基，故存在
ai ， ci 2，. • • ，6 R ， 使得〜 CL \ ZL \ 0>2以2 + • . • + • 设 A : 是第一个使得叫笋 0
的下标，则
Uk — l v n ~ l a\Ui — .. • — a k 1 ak—\Uk—i — ci^ — •. • — ^a-mUm ，
故 {n … ， t / fc - l ， Wfc + 1 ， … , Ura ) 生成 M . 因而存在 6 , 61 , 62 ,… , 6j + i , • • • ,
bm 6 R ， 使得 v n -\ = bv n b \ U \ + . • • + bi - iUi-i H - + .. • + 6 m w m . 由于
{ Vn - l , V n } 线性无关，故 r n -l - # 0 •设 j 是第一个使得 ~ # 0 的下标，则巧
是和叫 (i ^ / C , j ) 的线性组合，故 { v n ^ U V n }\ J { ui\i ^ kj } 生成 M , 从而
〜- 2 是和叫 G / kj ) 的线性组合.重复上面的步骤，假如 n < m , 则 n 步
后，可知{…， V n - 1 ， …， Vm - n + l } 生成 M , 从而 t? m - n 是 V n , V n -\^ • • • , t； m _ n+1 的线
性组合，但这与 {^ i , i ； 2 , •• - , v n ) 线性无关矛盾，所以 n = m .
可以证明，对于交换环上的模 M , 基中元素的个数也是固定的，下面定理也
是成立的.
问题 4.3.16 对于交换环尺上的自由模 M ， 若 { uiw , … ， u m } 和{外，％，•••，
v n ] 都是 M 的基，则 m = n 吗？
是的.
问题 4.3.17 在什么条件下，环/?上的模 M —定有一组基呢？
若 M 是可除环上的模，则 M —定有一组基.
问题 4.3.18 若 M 是可除环丑上的模，则 M 的任意一个线性无关集都一定
可以扩展成 M 的一组基吗？
是的.
4.3 模
. 139 .
问题 4.3.19 设 M 是交换环 R 的理想， M 是交换环 R 上的模，若任意非零
元 M ， 则 a 和6 —定是线性相关的吗？
是的.对任意 a,b E A /, 由于 6 a + (― a )6 = 0,故 a 和6都是线性相关的.
问题 4.3.20 若 Ah , M 2 是环 i ? 上的模 M 的两个真子模，则 M # M x 1 J M 2
一定成立吗？
是的.
第 5 章 Sylow 定理和可解群
Sylow 定理是有限群理论最基本的定理之一，它们给出了 Sylow 子群的存在
性、相互关系和 Sylow 子群的个数，体现了有限群和它的子群之间深刻的联系，揭
示了群的算术性质与结构性质之间的精巧联系.
5.1 群作用
5.1.1 群作用的定义
问题 5.1.1 群作用的定义是？
设 G 是一个群， S 是一个集合，设有一个映射
a:GxS S
满足条件
(1) cr ( e , x ) = x 对任何 x e S 成立；
(2) cr ( gig 2 , x ) = cr ( gi , a ( g 2 , x )) 对任何 a : € S 和仍，仍 € G 成立.
则称 G 在 S 上有一个（左）作用 ( action ).
类似地，还可以定义群的右作用. 一 般地，若没有说明群作用是左作用，还是右
作用的话，群作用都是指左作用.
问题 5.1.2 任何群 G 在任何集合 S 上都一定有群作用吗？
是的.任何群 G 在任何集合 S 上有一个平凡的作用02； = X .
问题 5.1.3 设群 （7 作用在集合 S 上 ，苦 g,h e G ， 对某个 : re 有 gs = hx ，
则一定有 g = h 吗?
不一定.考虑 Z 作用在 Z x Z 上，定义2 . ( M ) = PM ), 则 X • ( 2 /. ( M )) =
x - ( ya ， b ) = ( xya ， b ) = ( xy ) . 6, 故 1 . ( a , 6) = ( a , 6), 因此这是一个群作用.但对于
g = l，y = 2 e Z , 存在 x = (0,1) G Z x Z , 使得 1 • (0,1) = 2 • (0,1)， 并且 1/2.
问题 5.1.4 设群 G 作用在集合 S 上，若 x，y € &则一定存在 geG , 使得
y = gx 吗？
不一定.考虑 Z 作用在 Z x Z 上，定义 ( a , 6) = ( za ,6), 则这是一个群作用.
但对于 a : = (0,1)，2/ = (1， 1) G Z x Z , 不存在 geZ , 使得 p • (0, 1) = (1， 1).
5.1 群作用
. 141 .
5.1.2 群作用的轨道和稳定子群
问题 5.1.5 什么是群作用的轨道和稳定子群？
设群 G 在集合 S 上有一个作用，对于 XG 5,集合
Gx = {gx \g eG }
称为该作用的一条轨道 ( orbit ), 轨道中的元素个数称为该轨道的长度.元素 : T e S
的稳定子群 ( stabilizer ) 定义为
Stab ( x ) = {g ^ G \ gx = x }.
问题 5.1.6 设群 G 作用在群 G 上 ，： r e G 的稳定子群 Stab ( x ) = {g e
G\gx = x ) 一定是 G 的子群吗？ Stab ( x ) 一定是 G 的正规子群吗？
Stab ( x ) 一定是 G 的子群.实际上，由于群 G 作用在群 G 上，故由群作用的
定义，有 ex = x ，故 e e Stab ( x ). 若 g E ： Stab (: r ), 贝 lj 分工 = rc , 故 g~ l x = g ~ l ( gx )=
= ex = x , 因而， 1 G Stab ( x ), 所以， Stab ( x ) 一定是 (7 的子群.
Stab ( x ) 不一定是 G 的正规子群.设群 S 3 在％ 的群作用为共轭作用，则
x = (12) e G 的稳定子群 Stab ( x ) = {(1), (12)}, 但不难验证稳定子群 Stab ( x ) 不是
S 3 的正规子群.
问题 5.1.7 设群 G 作用在群 G 上 ，： r e G 的稳定子群 Stab ( x ) = {g e
G 丨 m = 与 o : 在群 G 的中心有可能一样吗？
有可能.不过一般来说，若群 G 作用在集合 5 ±, J 3 IJ x G 5 的稳定子群 Stab ( x )
是群 G 的一个子群，但 x e S ， 由于 S 只是一个集合，没有定义运算，故 x 在 S 中
无法考虑中心 C { x ).
群 G 在群 G 上的作用是共辄作用， ( g , x ) »—► gxg ~ l , 则 ： r e G 的稳定子群
Stab (: r ) = {g e G \ gxg~ l = : c } 与 x 在群 G 中心 C ( x ) = {a e G\ax = xa } 是一
样的.
5.1.3 轨道的性质
问题 5.1.8 设 若 GxflGy # 0，则 Go : = Gy 吗？
是的 •设仍 x = 则 9 \ l 92y = x . 对任意 g e G , ^ gx = 仍 「 1 ⑽ G Gy . 故
Gx C Gy . 同理 Gy 〔 Gz 也成立，所以 G:r = Gy .
问题 5.1.9 设 S = {1,2,3,4},{(1)，（13)，（13)(25)，（25)}， 则群 G 作用在
S 上时， S 有哪些轨道和稳定子群？
• 142 •
第 5 章 Sylow 定理和可解群
S 的 轨道有 G 1 = {1，3}， G 2 = {2,5} 和 G 4 = {4}.
稳定子群有 Stab ( l ) = {( l )，(25)}， Stab (2) = {(1)， （13)}, Stab (3) = { ⑴，(25)}，
Stab (4) = G , Stab (5) = {(1)}.
问题 5.1.10 什么样的群作用称为是可迁的？
只有一条轨道的群作用称为是可迁的 ( transitive ).
问题 5.1.11 对 称群义 作用在3= {1，2,3,…， n } 上是可迁的吗？
是的.这是由于对任意使得 cr ⑷= 故该群作用只
有一条轨道，所以，对称群 义 作用在 5= {1,2, 3，... ， n } 上是可迁的.
问题 5.1.12 对于 n 彡3,交错群作用在 S = {1,2,3,-.- , n } 上是可迁
的吗？
是的.这是由于 A 包含 3- 轮换 (12 n ), (13 n ), …， （ l(n - l ) n ), ( ln 2), 故对任意
i G 有 a = ( lm ) e A n , 使得 a ( l ) = 因此，该群作用只有一条轨道，所以， A n
作用在 3= {1，2,3, …， n } 上是可迁的.
问题 5.1.13 群 G 作用在 G 上是可迁的吗？
是的. 由于对任意 a，b G G ， 有 g = ab ~ { G G , 使得 a = 如，故该群作用只有一
条轨道，所以， G 作用在 G 上是可迁的.
问题 5.1.14 轨道的元素个数和稳定子群 Stab ( x ) 有什么关系？
设有限群 G 作用在集合 S 上, 0；属于则
|Gx 卜 |stib|x)| Stab(x)] *
5.1.4 有限群的类方程
问题 5.1.15 什么是群作用的代表元全系？
设群 G 作用在集合 S 上，在每个轨道中取一个代表元，它们构成一个集合
D = { ti ， X2 , … ， X n }, 则 S 是轨道 Gx \, Gx 2 , - - - , Gx n 的不相交的并，这样的一个
集合 D 称为代表元全系.
问题 5.1.16 若群 G 作用在有限集合 S 上，则 S 的元素个数与代表元全系
有什么关系？
设群 G 作用在集合 S 上 ，且 S 是有限集， = {^，心，… ,x n } 为代表元全系,
n
i^i = E : Stab(xi)].
则
5.1 群作用
• 143 .
实际上，对于 D = { X !, X 2 ,... , x n }, S 是轨道 Gxi , Gx 2 , -- ,Gx n 的不相交的
n
并， S 的轨道给定了 S 的一个划分，故冏=^ IC ^ I .
Z = 1
由于 = [G : Stab ( xO ]， 故结论成立.
问题 5.1.17 什么是共扼元？
设 a , 6是群 G 的元素，若存在 g e G 使得 a = gbg- Y , 则称 a 和 b 共辄， b 是 a
的共轭元.
问题 5.1.18 若 G 是奇数阶群，则 G 存在 aeG , a ^ e , a 与 a - 1 共扼吗？
不存在.由 Lagrange 定理，由于 | G | 是奇数，故 G 没有2阶元.从而，对于任
意 fl G G ， 都有 fl _ ci 1.
假如存在 a e G，a 与 a- 1 共轭，则有 g G G ， 使得 a - 1 = gag- 1 • 故对于任意
b = hah 一 1 , 有
b - 1 = h~ 1 a~ 1 h = (h~ 1 g)a(h~ 1 g)~ 1 .
因此，若 6 与 a 共扼，则6也一定与 1 共辄.因而与 a 共轭的元的逆元也在同样
的共轭类中，因此，: r 的共轭类有偶数个元，但 z 的共轭类的个数一定要整除 | G |，
这与 G 是奇数阶群矛盾，所以， G 中没有与自己的逆共轭的元.
问题 5.1.19 对称群&中的共扼类如何刻画？
对于任意置换 a G S n ， 容易知道 a —定可以写成不相交的轮换的乘积，若 a
可以写成长度为 k u k 2 h 的轮换的乘积，并且 h 彡 k 2 彡 • • 々 k h 这里心包
括长度为1的不动点，则称 ( A : 1? A : 2 ,... , k t ) 为置换 a 的轮换类型.如在&0中，
a = (1345)(2789), 则 a 的轮换类型为 (4,4,1,1). 在&中 ， t = (123) 的轮换类型为
(3,1,1,1).
S n 中的共轭类是由轮换类型决定的，如果两个置换的轮换类型一样，那么它们
一 定是共轭的.
问题 5.1.20 设 G 是有限群 ， a G G ， 则 a 的共扼的个数一定整除 G 的阶吗?
是的.考虑群 G 在 G 上的共轭作用，则 : c e G 的共轭元全体就是包含: r 的轨
道 G : r , 故由 Lagrange 定理可知 | Gx | = [G : Stab ( x )] = | gtl ^( r )| 1 所以， a 的共扼
的个数 | G : r | —定整除 G 的阶.
问题 5.1.21 有哪些有限群只有两个不同共扼类的？
若 G 是只有两个不同共轭类的有限群，既然是一个共轭类，因此由 G 的
共轭类是 G 的一个划分可知是 G 的另一个共轭类.
.144 -
第 5 章 Sylow 定理和可解群
取分 G G , 沒:^ e , 则
| G \{ e }| =| 包含 P 的共轭类 I
=\ g 在群共轭作用下的 轨道卜 : Stab ⑷].
由 Lagrange 定理可知 [G : Stab (. g )] 整除 | G |, 故 | G \{ e }| 整除 | G |, 因而 | G | — 1 整
除 | G |, 因此， | G | = 2,所以， G 三厶.
问题 5.1.22 D 4 有哪些共扼类？
D 4 的共轭 类有：
{1}, {(13)(24)}, {(14)(23)，(12)(34)}，{(13)， (24)} 和{(1234)， (4321)}.
问题 5.1.23 A 4 有哪些共扼类？
A 4 的共轭 类有：
{⑴}，{(12)(34)，(13)(24)，(23)(14)}，{(123)，(134)，(142)， (243)} 和{(123)，(134)，
(142),(243)}.
问题 5.1.24 若 n 彡3, 则二面体群 Z> n 的共扼类有哪些？
若 n 是奇数，则的共轭 类有：
(1) 单位元 { e }.
(2) (n —1)/2 个两个元的共 轭类： { r ± i } 7 { r ±2} 5 ... ?{ r ±( n - l )/2 }
(3) 所有反射 ： {rb I 0 ^ z < n — 1}.
若 n 是偶数，则的共轭 类有：
(1) 两个 一 个元的共辄类： { e }, { r ^ }.
(2) n /2 - 1 个两个元的共轭类：{^ 1 }, { r 土 2 }， •. • ， { r = t (?- i )}.
(3) 反射有两个共 辗类: [ r 2i s I 0 - l } 和 { r 2i ^ l s | |- l }.
问题 5.1.25 什么是有限群的类方程？
设 G 是一个有限群， C 是 G 的中心，则
n
i=l
这里 C ( xi ) 表示在 G 中的中心化子，: Ti 取遍 G 中至少含有两个元素的共辄类
全体.
5.1.5 p 群的定义
问题 5.1.26 p 群的定义是什么？
5.1 群作用
• 145 •
若有限群 G 的阶等于 p m , 其中^为素数， m 为正整数，则称 G 是一个 p 群.
问题 5.1.27 若 p 是素数，则阶为 p 2 的群 G —定与 Z p 2 或 Z p xZ p 同构吗?
是的.由于 p 2 的群 G —定是交换群，故由有限生成的交换群的基本定理可知
G 一定与 Z p 2 或 Z p x Z p 同构.
问题 5.1.28 若 p 是素数，则 p , p 2 和 p 3 阶群有哪些？
只有唯——个 p 阶群 Z p , 有两个 p 2 阶群，它们是 Z p ® Z p 和 Z p2 . p 3 阶群有
五个，其中三个是交换群 Z p ® Z p ® Z P , Z P ® Z p 2 和 Z p 3 , 非交换 p 3 阶群有两个.
问题 5.1.29 p 群的子群一定是 p 群吗？
P 群的非平凡子群一定是 p 群.
问题 5.1.30 若有限群 G 的真子群都是 p 群，则 G —定是 p 群吗？
是的.否则的话，则一定存在某个素数整除 | G |， 由 Cauchy 定理可知
存在 q 阶子群，矛盾.
问题 5.1.31 设 H 是 p 群 G 的正规子群，则商群 G/H 一定是 p 群吗？
若//是 P 群 G 的非平凡正规子群，则商群 G/H 一定是 P 群.
问题 5.1.32 有限群 G 是 p 群当且仅当 G 中的元素的阶都是 p 的幂吗？
是的.若 | G | = p 7 \ 则对于任意 a € 由 Lagrange 定理可知 a 的阶一定整除
| G |, 因此, a 的阶都是 p 的幂.反过来，若 G 中的元素的阶都是 p 的幂，则一定有某
个正整数 n ， 使得 | G | = p ' 不然的话，一定存在某个素数 g # p , 使得 q 整除 | G |，
从而，由 Cauchy 定理可知一定存在某个 g 阶元素 b e G , 矛盾.
问题 5.1.33 存在无限群 G 中的元素的阶都是 p 的幂吗？
是的. PHifer 群 G 是无限群，并且 (7 中的元素的阶都是 p 的幂.
问题 5.1.34 若 p 是素数 . G 是无限交换群，任意 a e G , a 的阶都是 p 的幂，
则对于每个 n > LG 都有阶为 p ” 的子群或者存在某个正整数 m ， 使得 G 的每个
有限子群的阶都小于等于 p m 吗？
是的.假如存在某个 n > 1， G 没有 p n 阶的子群，记 m 为使得 G 没有阶为
P m +1 的最小正整数.则 G —定没有阶大于的有限子群.否则的话，设//是 G
中阶大于 p m 的有限子群，则必有某个正整数 A : 〉 m ， 使得|//| = 沪. 由于//是交
换群，故// 一定有阶为 产 1 的子群，但这与 m 是最小的整数矛盾.所以，对于每
个 n > 1, G 都有阶为 〆 1 的子群或者存在某个正整数 m , 使得 G 的每个有限子群
的阶都小于等于 p m .
问题 5.1.35 任意 p 群的中心一定含有不止一个元素吗?
.146 -
第 5 章 Sylow 定理和可解群
是的.由于 G 的阶等于 p m ， : C { xi )} 都是的因子，由群的类方程
n
1^1 = | C | + 5 Z [ G ： C ( xi )}
可知， | G | 和 L [G : G ( xi )] 都能被 P 整除.如果该群中心 C 只含有一个元素，则
i=l
n
\ C \ - h ^][ G ： G ( xi )} 将不能被 p 整除，但这与 | G | 被 p 整除矛盾，所以中心 C 不止
i=l
含有一个元素.
问题 5.1.36 任意 p 群 G 的中心 (7 —定是一个 p 群吗？
是的.由于中心 C 不止含有一个元素，故 | C 7| # 1,因此，由 | C | 整除 | G | 可知
C 7 —定是 P 群.
问题 5.1.37 设 G 是有限群，若 G 的中心是 p 群，则 G —定是 p 群吗？
不一定.考虑对称群 S 3 与2阶循环群 Z 2 的直积 S 3 x Z 2 , 它是一个12阶的
群.由于 S 3 的中心是 { e }， Z 2 的中心是 Z 2 , 故& x Z 2 的中心(^(为 x Z 2 ) 与 Z 2
同构，因此它的阶为2,因而 C ( S 3 x Z 2 ) 是一个 p 群，但为 x 是12阶群，不是
P 群.
问题 5.1.38 设 p 是素数，群 G 的阶为 p 2 , 则 G 的 p 阶正规子群都一定包
含在 G 的中心 Z ( G ) 吗？
是的.设//是 G 的 p 阶正规子群，则由 Lagrange 定理容易证明 i / 是循环群，
若 g 为 H 的一个生成元，则 H =< g >. 对于任意 : r e G ， 由于//是 G 的正规子
群，故 xgx~ l = g k 对某个0 < /c < p 成立.因此， xg f x~ x = g tk 对所有整数 f 都
成立. 因而， x 2 gx ~ 2 = x ( xgx ~ 1 ) x~ l = xg ^- 1 = ( g k ) k = 由 Lagrange 定理可
知 : rlQ = rr p2 = e , 因此 ， 夕 = ege ~ 1 = x p 2 g ( x p2 )~ 1 = g kV . 因为夕的阶为 p , 因此，
1 = k p2 (mod p ). 由 Fermat 小定理可知
k = k p = k p2 = 1 (mod p).
由于 0 < A : < p , 因此， A : = 1，故邱 = 糾，因而， x 与 g 的幂都是交换的，故 x 与//
中的所有元都是可以交换的，由于: r 是 G 中的任意元，所以， G 的中心 Z ( G ) 一定
包含 //.
问题 5.1.39 设 p 是素数， G 是有限的 p 群，若//是 G 的真子群，则丑的
正规化子群 N ( H ) 一定严格大于//吗？
是的.设 | G | =圹，用归纳法来证明.当 n = 1时 ， G —定是循环群，故 G 的
真子群只有// = { e }, 因此， N ( H ) = G , 结论成立.当 n > 1时，假设结论对于小
5.1 群作用
. 147 .
于等于 n - 1都成立，下面证明结论对于 n 成立.假如 7 V (//) = //,则 G 的中心
Z ( G ) C 故在 G 7 Z ( G ) 中，有 N { H / Z { G )) = N ( H )/ Z ( G ) = H / Z { G ). 另外，由于
Z [ G ) ^ { e }, 并且是 G 的正规子群，故商群 G / Z ( G ) 是阶比 | G | 小的 p 群.
由归纳假设可知 N ( H / Z { G )) 严格大于 H / Z { G ), 矛盾.所以， N { H ) 严格大于
问题 5.1.40 若 p 是素数，则 p 2 阶群一定是 Abel 群吗？
是的.反证法.假设 G 是非交换群，并且 | G | = P 2 , 则由前面定理可知 G 的中
心一定含有不止一个元素，根据 Lagrange 定理可知 C 为 p 阶群.由于中心 （7 —
定是正规子群，故商群 G / C 有定义，并且它的阶为素数 p ， 从而 G / C 是循环群.若
W 是 G / C 的生成元，则 G 的全体为 { a ^| aGC ,0 ^ z < p }, 明显地， G 中的元都
是可交换的，但这与 G 是非交换群矛盾，所以由反证法原理可知 p 2 阶群 G —定是
Abel 群.
问题 5.1.41 苦 p 是素数，则 p 2 阶的群一定是交换群，问 p 3 阶的群也一定
是交换群吗？
不一定.多面体群 D 4 是2 3 阶群，但 D 4 不是交换群.
问题 5.1.42 设 H 是有限 p 群 G 的真子群，则//是 G 的极大子群的充要
条件是 H 在 G 中的指数 [G : 吗？每个这样的子群都一定是 G 的正规子
群吗？
若 H 在 G 中的指数 [ G ： H }= p , 则容易知道包含//的更大的子群在 G 中的
指数一定整除 P ， 因此,// 一定是 G 的极大子群.反过来， 若 H 是 G 的极大子群，则
H 是 H 在 G 的正规化子 N g ( H ) 的真子群，故由//是极大子群可知 N g ( H ) = G .
所以，//是 G 的正规子群.
考虑商群 G / H , 设 /( 是 G/H 的非平凡真子群，由群的同构定理可知 K 在 G
的原像一定是真包含//的子群，但//是极大子群，矛盾.故 G / H 没有任何真的非
平凡子群，所以， | G / H \ = [G : H ] = p .
问题 5.1.43 设 TV 是有限群 G 的正规子群，若 7 V 和 G / N 都是 p 群，则 G
一定是 P 群吗？
是的. 设 x e G ， 由于 G / N 是 p 群，因此存在某个正整数 A : 使得 o ( xN )= p k .
故 ( xN ) P k = xP k N = N .故 xf e N . 由 TV 是 p 群可知 TV 中的每个元的阶都是 p
的幂.故 o ( x pk ) = BP = xp k ^~ j = e . 因此 : r 的阶 o ( x ) 整除 p k ~^ j , 故存在
某个正整数 i 使得 o ( x )= 〆 . 既然 x 是任意的， G 中任意元的阶都是 p 的幂，所以，
G 是 p 群.
问题 5.1.44 设 p 是素数，则 p 群 G —定不是单群吗？
是的•若 | G | =，，则 G 的中心 C 一定是 p 群，含有不止一个元.由于中心 C
.148 •
第 5 章 Sylow 定理和可解群
是 G 的正规子群，故 G —定不是单群.
5.2 Sylow 定理
5.2.1 p-Sylow 子群的定义
问题 5.2.1 p - Sylow 子群的定义是什么？
设 G 是一个有限群, p 是一个素数，若 pi | G |， 并且 p - +1 不能整除 | G |, 则 G
的 p m 阶子群称为 G 的 p - Sylow 子群.
问题 5.2.2 对称群而和*^ 4 有哪些 2- Sylow 子群和 3- Sylow 子群？
$ 3 有3个 2- Sylow 子群和1个 3- Sylow 子群，3个 2- Sylow 子群分别由 {(12)},
{(13)} 或 {(23)} 生成. 3 -Sylow 子群由 {(123)} 生成.
A 有3个 2- Sylow 子群和4个 3- Sylow 子群, 3个 2- Sylow 子群分别由 {(1234),
(12)(34)}, {(1234), (12)(43)}，{(1324)， (13)(24)} 生成 •
4 个 3 -Sylow 子群分别由 {(123)}, {(124)}, {(134)}, {(234)} 生成.
问题 5.2.3 交错群儿 4 的 Sylow 子群有哪些？
由于 | 山| = 12 = 2 2 . 3 ，故儿 4 有 2- Sylow 子群和 3- Sylow 子群.
容易知道 A = {(1)，(12)(34)，(13)(24)， (14)(23)} 是儿 i 的 2 -Sylow 子群，由于
K 4 是对称群 S 4 的正规子群，因此，对称群的正规子群，因而， K 4 是乂 4 唯一
的 2- Sylow 子群.
另外，儿 4 的所有3-轮换生成的循环群都是 山的 3- Sylow 子群，有< (123) >,
< (124) >,< (134) 〉, < (234) > 一共4个.
问题 5.2.4 设 G 是有限群， // 是 G 的俨 Sylow 子群， N 良 G 的正规子群，则
Hf]N 一定是 TV 的正规子群吗？
是的.明显地，的阶一定是 p 的幂，因此，只需证明 Hf ] N 在 TV 中的
指数不能被 p 整除即可.由于 [N : - [ i / W : //] 和 [ G : H ] = [ G : HN}[HN :
//]，// 是 G 的 j ^ Sylow 子群意味着 p 不能整除 [G :別 ，故由 [G :研 = [G :
HN ][ HN : H ] 可知 p 不能整除 [HN : H ], 因而由 [7 V : i / f |7 V ] =[仍 V :好]可知 P
不能整除 [7 V : HCiN ], 所以， Hf]N 一定是 N 的正规子群.
问题 5.2.5 设 G 是有限群， H IG 的 p-Sylow 子群， N G ( H ) A H 在 G 的
正规化子群 ，则 丑是 N g ( H ) 唯一的 俨 Sylow 子群吗？
是的.明显地，//是 的 p - Sylow 子群.假设 K 是 Ng { H ) 的另一^
p - Sylow 子群，则由 Sylow 定理可知， K 与 H 是共辄的，因此，存在 a e N G ( H )， 使
5.2 Sylow 定理
.149 .
得 IC = aHa - 1 • 由于 Ng ( H ) = {^ G G | gH — //々}， 故 aHa~ l = 因此 ， K = H ,
所以， // 是心(丹）唯一的 p - Sylow 子群 •
问题 5.2.6 设 G 是有限群 . p 是素数 ， P AG 的 俨 Sylow 子群，若/是 G 到
群丑的满同态，则 /( P ) 一定是//的 p-Sylow 子群吗？
是的.设 | G | = p a m ， p 不整除 m ， 则对于= Ker (/)， 有 | K | = p b n ， p 不整
除 n . 既然 K 是 G 的子群，因此， | K | 一 定整除 | G |, 故6彡 a 并且 n 整除 m . 由
群的同构定理可知//与 G / K 同构，故|7/| = p - b ~. 同样由群的同构定理可知
n
f ( P ) 与 P /( Pf ]^) 同构，既然是 K 的 p-Sylow 子群，因此存在 c 彡 6, 使
得 | 尸门尺| = p c ，故 |/(尸)| = p a ~ c . 另外， p a _ b = |/(P)| - \ H \, 故 a — c < a - 6, 因而
c 彡 6, 所以， c = 6 并且 |/(P)| = ，即 f ( P ) 是 i/ 的 p-Sylow 子群.
问题 5.2.7 给出 p - Sylow 子群都是循环群的有限单群的刻画.
这是 M . V . D . Mazurov 提出的问题.该问题己经被 Aschbacher 解决了，参
见 ： Aschbacher M . Thin finite simple groups . J . Algebra , 1978, 54: 50-152.
问题 5.2.8 每个有限单群都一定有交换的 Sylow 子群吗？
这是 L . I . Shidov 提出的公开问题.
问题 5.2.9 什么是 Cauchy 引理？
设 G 是一个有限 Abel 群， p 是素数，若 p 整除 | G |, 则 G 有一个阶为 p 的
元素.
问题 5.2.10 Cauchy 引理对于非交换的有限群 G 也是成立的吗？
是的.即设 G 是一个有限群，: p 是素数，若 p 整除 | G |, 则 G 有一个阶为 p 的
元素.
5.2.2 Sylow 定理
问题 5.2.11 什么是 Sylow 第一定理？
设 G 是一个有限群， P 是一个素数，若沪整除 | G |, 则 G 有一个阶为沪的
子群.
问题 5.2.12 什么是 Sylow 第二定理？
Sylow 第二定理 设 G 是有限群， p 为素数，则 G 的任意两个 fSylow 子群
都共扼.
问题 5.2.13 什么是 Sylow 第三定理？
Sylow 第三定理 设 G 是一个 p n m 阶的有限群 （ p 和 rn 互素， n 彡 1), 则 G
的 p - Sylow 子群的个数为 kp -\- 1, / c 彡0,并且 kp + 1 整除 m .
• 150 -
第 5 章 Sylow 定理和可解群
问题 5.2.14 有限群 G 只有唯一的 p-Sylow 子群的充要条件为群 G 有一个
p-Sylow 正规子群吗？
是的.容易验证.
问题 5.2.15 设有限群 | G | = pq , p 和 q 是不相同的素数，并且 g 关于 p 的模
不等于1，则 G —定有一个正规的 p-Sylow 子群吗？
是的.若 G 的 p - Sylow 子群的个数为 / c , 贝 lj A : 三1 mod p . 由于 A : 整除 | G | = pg ,
因此， A ： 只能是 l ， p ， q 或者 w , 但由于 g 关于 p 的模不等于1,故 A : = 1,即 G 的
p - Sylow 子群唯 一 的，所以， G 的 p - Sylow 子群是正规的.
问题 5.2.16 设 G 是有限群， HAG 的正规子群， p 是一个素数， S 是 G 的
p-Sylow 子群，则// P | 5 一定是//的 p-Sylow 子群？
是的 . 容易知道存在 geG 使得办一 1 是丹的 p-Sylow 子群 . 由于//是
G 的正规子群 ， WiH = gH g -\ 因此， // 门於分 -1 = 分 ( 丑门 5) 分 — 1 与 HflS 同构，所
以 ， H H $ 是丑的 P-Sylow 子群 .
问题 5.2.17 设 G 是有限群，//是 G 的子群， p 是一个素数 ， S A G 的
p-Sylow 子群，则 Hf)S 一定是 i / 的 p-Sylow 子群吗？
当//不是 G 的正规子群时，结论不一定成立.设 G = &,//=< (12) >,5 =
< (13) 〉.则 S 是 G 的 2- Sylow 子群，//是//的 2- Sylow 子群，但//门3 = { e } 不
是丑的 2- Sylow 子群.
问题 5.2.18 设 G 是有限群， p 是一个素数，//是 G 的 俨 Sylow 子群， N G ( H )
AH 的正规化子群，则 [ iV G ( i /) : H } = [ G : H ] (mod p ) 吗？
是的.设 X 是//在 G 的左陪集全体，//用左变换作用在 X 上，故 h ( xH ) =
( hx ) H , 则//是 X 上的群作用，并且 | X | = [G : 付].记 X // 为在 H 作用下不变
的所有左陪集，则对于任意 xi / G X H , 有 xH = h ( xH ), 这当且仅当 x~ l hx G H ,
故 r // = h ( xH ) 对所有 he H 成立当且仅当 x~ l hx = x - l h { x ~ 1 )- 1 G H 对所有
he H 成立，从而当且仅当: r - 1 e N g { H ), 因此，当且仅当 x e 故 X H 中的
元素个数就是 \ N g { H ) : //], 所以， \ X H \ = [ N g ( H ) : H }. 既然//是 p - Sylow 子群.
H 的阶是 p 的幂，故 | X | 三 \ X H \ (mod p ), 所以， [ G : H } = [ N G { H ) : H ] (mod p ).
问题 5.2.19 设 G 是有限群 • p 是一个素数 ， H AG 的 p - Sylow 子群， N G ( H )
是 // 的正规化子群，若 p 整除 [G : 则 N G [ H ) 羊 H 吗1
是的.由于 [ N G ⑻: H ] = [ G : H ] (mod p ), 故若 p 整除 [G : //]，则 p —定整
除 [ N g { H ) : H ], 因而 [ N g { H ) : //] > 1,所以， N g ( H ) / H .
问题 5.2.20 设 G 是有限群， p 是一个素数 ， K AG 的 p-Sylow 子群， H 是
5.2 Sylow 定理
• 151 •
G 的一个正规化子群，若 p 不整除 [G :丑]，则尺 G //吗？
是的.设 | G | = p n m , 并且 p 不整除 m , 由于 | G | = |//|[G : H ], 故圹整
除|//|，因此，//的 p - Sylow 子群也是 G 的一个 p - Sylow 子群，因而，与
K 是共轭的，从而存在 a e G , 使得 aK f a~ l = K . 由 K 是 G 的正规子群可知,
K = aK ' a - 1 C aHa~ l = H , 所以 ， K C H .
5.2.3 Sylow 定理的应用
问题 5.2.21 若 p 和 g 是不同的素数，则有限群 G 的 p - Sylow 子群和 g-Sylow
子群有不是单位元的相同元素吗？
没有.如果 a 是 G 的 p-Sylow 子群和 g-Sylow 子群的共同元素，那么 a 的阶
一 定整除 p 和因此 a — 定是单位元.
问题 5.2.22 若 p 是某个固定的素数， 群 G 的 p - Sylow 子群的阶是 p 阶的，
则 G 的任意两个不同的严 Sylow 子群 H p 和 K p , 都有= { e } 吗？
是的. 一般来说， G 的任意两个不同的 p - Sylow 子群 // p 和 K p , 不一■定有
= { e }. 当|叫= p ,\ K p \ = P 时，容易知道 // p 和是循环群，故
存在 a ，6 € G ， 使得 =< a >, K P =< b >, 假如 H p f ] K p / { e }, 则存在正
整数 1彡 m,n < p , 使得 = b n . 由于 m 与 p 互素，故存在整数 M ， 使得
sm-^tp = 1,因此 ， a = a sm+tp = a srn a tp = ( a m ) s ( a p ) f = ( b n ) s = b sn . 因而，
H p =<a > Q < b >= K p , 由它们的阶相等可知 // p = K p ， 但这与 // p 和/^是不同
的子群矛盾.所以， H p f ] K p = { e }.
问题 5.2.23 若 p 是素数，则有限群 G 不同的 p - Sylow 子群的交集只含单位
元吗？
不一 定. 如在 S 4 中，由于|&| = 24 = 2 3 • 3,则有
H = { ⑴， (12)(34), (13)(24)，(14)(23)，(12)， (34), (1423)，(1324)}，
K = { ⑴，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)，(13)，(24)，(1432)， (1234)}
都是 2 -Sylow 子群，但它们的交集为
= { ⑴，(12)(34)，(13)(24)， (14)(23)}.
问题 5.2.24 设 （7 是有限群， i / p 是 （7 的一个 p ~ Sylow 子群，则有可能存在
阶为 p 的幂的元 a e G,a ^ H p , 使得 a - 吗？
不可能•若 a ~ l H p a = H p , 则容易知道 a 在 H p 的正规化子群 N G ( H P )
故生成的循环群< a// p N G ( H p )/ H p •由 a 的阶为 p , 的幂可知 a %
.152 .
第 5 章 Sylow 定理和可解群
的阶也是 p 的幂.由群的同构定理可知存在 N g ( H p ) 中包含 a 的子群//，使得
H / H p =< aH p >,因此由 | i /| = | i / p | • I < ai/ p > I 可知 i / 的阶也是 p 的幂，并且
\ H \ ^ \ H P \. 既然是 G 的 p - Sylow 子群，因此，的阶为这里 A : 是使得
能整除 | G | 的最高幂，因而， H = H P 、槪 H / H p 只有一个单位元，因此，由 a e 好可
知 aH p = // p , 所以 ， a 6 // p .
问题 5.2.25 12 阶群 G 是不是单群？
不是.由于 | G | = 12 = 2 2 • 3,由 Sylow 第三定理可知 G 有1个或者4个
3- Sylow 子群.若 (7 只有1个 3- Sylow 子群，则它就是 G 的正规子群，因此， G 不是
单群.若 G 有4个 3- Sylow 子群，则 G 包含8个3阶元，因此，剩下的4个构成 G
的正规 2- Sylow 子群，所以， G 不是单群.
问题 5.2.26 28 阶群 G 是不是单群？
不是. 由于 | G | = 28 = 2 2 . 7,由 Sylow 第三定理可知 G 有1个 7- Sylow 子群，
故它就是 G 的正规子群，所以， G 不是单群.
问题 5.2.27 30阶群 G 是不是单群？
不是.由于30 = 2 • 3 • 5,故 G 有 5- Sylow 子群，并且 5- Sylow 子群的个数
为 5 A :+ 1,并且整除6,因此， A : = 0或 1. 同样可知 G 有 3- Sylow 子群，并且 3 -Sylow
子群的个数 N 3 为 3 k + l ， 并且整除10,故 A : = 0或 3. 若 G 有6个不同 5 -Sylow
子群和10个不同的 3- Sylow 子群，则任意2个不同 5- Sylow 子群的交只能包含1
个元素 { e }, 这是由于2个不同 5- Sylow 子群的交中的元素的阶一定整除5,因此
只能是1.故6个不同 5- Sylow 子群一定有24个不同的非单位元.同理可知10个
不同的 3- Sylow 子群一定有20个不同的非单位元.因此 G —共有24个5阶元素
和20个2阶元素，但这与 G 的阶为30矛盾，因此， G 只有唯——个 5- Sylow 子群,
或者只有唯 •个 3- Sylow 子群，从而 ， G —定有正规子群，所以， G 不是单群.
问题 5.2.28 若有限群 G 的阶为 35, 则 G —定是循环群吗？
是的.由于 35 二 5 • 7, 故 G 有 5-Sylow 子群和 7-Sylow 子群.若用//和 K 分
别记 G 的 5-Sylow 子群和 7-Sylow 子群，则|//| = 5, 叫= 7, 因此//和都是循
环群.由于 5-Sylow 子群的个数被 5 除余数为 1, 故 5-Sylow 子群只有 1 个.同样可
知 7-Sylow 子群也只有 1 个.因而它们都是 G 的正规子群.又由于 Hf]K = {e},
故对任意 /i e G 有 "A: = 设 // = 〈 a〉,K = 〈 6 〉， 贝 d HK = ( ab ), 容易知
道 o ( ab ) = 35, 所以 G = 〈 a6 〉 是循环群.
问题 5.2.29 36 阶群 G 是不是单群
不是.由于36 = 2 2 - 3 2 ,故 （7 有 3- Sylow 子群，并且 3- Sylow 子群的个数 7V3
为 3 A : + 1,并且整除4,因此， A : = 0或1.若= 0,则 G 只有唯一的 3- Sylow 子群，
5.2 Sylow 定理
.153 •
故结论成立.
若 A ： = 1，则 G 有4个9阶的 3 -Sylow 子群 B \, 出,也 和凡 i . 由于好 i 门迅
的阶一定整除9,故如果 H x ^ H 2 的阶为1,则 历丑 2 的阶为9乘9除以1,这与 G
的阶为36矛盾，因此， H ^ H 2 的阶一定是3或9,故历门// 2 是历和好 2 的正规
子群.由于 [G : HC \ K ] = 36/3 = 12或 [G : Hf ] K ] = 36/9 = 4,并且对于 Hf]K
的正规化子群有 [ iV ( i / n ^) :付 f | K ] 关于3与 [G : H ^ K ] 同模，故
[ N(H f ] K ) : Hf ] K ] 一定大于1，因此，坧 f | 丑2的正规化子群 N ( Hf ] K ) 的阶一
定是9的倍数，并且整除 G 的阶36,因而， H ,^ H 2 的正规化子群一定是18或者
36. 如果的正规化子群#(//门夂）是18,那么 [G : N ( H ^ K )\ = 2 ,因
此，是 G 的正规子群.如果 H x ^ H 2 的正规化子群 7 V (// nK ) 是洲，那
么好 i n 好2是 g 的正规子群，所以， g 不是单群.
问题 5.2.30 45 阶群 G 是不是单群？
不是.由于45 = 3 2 . 5,故 3- Sylow 子群有1 + 3/ c 个，并且1 + 3/ c 整除5,因此
k = Q , 因而， 3- Sylow 子群一定是正规的，所以， G 不是单群.
问题 5.2.31 48 阶群 G 是不是单群？
不是.由于48 = 2 4 . 3,故 G 有 2- Sylow 子群，并且 2- Sylow 子群的个数 N2 为
2 k + 1,并且整除3，因此， A : = 0或 1. 若 /c = 0,则 G 只有唯一的 2- Sylow 子群，故
结论成立.
若 /c = 1，则 G 有3个16阶的 2- Sylow 子群和// 3 .由于坧门// 2 的
阶一定整除16,故如果 H l f ] H 2 的阶为2或者4,则 H l H 2 的阶为16乘16除以
2或者4,这与 G 的阶为48矛盾，因此， H l C \ H 2 的阶一定是8,由此可知 H x f | H 2
是历和// 2 的正规子群.由于 [G :此 f | 好2] = 48/8 = 6,并且对于仏 A // 2 的正
规化子群〜(的门好2)，有 : H l fl H 2 ] 关于 2 与 [G : H x fl H 2 ] 同模，
故大于1，因此，坧 f | 好2的正规化子群的阶
一定是16的倍数，并且整除 G 的阶48,因而， H x ^ H 2 的正规化子群一定是48,所
以，是 G 的正规子群，即 G 不是单群.
问题 5.2.32 56 阶群 G 是不是单群？
不是.由于 T - Sylow 子群有1 + 7/ c 个，并且1 + 7 A : 整除8,故 /c = 0或者 k = 1.
如果 /c = 0,则 7- Sylow 子群一定是正规的，从而 G 不是单群.
若 A : = 1，则 G 有8个 7- Sylow 子群，由于7阶是循环群，故任意两个不同
7- Sylow 子群的交为单位元，因此7阶元共6 x 8 = 48个非单位元，56 - 48 = 8.
但 G 含有 2- Sylow 子群，其阶为2 3 = 8. 因此剩下的8个元构成 G 的唯一的一个
2- Sylow 子群，由此可知， G 有一个正规的 2- Sylow 子群，所以 G 不是单群.
.154 .
第 5 章 Sylow 定理和可解群
问题 5.2.33 88 阶群 G 是单群吗？
由于88 = 2 3 . 11，故 G 的 11- Sylow 子群的个数 A / n 整除8,并且 nn 三
1 (mod 11), 因此 ， nn = 1,因而 11- Sylow 子群 i / n 是 G 的正规子群，所以， G 不
是单群.
问题 5.2.34 96阶群 G 是不是单群？
不是.由于96 = 25 . 3,故 G 有 2- Sylow 子群，并且 2- Sylow 子群的个数 iV 2 为
2 k + 1, 并且整除3,因此， A ; = 0或 1. 若 A : = 0,则 G 只有唯 一 的 2- Sylow 子群，故
结论成立.
若 A = 1,则 G 有3个3 2 阶的 2 -Sylow 子群的,丑 2 和 i / 3 . 由于历门好 2 的阶
一定整除32,故如果 H l ^\ H 2 的阶为2, 4或者16,则 H x H 2 的阶为32乘32除以
2或者 4 , 这与 g 的阶为％矛盾，因此，历 n 汉2的阶一定是 I 6 ,由此可知拓 n 丹2
是 和/ / 2 的正规子群.由于 [G :拓 n 付 2] = 96/16 = 6,并且对于 Hf]K 的正
规化子群〜(历门历)，有 [ w (坧 n 迅 ）： n h 2 \ 关于 2 与 [g : h , n h 2 \ 同模，
故 [ N ( H 1 nH 2 )： H l r \ H 2 } 大于 1 ，因此，历 n 付 2 的正规化子群# (历 门好 2 )的阶
一定是 32 的倍数，并且整除 G 的阶96,因而，的正规化子群一定是48,所
以， n 好2是 g 的正规子群，即 g 不是单群.
问题 5.2.35 160阶群 G 是不是单群？
不是. 由于160 = 2 5 • 5,故由 Sylow 定理可知 2- Sylow 子群的个数爪为1或
者 5 . 若 7 V 2 = 1,则 G 有唯 一 '的 2- Sylow 子群，因而， G 有正规子群.
若 iV 2 = 5,记 H u H 2 r ^ ，// 5 为 G 的 2- Sylow 子群.对某些满足1 < i < j •彡5
的 i ， j ， 设 N = 执门构.由 Lagrange 定理， |7 V | —定是|风卜32的因子.既然
160 = \G\ ^ \HiHj\ = 四 . I 巧 I =逆1
11 Jl |7 V | \N\
那么 | iV | 是8或者 16.
下面分开两种情形来 讨论：
情 形一. 假设对某两个满足1 < i j •彡5的 i , j , 有 |7 V | = |戌 门巧 I = 16•不
撇 i = 1 ,j = 2, 则由于[坧： TV ] = 2,故 TV 是历的正规子群，因此历 g N g ( N ).
类似地，可以证明好 2 g N g ( N ), 并且
160彡 \N g (N)\ ^ \H x H 2 \ = ⑼匕 1 严 1 = ^ = 128.
1\ | O
由于 N G [ N ) 是 G 的子群，故 | iV G ( A 0| — 定整除 | G | = 160,因此 N g ( N ) = 160,
从而 G = N g ( N ). 因而 TV 是 G 的正规子群，所以， G 不是单群.
5.2 Sylow 定理
.155 -
情形二.假设对某两个满足1彡 i J •彡5的 j ， 有 |7 V | = = 8•由
Sylow 定理，存在 2- Sylow 子群 Ki 和 K2 , 使得 N 是 的子群， Ki 是 // i 的子群
和 7 V 是心的子群 ， K 2 是/ / 2 的子群， 并且叫| = | K 2 | = 16. 因此，叫 :N]=2,
TV 是^ 的正规子群，故 /A g N G (N). 类似地，有 g N G (N). 由于
160 彡 \N a {N)\ ^ \KiK 2 \ - = -^- = 32 -
故 | M ?( A 0 l 整除160,并且是16的倍数，因此， |7 V g (7 V )| 是32或者 160.
若 |7 V g (7 V )| = 160,则 N G ( N ) = G ， 因此 ， AT 是 G 的正规子群.假如 | iV G ( AT )| =
32,则它是 G 的一个 2- Sylow 子群，不妨假设它就是// 3 .既然是// 3 的子群，
因此[// 3 :仏]= 2,故心是// 3 的正规子群，因而，// 3 [ N G ⑽. 类似地.有
H x < ZN g { K x ).
160 彡 | A ^ g (/ Ci )| ^ |坧// 3 | = ②门^ = ^ = 128.
既然 |7 V g ( Ki)I 整除 | G | = 160,因此， | iV G ( Xi )| = 160,故 G = 7 V G ⑹，因而，
是 G 的正规子群，所以， G 不是单群.
问题 5.2.36 若 G 是105阶的群，则 G 是单群吗？
不是.由于105 = 3 • 5 • 7,故 G 的 3- Sylow 子群的个数 n 3 = 1或7, G 的
5- Sylow 子群的个数 n 5 = 1或21， (7 的 7- Sylow 子群的个数 ri7 = 1或15,下面证
明 n 3 = 7， n 5 = 21和 n 7 = 15同时成立是不可能的，从而 G ? 有唯一的某个 Sylow
子群，因此，它是正规子群，故 G 不是单群.假如 n 3 = 7, n 5 = 21和 n 7 = 15同时
成立，由于每个 3- Sylow 子群的阶是3,并且任意两个 3- Sylow 子群的交集是 { e },
因此，每个 3- Sylow 子群有2个3阶元，并且不属于其他的 3- Sylow 子群，故 G 包
含14个不同的3阶元.类似地,每个 5- Sylow 子群有4个5阶元，并且不属于其他
的 5- Sylow 子群，故 G 包含84个不同的5阶元.最后，每个 7- Sylow 子群有6个
7阶元，并且不属于其他的 7- Sylow 子群，故 G 包含90个不同的7阶元.因此 ， G
有14 + 84 + 90个元，但这与 | G | = 105矛盾，因而 ， G —定有唯一的正规 Sylow 子
群，所以， G 不是单群.
问题 5.2.37 若 G 是 168 阶的单群，则 G 中有 多少个 7 阶的元？
由于168 = 2 3 • 3 • 7,故由 Sylow 定理可知 7- Sylow 子群的个数 n 7 — 定整除
2 3 -3,并且 n 7 三1 (mod 7), 因此， n 7 = 1或 8 . 由于 G 是单群，故 n 7 寺1，因此，
n 7 = 8,所以 G — 定包含6 • 7 = 48个不同的7阶元.
问题 5.2.38 196 阶群 G 是不是单群？
.156 .
第 5 章 Sylow 定理和可解群
不是.由于196 = 2 2 . 7 2 ,故 7- Sylow 子群有1 + 7/ c 个，并且1 + 7/ c 整除4,故
k = 0, 因此， (7 的 7- Sylow 子群一 * 定是正规的，所以， G 不是单群.
问题 5.2.39 200 阶群 G 是不是单群？
不是.由于200 = 2 3 . 5 2 ,故 5- Sylow 子群有1 + 5 A : 个，并且1 + 5/ c 整除8,故
A : = 0,因此， G 的 5- Sylow 子群一定是正规的，所以， G 不是单群.
问题 5.2.40 255阶群 G 是不是单群？
不是.由于255 = 3 . 5 . 17,故1 7- Sylow 子群有1 + 17 A : 个，并且1 + 17 A : 整除
15,因此，= 0,故1 7- Sylow 子群一定是正规的，所以， G 不是单群.
问题 5.2.41 255阶群 G —定是循环群吗？
是的.既然255 = 3 • 5 • 17,明显地，只需证明 G 是交换群，则由有限生成的交
换群的基本定理可知 G 是循环群.
(1) 由 Sylow 定理可知， G 有1 7- Sylow 子群，个数 Ar 17 = 17 /c + 1,并且爪 7 整
除15,因此， iV 17 = 1,故 G 只有唯一的1 7- Sylow 子群//，故 G / H 的阶为15,不难
验证15阶群都是交换群，因而， G / H 是交换群.
(2) G 的换位子群 C 是所有 aba ~ l b ~\ a , beG 生成的子群，由于 G / H 是交换
群当且仅当//包含 G 的换位子群因此，// 一定包含 G 的换位子群 (7. 由拉格
朗日定理可知 C * 的阶一定是1或 17.
(3) 由 Sylow 定理可知 G 有1个或者85个3阶 3- Sylow 子群，还有1个或者
51个5阶的 5- Sylow 子群.但85个3阶 3- Sylow 子群有170个不同的3阶元素，
而51个5阶 5- Sylow 子群有204个不同的5阶元素，这样 G 就会有375个不同
元素， 这与 G 的阶为255矛盾，因此， G 只有唯一的3阶 3- Sylow 子群或者只有唯
一的5阶 5- Sylow 子群，因而， G 有3阶正规子群或者5阶正规子群.
(4) 记 G 的3阶正规子群或者5阶正规子群为 K ， 则 G / K 的阶为5 • 17或者
3 • 17,故 G/K 一定是交换群.故 K 一定包含 G 的换位子群
(5) 由于 K 的阶是3或者5,故 G 的换位子群 C 的阶只能是3, 5或者1，又
由于 C 的阶只能是1或者17,因而， C 的阶一定是1，故 (7 = { e }.
(6) 由 C = { e } 可知 G / C ^ G 是交 换群.
所以， G —定是循环群.
问题 5.2.42 设 G 是231阶群，则 G 的唯一 11- Sylow 子群 // n —定在 G 的
中心内？
由于231 = 3 • 7 • 11，故由 Sylow 定理不难证明 G 有唯一的 11- Sylow 子群
H n 和唯一的 7- Sylow 子群// 7 ,因而，// 7 和都是 G 的正规子群.故 H 7 H n
和 H n H 7 都是 G 的子群.既然 H 7 是 G 的正规子群，因此，// 7 是 H u H 7 的正规
5.2 Sylow 定理
.157 -
子群.
设 i / 3 是 G 的 3- Sylow 子群，则由 H 7 良 G 的正规子群可知 H n H : i 是 G 的
子群，并且// 3 是 H u H 3 的子群.
既然 HnH 3 中的 3- Sylow 子群的个数 n . 3 整除 l ^ n^l = = "~7~ =
^11 I I ^3 1
11.3,并且 n 3 三1 (mod 3), 故= 0,因此，/^ 3 是 H U H 3 的正规子群 •
由 Lagrange 定理可证 H 7 C [ H U = { e }，// u 门丹 3 = { e }， 既然丑 n 和// 7 都是
循环群，故 i / n 付 7 和 H n Hs 都是交换群.
考虑集合 H n H 7 H 3 , 类似上面的讨论，不难验证 \ H n H 7 H 3 \ = \ G \, 因此 ， G =
H n H 7 H ：,. 由于 // u // 7 和 H 7 H 3 都是交换群，并且 H u , I / 7 和 H 3 都是循环群，故
任意 a G // n 都与 H 1 U H 7 , H 3 中的元素可以交换，所以 ， // u —定在 G 的中心内.
问题 5.2.43 若群 G 的阶为 351, 则 G — 定是单群吗？
是的.由于351 = 3 3 • 13,故 G 的1 3- Sylow 子群的个数 n 13 — 定整除3 2 ,并且
n 13 三 1 (mod 13)，因此， n 13 = 1 或者 m3 = 27.
如果 n 13 = 1,则 G 有唯一的1 3- Sylow 子群，因此，它是正规子群.
如果 n 13 = 27, 记 Pi , P 2 ,- - ，户 27 为 G 的不同的 27 个 13-Sylows 子群，则对
不同的 i 和 j ， 有 P t nPj = 另外， R 中的非单位元的阶都是 13, 因此， 27 个
13-Sylows 子群一共有 27 x 12 = 324 个 13 阶元素，剩下的 351 - 324 = 27 个元素
构成唯一的 3-Sylow 子群，故 （7 有一个正规子群.所以 ， (7 —定不是单群.
问题 5.2.44 455 阶群 G —定是循环群吗？
是的.由于 455 = 5 • 7 • 13, 故 G 有唯一的 7-Sylow 子群和唯一的 1 3-Sylow
子群 H 13 . 由// 7 和// 13 是 G 的正规子群可知 H 7 H l3 是 G 的 91 阶的正规子群.
由 Sylow 定理可知，有 1 个或者 91 个 5-Sylow 子群.假如 G 有 91 个 5-Sylow 子
群，那么 G 就有 364 个 5 阶元素，但 H 7 H l3 中的 91 个元素的阶都与 5 互素，因此,
这些元素全部有 455 个，这些元素全体就是 G. 设 付 5 是 G 的一个 5-Sylow 子群，
则 i/ = Hr 0 H 7 是 G 的 35 阶子群，由于// 5 和 i/ 7 都是//的正规子群，并且它们
的交集只含单位元，因此//是一个 35 阶循环群，故 G —定包含一个 35 阶的元素，
但前面已经证明 G 的 455 个元素的阶都不是 35, 矛盾.因此， G 只有 1 个 5-Sylow
子群，所以 ， G = H 5 H 7 H l 3 是一个循环群.
问题 5.2.45 若 G 是 1645 阶的群，则 G —定是循环群吗？
是的.由于1645 = 5 • 7 • 47,故 G 的 5- Sylow 子群的个数 n 5 整除7 . 47,并且
ns 三1 (mod 5). 因此 ， ns = 1,故 （7 只有唯一■的 5- Sylow 子群，记为/ / s , 则/ / s 是
G 的正规子群.
由于 G 的 7- Sylow 子群的个数 n 7 整除5 . 47,并且 n 7 三 l(mod 7)，故 n 7 = 1,
• 158 •
第 5 章 Sylow 定理和可解群
从而 G 有唯一的正规 7 -Sylow 子群 ，记为 H 7 . 类似地， G 的 47 -Sylow 子群的个数
n 4 7 = 1,因而 G 有唯一的正规 47 -Sylow 子群 If 47 . 不难验证子群丑 5 ,好7,丹47两两
的交集都是 { e }, 因此， Hr 0 H 7 H 47 是交换群，并且 |// 5 i / 7 if 47 | = 1645, 故 H 5 H 7 H 47 =
G , 因而由有限生成的交换群基本定理可知 G —定与 Z 5 X Z 7 X Z47 = ^ 1645 同构，
所以， G 是循环群.
问题 5.2.46 对称群&有多少个 5 阶子群和多少个 3 阶子群呢？
由于 S 5 中的奇数阶元都是偶置换，故容易理解只要在中考虑5阶子群和
3阶子群的问题.
由于 0 5 | = 60 = 2 2 . 3 • 5, 故由 Sylow 定理—定有 n 3 个 3-Sylow 子群
和 n 5 个 5-Sylow 子群，并且整除 20 ， n 3 = 1 (mod 3), 因此， n 3 = 1,4 或者
10. 由于中 3 循环有 20 个，每个 3 循环与它的逆和单位元构成一个子群，因
此，有 10 个 3 阶子群.对于 5-Sylow 子群，由 Sylow 定理可知其个数 n 5 —定
整除 12 ， 并且 n 5 = 1 (mod 5), 故= 1 或者 n 5 = 6 ， 既然 Z5 至少有两个 5 阶
元 （ 12345) 和 (21345), 并且 (12345) 不是 (21345) 的逆元，故 H 5 =< (12345 ) 〉 和
K 5 =< (21345 ) 〉 是 S 5 的两个不同的 5-Sylow 子群，因此， n 5 彡 2, 所以， n 5 = 6.
即 S 5 有 10 个 3 阶子群和 6 个 5 阶子群.
问题 5.2.47 设 p 是素数， n 为大于零的整数，若1 < m < p , G 是一个 P n m
阶群，则群 G 是不是单群？
不是.设 r 是 G 的 p-Sylow 子群的个数，则根据 Sylow 定理， 有 r 被 p 除余数
为 1, 并且 r 整除 m. 由 1 < m < p 可知 r = 1 ， 因而 G 的 p-Sylow 子群只有一个，
从而它是 G 的非平凡正规子群，所以 G 不是单群.
问题 5.2.48 设 G 是一个有限群，若 | G | =pq (这里 p , q 是素数)，则 G 是不
是单群？
不是.若 p == 则 G 的阶为 p 2 , 因此， G 是交换群，从而， G 有 p 阶元素 a , 故
G 有非平凡的正规子群< a 〉，所以， G 不是单群.
若 P / A 不妨设 p 〉&则列 关于 p 的模等于1的因子只能是1，因此， G 只
有唯 一一 个 p-Sylow 子群，从而，该 ^Sylow 子群是 G 的正规子群，所以， G 不是
单群.
问题 5.2.49 设 G 是一个有限群，若 | G | = 是不同的素数，并且 p 不
整除 g — 1, <7不整除 p - 1，则 G 是不是循环群？
是的.由 Sylow 定理可知， G 的 p - Sylow 子群的个数 /c 一定整除|(7| = pg , 并
且 p 整除 A : - 1,因此， fc 与 p 互素，因而， A : —定整除 q , ifLk = imq . 由于 p 不整
除 g — 1，但 p 整除 /c — 1，故 /c / 因而 A : —定等于1,故 G * 只有唯一的 p-Sylow
5.2 Sylow 定理
.159 .
子群， 记为 P , 则 P 为 G 的正规 子群.
同理可以证明， G 只有唯——个 g - Sylow 子群 Q , 因此, Q 是 G 的正规子群.由
于子群 P 和 Q 都是素数阶的群，故 P 和 Q 都是循环群，设 P =< aQ =< 6 〉 ，
则由 Lagrange 定理可知， Pf]Q = { e }. 由于 ( aba ~ l ) b~ l G Q , a ( ba ~ 1 b ~ 1 G _P ，故
aba -^- 1 G 尸 HQ , 因此， - 4 - 1 = e ，即 a 6 = 6 a , 因而，的阶为 p <?， 所以，
G =< ab > 是循环群.
问题 5.2.50 设 G 是循环群，若 | G | = pq ， p ， q 是不同的素数，则一定有 p 不
整除1,并且 (/ 不整除 p -1 吗？
不一定.对于6阶循环群 G , 有 | G | = 2 . 3,但2可以整除3减 1.
问题 5.2.51 若 p 和 g 是不同的素数，群 G 的阶为 M 时 ， G —定是循环
群吗？
不一定.如 | S 3 | = 2 3,但它不是循环群.
问题 5.2.52 设 G 是一个有限群，若 | G | (这里 p , q，r 是不同的素数)，
则 G 是不是单群吗？
不是.不妨设 p > g > r ， G 有个 p - Sylow 子群，~个 g - Sylow 子群，个
r - Sylow 子群.用反证法.假设 / c p > l , k q > 1, k r > 1,由于任意两个不同的 p-Sylow
子群的交都是 { e }， 因此， / c p 个 p - Sylow 共有 k p (p - 1) 个 p 阶元素.同理可证 , G —
共有 k q (q - 1) 个 g 阶元素和 Av(r - 1) 个 r 阶元素，故
| G | = pqr ^ 1 + k p (p - 1) + k q (q — 1) + k r {r - 1).
由 Sylow 定理可知 / c p —定整除 <? r , 由于 p , 是不同的素数，并且> 1，故
k p 只能是 <7, r 或者 qr .
假如 A: p = 由于 p 整除 - 1，故 p 整除 q — 1，但这与 p > q 矛盾；假如
k p = r , 则同样可证 p —定整除 r - 1,这与 p > r 矛盾.故 Zc p —定只能等于 f 又
由于整除 pr , g 整除心 — 1,心> 1, g > r ， 故心> 同理可证 Av 彡因此
pqr 彡 1 + qr(p - 1) + p(q — 1) + q(r - 1),
故0彡 （ p - 1)(^- 1)，矛盾.故“和 Av 中至少有 一 个一定是1,因此 ， G —定
有一个非平凡的正规子群，所以， G 不是单群.
问题 5.2.53 非交换单群的最小阶是多少？
非交换单群的最小阶是 60. 实际上，不难验证下面的结论：
(1) 若 p 是素数 ， n > 2,则泸阶的群不是单群，这是由于泸阶群有非平凡中
心 Z ， 而 Z 就是该群的正规子群.
• 160 .
第 5 章 Sylow 定理和可解群
(2) 若 p 和 g 都是素数，则 pq ， P 2 q 阶的群都不是 单群.
(3) 若 m 为奇数 ， m > 3,则 2 m 阶的群都不是单群.
(4) 奇数阶的循环群都不是单群.
除了上面的情况, 59阶以下的群有可能是单群的只剩下， | G | = 24, 36,40,48, 56.
容易验证56阶群不是单群.由于40阶群只有唯一的 5- Sylow 子群，故它不是单群.
情形一.设 | G | = 48 = 3 • 2 4 ,容易验证 G 的 2- Sylow 子群的个数为1或3.若
G 中16阶子群只有1个，则 G 不是 单群； 若 G 的16阶子群有3个，令 H u H 2 , H 3
为 G 的3个 2- Sylow 子群， G 在{私 ，/ / 2 , // 3 }上的共轭作用给出同态 P : G — S 3 .
取 N = Ker ( p ), 则 W 是 G 的正规子群.由于 H = 48 > |5 3 | = 6,故 TV # { e }. 又
由于 H u H 2 ， H 3 相互共轭， N 羊 G , 槪 N 是 G 的非平凡子群，因此 ， 48阶群不是
单群.
情形二.类似地，可以证明24阶群也不是单群.
情形三.设 | G | = 36 = 2 2 • 3 2 ,则 G 的 3- Sylow 子群的个数为1或4.若
3- Sylow 子群的个数为1,则它一定是正规子群，因此， G 不是单群.若 3- Sylow 子
群的个数为4,则 G 在 3- Sylow 子群 { H U H 2 , H 3 , H 4 } 的集合上的共轭作用给出了
同态 p : G — S 4 . 用上面的同样方法可以证明 G 有非平凡正规子群，所以， G 不是
单群.
问题 5.2.54 60阶的单群一定与 A 4 同构吗？
是的 .（1) 设群 G 的阶为60,先证明 G —定有12阶子群好.由于60 = 2 2 3 5,
故容易知道 G 的 5- Sylow 子群的个数 — 定整除20,并且 7 V 5 = 5 A : + 1，故 G 的
5- Sylow 子群有6个 .(7 的 2- Sylow 子群的个数爪一定整除15,并且 N 2 = 2 k + 1，
故 G 的 2- Sylow 子群有5个或15个.
若 7 V 2 = 5,则 G 的 2- Sylow 子群//的正规化子群 N G ( H ) 是 12 阶子群.
若 7 V 2 = 15,则 G 的任意两个 2- Sylow 子群的交不可能都是 { e }， 否则的话，
G 就有45个2阶元素，从而 45- h 24 > \ G \ 矛盾.设的和// 2 是 G 的两个
不同的 2- Sylow 子群，并且 H l C \ H 2 = K ^ { e }, 则由4阶群一定是交换群可知
Hi C C ( K ) = { a \ aeG,ax = xa 对任意 xe K 成立 } [ G , 因此 4 整除(7(/^)，并
且 \ C ( K )\ 7 ^ 4,不然的话，就 一 ‘定有 Hi = U2 , 与 // i 和/ i / 2 是不同的 2- Sylow 子群
矛盾，因而 | C ( i ^)|= 60, 20或者 12. 由于 K 是 C ( K ) 的正规子群，并且 G 不是单
群，故 G # C { K ), 因此 \ C ( K )\ / 60,并且 | C ( K )| / 20,故 \ C ( K )\ = 12,因而 ， G
有12阶子群.
(2) 设群 G 的阶为60,若//是 G 的 I 2 阶真子群，则 [G : //] = 5, G =
5.3 可解群
• 161 -
丹 U ... UA 好是 G 的一个左陪集划分，并且
x \ H \ x^H
(p : a
ax\H … ax^H
是群 G 到 { x \ H , - - - ， x 5 if } 上 n 次对称群 灸 的一个群同态，故 Ker ( c ^) 是 G 的正
规子群.由于 G 是单群，因此 ， Ker (#) = G 或者 Ker (^) = { e }.
若 Ker (( p ) = G , 则对于任意 a e G , r a 一定是恒等置换，因此， aXiH = :对
任意 a G //和 i = 1,2,... ,5都成立，故// 2 这与//是 G 的真子群矛盾.因
此， Ker ( v ?) 一定是 { e }， 故 (/? 一 定是单 同态. 因而 G 兰 (5 = { r " a 卜€ (7} 是&的
子群.由于 d = 60, S5 只有唯一的 60 子群力 5 ,故 G 与山同构.
问题 5.2.55 16 阶以下的群有哪些同构类？
(1) 阶 n = 1时，同构类为< e >;
( 2 ) 阶 n = 2 时，同构类为 Z 2;
(3) 阶 n = 3时，同构类为 Z 3;
( 4 ) 阶 n = 4时，同构类为 © Z 2 , Z 4;
(5) 阶 n = 5时，同构类为 Z 5;
(6) 阶 n = 6时，同构类为和正多边形群 D 3;
(7) 阶 n = 7时，同构类为 Z 7;
(8) 阶 n = 8时，同构类为 ㊉ 厶，厶 ㊉ 厶， Z 8 , 四元数群 Q 8 和正多边
形群 D 4 ;
(9) 阶 n = 9时，同构类为 Z 3 © Z 3 和 Z 9;
(10) 阶 n = 10时，同构类为 Z 10 和正多边形群 D 5 ;
(11) 阶 n = n 时，同构类为 Z 11;
(12) 阶 n = I 2 时，同构类为& ㊉ Z 6 ， Z 12 ，山，正多边形群 D 6 和7\这里
T = {< a,b > I | a | = 6, 6 2 = a 3 , ba = a _1 6};
(13) 阶 n = 13 时，同构类为 Z 13 ;
(14) 阶 n = 14时，同构类为 Z 14 和正多边形群 D 7;
(15) 阶 n = 15时，同构类为 Z 15 .
5.3 可解群
5.3.1 合成群列的定义
问题 5.3.1 合成群列的定义是什么？
• 162 •
第 5 章 Sylow 定理和可解群
设 G 是一个群，称 { e } = Gw Q …< G n _i <3 G n = G 为 G 的一个正规群列，
^ i ^ n ) 称为商因子.如果每个商因子都是单群，则该正规群列称为 G
的合成群列 （composition series ).
问题 5.3.2 若 G 的正规群列一定是合成群列吗？
不一定.整数加法群 Z 是交换群，故任意子群都是正规子群，因此， Z 有正规
群列，如 {0} = G 0 <<2 xZ 1 它不是 Z 的合成群列.实际上，容易知道 Z 没有
任何合成群列 . G 的正规群列是合成群列当且仅当它有最大的长度，即没有其他的
正规子群可以 “ 插入”到该正规群列中.
问题 5.3.3 { e } = G 0 < G <3 … Gn—i <a = G 是 G 的合成群列的充要条件
为 { e } = G 0 < G 1 < i ^ < G n - 1 < G ri = G 是 G 的一个正规群列，并且 A G i+1 的
极大正规子群吗？
是的.这是由于 H 是 G 的一个极大正规子群当且仅当 G / H 是单群.
问题 5.3.4 任意的有限群是否一定有一个合成群列？
是的.任何一个有限群 G 都一定有合成群列.实际上.可以对群的阶 n 用归
纳法来证明.
(1) 当 n = 1时，若 G 的阶为1,则结论明显成立.
(2) 假设命题对于阶小于 n 的群都成立.
(3) 当 | G | = n 时，任取 G 的一个极大正规子群 G n _!. 由于 G n _ x 是 G 的极
大正规子群， G n _! ^ G , 和 G 之间没有其他正规子群，因此 G / G n . x 是单群.
明显地， | G n _!| < | G | = n , 故由归纳假设 G n _! 存在合成群列
{^} = Gq < G\ < • • • < G n —2 < G n —\.
所以， { e } = Go <3 Q <3 … <3 G n _! < G n = G^G 的合成群列.
问题 5.3.5 任意的无限群是否一定有一个合成群列？
不一定.整数加法群 Z 没有合成群列，实际上， Z 的任何一个非平凡子群都与
Z 同构.若 {0} = G o < G 1 < ^< G n - 2 < G n - 1 <G = Z M Z 的合成群列，则 Q 是
Z 的正规子群，因此一定有整数 An , 使得= { kmilmeZ }, 从而 G 有正规子群
H = {2 A：im \me Z }, 但这与 {0} = G 0 < G x < - • < G n _ 2 < G n _i o G = Z 是 Z 的合
成群列意味着 = {0} —定是 Gi 极大正规子群矛盾，所以整数加法群 Z 没有合
成群列.
问题 5.3.6 任意的群如果有合成群列，则它是否一定唯一呢？
不 一定. 在四元数可除环中取士 1, 士 i , 土 j , 士 / c , 则它们在乘法下构成8阶非交
换群 G .
5.3 可解群
• 163 .
令 G 0 = {l},Gi = {±1},G 2 = { 士 1 , 土 i} ， G 3 = G, 贝 U G 0 <G 1 <G 2 <G 3 是 G 的合
成 群列. 另外，取 //o = = {±1},H 2 = { 士 1 , 士几 // 3 = G 时，
也是 G 的一个合成群列.
问题 5.3.7 能给出 Z 60 的合成群列吗？
由于{0}< <30><]< l 5><]<3> < lZ 60 , 并且
之6。/ < 3 >= < 3 > / < 15 >— < 15 > / < 30 >= 2^2? ^ 30 > / {0} = Z2 ,
因此，这是 Z 6 。 的一个合成 群列. 另外，不难验证{0}< <20><<4><]<2>
< Z 6 Q 也是一个合成群列.
问题 5.3.8 Z 4 x Z 9 有合成群列吗？
有.不难验证
{(0,0)}< < (0,3 ) 〉 o < (0, 1) 〉<3〈2> x < T ><]< T 〉 x < T >= Z 4 xZ 9
是厶 x Z 9 的合成群列.
问题 5.3.9 若 n > 5, 则对称群 S n 有合成群列吗？
当 n 彡5时，由于 S n /A n 兰么和 人是单群，故对称群&有合成群列
{⑴} <A n < S n .
5.3.2 合成群列的性质
问题 5.3.10 什么是 Jordan-Hdlder 定理？
Jordan-Holder 定理 设是有限群，下面两个群列都是 G 的合成群列：
(1) { e } = Gq <1 G\ < G 2 <•••< G r = G.
(2) { e } = H{) <3 H\ <\ H 2 <]•••<] H s = G.
则 r = s ， 并且存在 （1， 2 , •..， r *) 上的一个置换 a , 使得
Gi/Gi-I = ^T(i )/ 丹 a(i)-l.
5.3.3 可解群的定义
问题 5.3.11 可解群的定义是什么？
设 G 是一个群，如果 G 具有一个正规群列，其所有的商因子都是 Abel 群，则
G 称为一^个可解群 （solvable group ).
问题 5.3.12 所有的 Abel 群都一定是可解群吗？
.164 •
第 5 章 Sylow 定理和可解群
是的.明显地， { e } 是交换群 G 的正规子群，因此， { e}<G 是正规群列，并且所
有的商因子都是交换群，所以， G 是可解群.
问题 5.3.13 G 是可解群当且仅当存在合成群列
{ e } = Gq <3 G \ <] G2 <3 ••- Gn —\ <] G n = G ,
并且 Gi / Gi - i 是交换群吗？
不一定.若 G 是有限群，则 G 是可解群当且仅当存在合成群列
{ c } = Go <] G \ <3 G2 <] * •. G n —i <3 G n =
并且 Gi / Gi ., 是交换群.但对于无限群，该结论就不一定成立，如整数群 Z 是可解
群，但 Z 没有合成群列.
问题 5.3.14 对称群 S 4 是可解群吗？
是的.实际上 ， {(!)}< (12)(34), (13)(24)， (14)(23)} < A 4 < S 4 是交换的商因子
群.因此，&是可解群.
问题 5.3.15 5 3 x 5 3 是可解群吗？
是的.容易验证 {(1)} x {(!)}< A 3 x {(1)} <5 3 x {(1)} < S 3 xA 3 < S 3 xS 3 , ^
且商因子是2或者3,因此，商因子都是交换群，所以 ， x 是可解群.
问题 5.3.16 若 n > 5,则对称群6^是可解群吗？
不是.由于是非交换的单群，故= A n . 因此，对于任意正整数 m , 都有
A { n m) = A n ^ { e }, 因此不是可解群，所以，也不是可解群.
问题 5.3.17 若 n 彡1，则二面体群 D n —定是可解群吗？
是的•设 a，6 | a n = e ， b 2 = e，bab = a - 1 >. 当 n = 1 时，有 ¥ 么，
因此，乃2是可解群.若71〉1，则由于 Z ) n / < aA 和< a 〉¥ 2 ^，并且和
^2都是可解群，所以，是可解群.
问题 5.3.18 能举出一个非交换的无限可解群吗？
由于为和 Z 都是可解群，故 S 3 x Z 也是可解群，明显地, S 3 xZ 是非交换的
无限群.实际上，容易验证 {(1)} xZ < A 3 xZ < S 3 xZ 是正规群列，并且商因子
的阶是2或3,所以， S 3 xZ 非交换的无限可解群.
问题 5.3.19 ( a ) 若 G 有循环子群 A 和使得 G = 则 G —定是可
解群吗？
( b ) 在 （ a ) 的条件下，加上4和 B 共扼，则 G —定是可解群吗？
5.3 可解群
• 165 •
不知道 . （ a) 是 Rhemtulla 和 Sidki 给出的公开问题.己经知道若 G 是有限群，
则结论成立.
(b) 是 Amberg 给出的公开问题.
5.3.4 可解群的性质
问题 5.3.20 G 是可解群当且仅当 G( n ) = {e} 吗？
是的.这是可解群的一个判别法.假如存在 n ， 使得= { e }, 则
{ e } = G (n) < G (n - 1} <]•••<! G ⑴ <1 G ，
故 G 是可解群.
反过来，若 G 是可解群，则存在子群列
{e} = H n < // n _i < …< Ho = G ，
使得对所有 m , Hm + i 是 的正规子群，并且 // m / M m +1 是交换群.故 G / H x 是交
换群，因此 ， G G ⑴ Q 拓，从而， （ G ⑴)/ [ 由于 H l / H 2 是交换群，/ [ // 2 ,
因此， G ( 2 ) = ( G^) f QH 2 . 从而， G ( n ) QH n = { e }, 所以， G ( n ) = { e }.
问题 5.3.21 可解群的子群和同态像都是可解群吗？
是的.设 G 是可解群，//是 G 的子群，由于7/是 G 的子群，故// ⑷是 G ⑴
的子群，因而 G ⑻ = { e } 时有 = { e }, 所以好 是可解群.
设 W 是群 G 到尺 上的同态，则 = K \ 因而 ip [ G ㈨ ）= K ㈨ . 由于
= { e }, 故 = { e }, 所以 K 也是可解群.
问题 5.3.22 苦 N 是群 G 的正规子群，则 G 是可解群当且仅当 iV 和 G/N
是可解群吗？
是的.明显地，有 N ㈣ Q G ( m ) 和 ( G / N )^ = ( G ( m ) 7 V )/ W 对任意正整数 m
都成立.
若 G 是可解群，则存在 n ， 使得 G( n ) = {e}. 故 = {e}, 因此， TV 和 G/N
都是可解群.
反过来，假如 7 V 和 G / N 是可解群，则存在正整数 m , 满足 （ G /7 V )—) = 故
C (m ^ C N . 并存在正整数 n , 满足 ATW = { e }， 故 G ( n+m ) = ( G ( m ))( n ) [ = { e }.
所以， ={ e }, 故 G 是可解群.
问题 5.3.23 若 M 和 iV 都是群 G 的可解子群，并且 iV 是 G 的正规子群，
则 NM 一定是可解群吗？
.166 •
第 5 章 Sylow 定理和可解群
是的.由于 AT 是 G 的正规子群，故 7 V < liVM , 并且；既然 M 是可
解群，因此，商群 M /[ Nf ] M ) 是可解群.由于 NM/N ^ M /(7 VnM )， 故 NM/N
是可解群.因此由 7 V 和 NM / N 都是可解群可知 NM 是可解群.
问题 5.3.24 设 G 是一个有限群，则下列性质都成立吗？
(1) 若 M 和 7 V 都是 G 的正规子群.并且 G / M 和 G / N 都是可解群，则
G /{ M ^] N ) 也是可解群 •
(2) 若 M 和 N 都是 G 的可解正规子群，则 MN 也是 G 的可解正规子群.
(3) 可解的单群一定是素数阶的循环群.
是的.
问题 5.3.25 素数阶的循环群一定是可解的单群吗？
不知道.
问题 5.3.26 当 n 小于等于4时， 5 W 是可解的吗？
是的.
问题 5.3.27 当 n 大于等于5时，义是不可解群吗？
是的.这是著名的结果.
问题 5.3.28 S 3 x S 3 是可解群吗？
是的. 这是由于为 x &有合成群列 {(1)} x {(1)}< A 3 x {(1)}<5 3 x {(1)}<
x v 4 3 <5 3 x 5 3 ,并且系列中的商群的阶是2或者3,故所有商群都是交换群，所
以， S 3 x S 3 是可解群.
问题 5.3.29 二面体群 LU 是可解群吗？
是的.这是由于 有合成群列 {(1)} x {(1)， (13)(24)} <{(1),(1234)，(13)(24)，
(1432)} 并且系列中的商群的阶是2,故所有商群都是交换群，所以， D 4 是可
解群.
问题 5.3.30 当 n 小于60时 ， G —定是可解的吗？
是的.
问题 5.3.31 若 p 是素数，则 p 群一定是可解群吗？
是的.明显地，若群 G 的阶为 P ， 则 G 是可解群.假设对于小于圹的 p 群 G ，
G 都一定是可解群，则对于沪阶群 G ， 它的中心 Z 也是 P 群，因此，由假设可知 Z
和 G / Z 都是可解群，因此， G 是可解群.所以， P 群一定是可解群.
问题 5.3.32 设/是群 G 到群丑 的同态，则 f { G f ) = f { G) f A H r 的子群吗？
是的.由于 f { aba - l b ~ l ) = f ( a ) f ( b )( a )- l f ( b )-\ /( G 7 ) = f [ G )，. 容易验证
5.3 可解群
• 167 -
/((7)是//的子群.
特别地，若/是群 G 的自同构 ，则 f ( G f ) = G f .
问题 5.3.33 设 G 是可解群，//是 G 的正规子群，则 G/H 一定是可解群吗？
是的.由于 G 是可解群，故存在 m ， 使得 = { e }. 令/为 G 到 G /// 的自
然同态，则 ( G / H )^ = f { G ^) = /({ e }) = { e }， 所以， G / H 是可解群.
问题 5.3.34 设 G 是有限群，若 G 是可解群， p 是素数，并且 p 整除 G 的阶
| G |, 则 G 至少有多少个共扼类？
HAhelyi 和 Kiilshammer 在2000年证明了，若 G 是可解群， p 是素数，并且
p 整除 G 的阶 | G |， 则 G 的共辄类个数 k ( G ) ^ 2 y/p - 1. 参见 ： Hethelyi L and
Kiilshammer B . On the number of conjugacy classes of a finite solvable group . Bull .
London Math . Soc ., 2000, 32: 668-672.
Hdthelyi 和 Kiilshammer 在 2003 年证明了，若 G 是可解群， p 是素数，并且 p 2
整除 G 的阶 | G |, 则 G 的共轭类个数 k ( G ) ^ (49 p + 1)/60. 参见 ： Hethelyi L and
Kiilshammer B . On the number of conjugacy classes of a finite solvable group II . J .
Algbra , 2003, 270(2): 660-669.
问题 5.3.35 有限群为可解群有什么判别方法？
设 G 是一个有限群，则 G 是可解群的充分必要条件是 G 有一个合成群列：
{ e } = Gq <\ G \ < G2 <•••<! G r = G 1
其商因子皆为素数阶循环群 •
实际上，设 G 是可解群，则它的任意一个合成群列的商因子一定是 Abel 群，并
且是单群，从而必是素数阶循环群.反过来，如果 G 有一个合成群列其商因子为素
数阶循环群，则 G 明显地是可解群.
问题 5.3.36 对任意的素数 pMp > Q ), 任意一个阶为的群都是可解群
吗？这样的群的阶一定是多少？
是的.设 G 有 n p 个 p - Sylow 子群和个 g - Sylow 子群，则由 Sylow 定理可知
n p = q > P , 并且 rig 等于 p , p 2 或者 p 3 . 由于 <7 > P ，故= p 3 也不可能成
立，否则的话，就有 p 3 (q - 1) 个 g 阶元，只剩 P 3 个元素，从而只有唯一的 p-Sylow
子群.故 一 定有= p 2 . 因此 g 整除 p 2 - 1 ，从而 一 定有 < 7 整除 p + 1 , 由可
知 g = P + 1，但 P 和 9 是互素的，因此 ， g = 3 ,p = 2, | G | = 24.
问题 5.3.37 对任意的素数 p , 任意一个阶为 p a q b 的群都是可解群吗？
是的.这是 Burnside 证明的著名结果.
.168 .
第 5 章 Sylow 定理和可解群
问题 5.3.38 对任意的素数 p ， g 和 r ， 任意一个阶为 p a q b r c 的群都是可解
群吗？
不一定.交错群烏是60阶群，并且60 = 2 2 • 3 • 5, 但戌 不是可解群.
问题 5.3.39 若 G 是非交换的单群，并且 G 的阶小于200,则 | G | = 60或者
問=168吗？
是的.可以用上面 Burnside 的著名结果来证明，不过证明比较长.
问题 5.3.40 每一个奇数阶的有限群都是可解群吗？
是的. 这是 Feit 和 Thompson 在1963解决了 Burnside 猜想时，证明的奇阶定
理，一 * 般称为 Feit - Thompson 定理.
问题 5.3.41 设 pj 是不同素数 • p 〉 g 〉1,则 p 2 ? 群 G —定是可解群吗？
是的.设 n 是 G 的 p - Sylow 子群的个数，根据 Sylow 定理可知 ， n 被 p 除余数
为1,并且 n 整除 p 2 g . 由于 n = p/c + 1，故 n + (- pk ) = 1,因此 p 和 n 互素，从而
n 整除由 p 〉 g > 1可知 n = l , 因而 G 的 p - Sylow 子群只有一个从而//是
G 的非平凡正规子群，故 G 有一个正规群列 { e }< H < G , 并且 G /// 是 Abel 群，所
以 G — 定是可解群.
问题 5.3.42 设 G 是一个有限群，若|(^| = pgr (这里 p < q < r 是不同的素
数)，则 G 是可解群吗？
是的.既然 r - Sylow 子群的个数 — 定整除|(7|,并且 N r = 1 (mod r )， 故 7 V r
只能是1或者
情形 一 .若 7 V r = 1，则 G 只有一个 r - Sylow 子群 i /， //是正规循环 r 阶子群,
因而//是可 解群. 由于 | G / i /| =柯，故 G / H 是可解群，所以 ， G —定是可 解群.
情形二•若 N r = pq , 下面证明这会导致矛盾.
设 ^ r - Sylow 子群的个数为 TVg , 则 7 V g 整除|(7|,并且 N q = I (mod q ), 故乂是
1，或者 pr , 或者 r .
(1) 若 Nq = pr ， 则在 pr 个 不同的 g-Sylow 子群中有 rp(q — 1) 个阶为 g 的
元素 ，在 pg 个 不同的 r-Sylow 子群中有列 (r - 1) 个阶为 p 的 元素，因此 ， G 有
pqr-pr + pqr-rp = pqr + p(rq - q - r) 个元素.既然 p 彡2,因此， q > 2 : 由于 r > q,
故 vq — q — r = (q — l)r — q > r — q > 0, 因此， pqr-pq-hrpq — rq = pqrp(rq — q — r) >
pqr = | G |, 矛盾.
⑵若 TVg = r ，则 G — 定包含在 r 个不同的 g-Sylow 子群的 r(g — 1) 格 g 阶
兀素 . 同样可知在个不同的 r-Sylow 子群中有 pq(r - 1) 个 r 阶元素 . 故 （ 7 有
r(q-l)-\-pq(r-l) = pqr-pq + rq-r 个元素 .但 q > p, 故 q-1 彡 p, 因此， (q-l)r ^
V r > PQ^ 因而， {q~ 1)^ > pq, qr-r-pq > 0, 因此， pqr -pq + rq — r> pqr = |G |，
5.3 可解群
. 169 -
矛盾.
(3) 若乂 = 1,设 Q 是唯一的 g - Sylow 正规子群.由于 G / Q 的阶是 pr , 有
pq(r - 1) 个 r 阶元素分布在 G 的 Q 陪集中.既然，每个陪集有 g 个元素，故最少
有 p(r - 1) 个陪集才能覆盖 G 的所有 r 阶元素.
下面证明 G / Q 的每个陪集的阶都是 r . 既然 a 是 G 中的 r 阶元素，因此, a 必
然属于某个陪集，因此，这个陪集是 aQ . 由于 aQ 的阶一定整除 G / Q 的阶，故 aQ
的阶只能是 r,p 或者 pr. 如果 a 的阶是 r, 那么结论成立.如果 a 的阶是 rp, 那么
由 [aQ) T = a r Q = eQ 可知 aQ 的阶一定小于等于 r , 矛盾.
a 的阶也不可能是 p, 这是由于 (aQ) p = eQ W a p Q = eQ, 故 G Q. 但 a 9
属于某个 r - Sylow 子群，故 a p e 这里 i ? 是 r - Sylow 子群. 由于分 €
时，一 定有咖 ）I | i ?| 和咖 ） I | Q |， 故心）和 o ( p ) 丨 r . 由于 g 和 r 是不同的素
数，故夕= e. 因此， a p = e, 但这与 o(a) = r* 矛盾.
因此， G / Q 中至少有 - 1) 个 r 阶元素，但 G / Q 的阶为 pr , 因此 G / Q 中
的 r - Sylow 子群的个数一定整除 pr , 并且关于 r 的模为 1. 明显地，这意味着 G/Q
只有唯一的 r - Sylow 子群，故在这个 r - Sylow 子群中最多有 r - 1个阶为 r 的元素.
故 p(r - 1) 彡 r — 1，因而, p 彡1，矛盾.因此， 若 N r = pq , 则会导致矛盾.
综合上述， G 只能有一个正规循环 r-Sylow 子群，所以， G —定是可解群.
第 6 章域的扩张
域扩张主要来源代数方程可用根式求解条件的研究，代数元和超越元与域扩张
的性质有着密切的联系.
6.1 子域和扩域
6.1.1 子域和扩域
问题 6.1.1 什么叫域扩张？
设 K 是域， F 是 K 的至少有两个元素的子集，如果 F 关于 K 中的加法与乘法
也构成一个域，则称 F 是 K 的子域 ( subfield ), 此时也称 K 为 F 的扩域 (extension
field ). 用记号 K / F 表示 K 是 F 的域扩张.
问题 6.1.2 设 F 是域， Ki(i = 1,2,… ， n ,.") 是 F 中的子域，则 K = fl^i
是 F 的一个子域吗？
是的.容易按定义验证.
问题 6.1.3 设 F 是域， Ki(i = 1,2,… , n ， …）是 F 中的子域，则 X = [jKi
是 F 的一个子域吗？
不 一定. 对于域 Qiy / 2 , y / 3 ) 的子域和 Q (\/3), 它们的并集不是 x /3)
的子域.
6.1.2 域的素子域和特征
问题 6.1.4 什么叫素域？
设 F 是域，则 F 的所有子域的交为 F 的最小的子域，称为 F 的素子域 (prime
subfield ). 没有真子域的域 一 般称为素域 (prime field ).
问题 6.1.5 从同构的观点来看，任何域都不过是有理数域 Q 或 Z p ( p 为素数）
的扩域吗？
是的.设 F 是域，凡是 F 的素子域，则当 F 的特征为素数 p 时， Fo 同构于有
限域％;当 f 的特征为零时，凡同构于有理数域 g .
问题 6.1.6 有理数域 Q 是最小的数域吗？
是的.这是由于复数域 C 的特征是0,故它的素子域是有理数域 0.
6.1 子域和扩域
-171 -
6.1.3 集合 S 在 F 上生成的子域
问题 6.1.7 什么是集合* S 在域 F 上生成的子域？
设 K / F 是域扩张， S 是 K 中的非空子集，则
F ( S ) = 门 { L | L 是尺的子域，并且 S [ L , FCL }
是 K 中包含 F 与 S 的最小的子域，称为集合 S 在 F 上生成的子域 (subfield gen¬
erated by S over F), 也称为添加集合到 F 得到的子域.当 S = { ai ， o ： 2 , …, o； m }
是有限集时，就记为 F ( ai , a 2 , ••- ,^ m ).
6.1.4 单扩域
问题 6.1.8 什么是单扩域？
设 K / F 是域扩张，如果有 aeK , 使得 K = F ( a ), 那么 K 称为 F 的单扩域
(simple extension field).
当 F 为环时，记号 F [ a ] 为包含 F 和 a 的最小的环，因此要注意单扩张 F ( a )
与 F [ a ] 的区别.
问题 6.1.9 设 a 是域 F 的代数元，则 F 的单扩域 F ( a ) = F [ a ] 吗？
是的.若 a 的极小多项式的次数为 n , 则 F 的单扩域 F ( a ) = F [ a ] = { a 0 +
CL\OL + * * * + a n _iQ： n—1 I CLi G -P}.
问题 6.1.10 a 是 F 上的代数元的充要条件为 F [ a ] = F ⑷吗？
是的.由于为包含 F 和 a 的最小的环， F ( a ) 为包含 F 和 a 的最小的域,
因此，明显地有 F [ a ] C F ( a ).
若 a 为 F 上的代数元，设 f ( x ) 为 a 的极小多项式，则 f ( x ) 是不可约多项式.
由于 〆 a ) / 0,故/ ㈤ 在 F [ x ] 中不整除 g { x ), 因此， /( x ) 与 g ( x ) 互素，从而存在
m ( x ), n ( x ) e F [ x ], 满足 m { x ) f ( x ) -f n ( x ) g ( x ) = 1，故 m ( a )/( a ) + n { a ) g { a ) = 1 •由
于 /( a ) = 0,故 n ( a ) g ( a ) = 1. 因此， —^ - = n ( a )， 从而,对任意 g ( x ) e F [ x ], g ( a ) ^ 0
9 W
W € F [ a ], 所以, F [ a ] 是域，故 F ( a ) C F [ a ], 因而， F [ a ] = F ( a ).
反过来，若 = i ^ a ), 则 a 是中的可逆元，故存在某个 b = c 0 +
cia + • •. + c m a m e F [ a ], 使得 6 a = 1，因此， a ( c 0 -\- c\a + •. • + c m a m ) — 1 = 0, 故 a
是多项式 f ( x ) = -l + cox + dx 2 + … + c m x m +1 的根，所以, a 是 F 上的代数元.
问题 6.1.11 设 K/F 是域扩张， S U S 2 是 K 中 的非空子集，则
(1) 若 & g &，则 F ( S X ) C F (5 2 ),
• 172 •
第 6 章域的扩张
(2) F (5) = F (5!)(5 2 )
都成立吗？
是的 .记 H = F ( S 1 )( S 2 ). 由于 F ,5 1? 5 2 g //， 故 g //， 从而有 F ( S ) C
H . 另夕卜，由于 F ,5 i C F (5), 因而有 F (5 i ) C F (5). 由 & G F { S ) 可知 =
F ( Si )( S 2 ) C F (5), 所以丑 = F ( S ).
问题 6.1.12 设 p ( x ) = x 3 H - 9 x + 6 G Q [ x ], 若 0 是 p ( x ) 的一个根，则 1 + 沒在
有理数域 Q 的单扩张 Q ( 6 ) 的逆是什么？
根据 Eisenstein 判别法，容易知道 p(:r) 是 Q 上的不可约多项式.由于 (9 3 +
96> + 6 = 0 并且 1 + 6> 的逆在 Q ((9) 中，故一定存在 a , b , ceQ , 使得
故
a + (a -h b )6 + (6 + c ) 6 2 -h c 6 3 = 1,
由 (9 3 + 9(9 + 6 = 0 可知 (9 3 = -90 - 6, 因此
(a — 6c) + (a + 6 — 9 c )9 + (6 + c ) 0 2 = 1.
解之，得 a = ■，6 = —$ 和 c = 1，所以，
i bee 2
■ ■ "HZZ — — —j— ■ ■
1+0 2 44*
6.1.5 域扩张的次数
问题 6.1.13 什么是域扩张的次数吗？
设 K / F 是域扩张，则 F 上的向量空间 K 的维数称为域扩张 K / F 的次数，记
为 [K : F ].
问题 6.1.14 设 K 是 F 的扩域，则 [K : F } = 1 当且仅当 K F 吗？
是的.这是明显的.
问题 6.1.15 什么是有限扩域或有限扩张？
设 K / F 是域扩张,若 [K : F] < oo, 则 K 称为 F 的有限扩域或有限扩张 (finite
extension field of F ).
问题 6.1.16 若 E 是实数域丑的有限扩张.则五一定是复数域 C 或者实数
域 尺吗？
6.1 子域和扩域
• 173 -
是的.由于五是实数域丑的有限扩张，故五是丑的代数扩张 ，即五 中的每
个元都是尺的代数数，因此，由 C 是代数闭域可知 ECC . 既然 p :邱= 2并且
[C : R } = [C : E}^[E : R ], 因此, [C : E ] = 1 或者 [ E : R } = 1,所以，五—定是复数
域 C 或者实数域兄
6.1.6 域扩张的次数公式
问题 6.1.17 什么是域扩张的次数公式？
次数公式 设 L 是 F 的扩域， K 是 L 的扩域，则 K 是 F 的有限扩域当且仅
当 L 是 F 的有限扩域，且 K 是 L 的有限扩域.此时有 [ K : F } = [ K : L ][ L : F }.
设 n = [尺： F ], 则 K 中任何 n + 1 个元素在 F 上线性相关，从而在 L 上也是
线性相关的，故[尺：< oo . 同理可证 [L : F ] < oc .
反过来，若 [K : L ] < oo 且 [L : F ] < oo . 取兑上的向量空间尺中的基
以 i ， tt2 , …， u 8 及 F 上的向量空间 L 的基^ 1 ,^ 2 , ••- , v m . 对任何 a e 有
S
Ol = 2_^ Ci e L , 2 = 1,2, • • • , s ,
及
m
Ci = ^aijVj, aij e F, i = 1,2,••• ,5 ； j = l,2 ， ... ， m.
J =1
s m
于是有 a = aijUjVj , 即 K 中任何元素可由集合
i=l j=l
S = {uiVj h = 1,2，... ， s ; j = 1 ， 2, ••• , m }
线性表示.
若
s rn
s
EE aijUjVj := EIE dijVj I U{
i=l j=l t=l
0， ciij G F ,
由于… ，…是 K / F 的基，因而
m
〉 : a ij v j = 0， i = 1, 2 ,…，
s.
3-
因此对所有的 i 与 j , 有 a i：j = 0 •于是 S 在 F 上是线性无关的，从而 S 是 F 上的
向量空间 K 的基，所以 [K : F ] = sm .
.174 -
第6章域的扩张
问题 6.1.18 设 K 是域 F 的扩域，若 [K : F] = p, p 是素数，则对于任意
aeK, 一定有 F(a) = F 或 F(a) = K 吗？
是的. 对于任意 a e 有尸 g F(a) g K ， 故 [K : F ] = [ K : F ( a )][ F ( a ) : F ],
Silt , [K : F ⑷]整除素数 p ， 所以， [ A ：: F ( a )] = 1 或 p ， 即 F(a) = F 或 F(a) = K.
也就是说，若:冽是素数，则 F 与 K 之间再无其他的中间域.
问题 6.1.19 设尺是 F 的扩域，若 a，6 € 则一定有 [F(a ， 6) : F ⑷] 彡
[ 增： F] 吗？
是的.设 [F(b) : F] = n, 则存在不可约多项式 f(x) e F[x], 使得/(6) = 0.既
然 F[x] C F ( a )[ x ], 因此 f(x) e F(a)[x], 所以， [ F ( a , b) : F(a)] < deg f(x) = n.
问题 6.1.20 设 K 是 F 的扩域， a,6 e K ， 若 [F ⑷ ： F] = m, [F(6) : F] = n,
并且 m 和 n 是互素的，则一定有 [F(a, 6) : i 7 ] = mn 吗？
是的.设/是 F[:c] 中以 a 为零点的不可约多项式，则 deg(/) = m. 既然
fe F[x], 因此，/ G F(b)[x\. 故/是 F(b)[x] 中以 a 为零点的多项式，因此，存在不
可约多项式沒 G F(b)[x], 使得分⑷= 0, 并且分整除 /， 从而， deg ⑷彡 deg(/) .由
g 是 F(b)[x] 中满足分⑷= 0 的不可约多项式，因此， [F(a, b) : F(b)] = deg(p) •故
[F(a, 6) : F(6)] < m, 所以， [F(a, b): F] = [F(a, b) : F(b)][F(b) : F] ^ mn.
由于 [F(a,6) : F] = [F(a,b) : F(6)][F(6) : F], 故 n 整除 [F(a,b) : F], 35
外， [F(a, b) : F} = [F(a, b) : F(a)][F(a) : F ]， 故 m 整除 [F(a,6) : F], 既然 m 和
n 是互素的，因此 ， mn —定整除: F], 从而， mn 彡 [F(a, 6) : F], 所以，
[F(a, 6) : i 7 *] = mn.
问题 6.1.21 设 E 和 K 是 F 的有限扩域，若 [EK : F] = [JE ； : : F ]， 则
一定有 = F 吗？
是的.设 L = 五，则
[EK : F] =[E: F][K : F] = [E: L][L : F][K : L][L : F]
=[E : L][K : L][L : F] 2
^[EK : L][L: F} 2
=[EK : F][L: F}.
因此， [L:F] = 1, 所以， L = F.
问题 6.1.22 设尺是 F 的扩域，若 a G X ， [F(a) : F] 是奇数，则一定有
F(a) = F(a 2 ) 吗？
是的.假设 ci 不属于 F ( a 2 )， 则 F ( a 2 ) 是 F(a) 的真子域.由于 a 为多项式
/( x ) = x 2 - a 2 e F(a 2 )[x] 的零点，故 [ F ( a ); F ( a 2 )] = 2,但 [ F ( a ) : F] = [ F ⑷：
6.1 子域和扩域
. 175 -
F(a 2 )}[F(a 2 ) : F], 因此， 2 整除 [F(a) : F], 这与 [F(a) : F] 是奇数矛盾,所以，一定
有 F(a) = F(a 2 ).
问题 6.1.23 域扩张 Q(\^,V^)/Q 的次数是多少？
由于 [ Q (\/3, \/7) : Q] = [ Q (\/3, \/7) : Q (\/7)][ Q (\/7) : Q ], 另夕卜，由: r 2 - 7是
在 (5 上的极小多项式可知 [ Q (\/7) : Q} = 2. 既然: c 2 -3是 W 在 Q (\/7) 上的极小多
项式（因为 \/5 _ 因而， [Q(y/S, y/7) : Q(y/7)] = 2,所以， [ Q (\/3, \/7) : Q ] = 4,
并且{1,\/3, \/7, V2\} 是域扩张的一个基.
问题 6.1.24 域扩张 Q(v ^+\/ i)/Q(v^) 的次数是多少？
明显地, Q{V3 + V7) C Q ( x /3, V7). 由于 = (y/7-V3)/4e Q ( v ^+
W ). 故 Q(V^ + V7), 因而 ， G Q ( v /5 + W )， 故 Q (\/3 + \/7) = Q(y/3, V7).
所以， [ Q (\/3 + \/7) : Q(V7)} = 2.
问题 6.1.25 扩域 Q(\/5+ v ^) 关于 Q(\/15) 的次数是多少？
由于 x/3 + V^e Q(v / 3 + \/5), 并且 Q(V3 + V5) 是域，故 （ W + W ) 2 e Q(v^ +
\/5), 因此， 8 +Vl5 G Q(x/3 + v/5), 因而， # e Q(v^ + x/5), 从而， Q ( v ^5) C
Q(v^ + \/5). 由于 [Q(V^) : Q] = 2, [Q(x/3 + W ) : Q] = [Q(v^ ， W) : Q] = 4, 故由
[Q(>/3 + VE) ： Q} = [Q(V3 + V5) : Q(\/l5)] - [Q(V^15) : Q],
所以， [0(^3 +^5) : QU / IS )] = 2. 实际上， {1， v /5} 和 {1， W } 都是 Q(V3 + \/5) 关
于 Q{Vl5) 的基.
问题 6.1.26 对于实数域/?和有理数域 Q , 只 一定是 Q 的无限扩域吗？
是的.反证法.假设 Q ] 有限，则由实数於在 Q 上是多项式 W - 3 的根,
容易验证
[i? : Q] = [^ : Q( V3)][Q( >/3) : Q] = [i? : Q( 的 )] n,
故任意的 n 都整除[丑： Q ], 但这与[丑： Q ] 有限矛盾，从而 [ i ? : Q ] —定是无穷，所
以丑是 (3 的无限扩域.
问题 6.1.27 设 Q 是有理数域，则 [Q( v /5 + v/5) ： Q] 等于多少？
不难验证 Q(\/2 + \/5) = Q(\/2, v^), 故
[Q(y/2 H- \/5) : Q] = [Q(V2, \/5) : Q(V / 5)][Q(V / 5) : Q]= A.
问题 6 .1. 2 8设 Q 是有理数域，则 [Q(v/2 + V^) : Q(y/10)} 等于多少？
由于 [Q(v^ + x/5) ： Q] = 4, [Q{VlO) : Q] = 2 故由 [Q(v^ + ^5) ： 0] =
[Q{V2 + V^) : Q (7 l 0)][ Q ( yr 0)： Q ] = [Q(V2-^VE)： Q ( Vl 0)]-2 ? 所以， [Q(y/2^VE) :
Q ( VTo )] = 2.
-176 -
第 6 章域的扩张
问题 6.1.29 设 /(X) 是 K[x] 中的不可约多项式，若厂是尺的域扩张，并且
deg (/) 与 [F : K ] 互素，则 f ( x ) 一定是 F[x] 的不可约多项式吗？
是的.设 w 是 /( x ) 在 F 的某个扩域的根，由于 [ F ( u ) : F][F : K ] = [ F (^ x ) :
K ] = [ F ( u ) : K ( u )][ K ( u ) : K ], 既然 w 是 K [ x ] 上的不可约多项式 f ( x ) 的根，因此，
[ K ( u ) : K ] = deg (/). 由于 [ K ( u ) : K ] 整除 [ F ( u ) : F][F : K ], 并且 ([ K ( u ) : K},[F :
K ]) = 1，故 [ K ( u ) : K ] 整除 [ F ( u ) : F ]. 但是 u 在 F 的次数最大就是 u 在 K 上的
次数，即 [ F ( u ) : F ] ^ [ K ( u ) : K ], [ F { u ) : F ] = [ K ( u ) : K ], 所以，/ ㈤ 在 F 上是
不可约多项式.
问题 6.1.30 设 F 是 K 的域扩张，丑是环，并且 K QRQF ， 苦 F 良1<的
代数扩张，则 i? 一定是域吗？ 如果 F 不是 K 的代数扩张，则丑一定是域吗？
若 F 是 K 的代数扩张，则一定是域.设 u # 0 ,w e 尺， 既然任意 u e F 是
K 上的代数元，因此， K ( u )/ K 是有限的，并且 B = { l , u , u 2 r - , u k } 是一个基.由
于 R 是包含 K 的环，因此 K ( u ) C R . 由于 K ( u ) 是一个域，故 w - 1 G K { u ) C
故尺中的非零元都是乘法可逆元，所以，只一定是域.
如果 F 不是 K 的代数扩张，那么尺就不一定是域.例如设 F 为域 Q ( x),R 为
有理数多项式环和 K = Q , 则扩张 F / K 不是代数扩张，并且 i ? 不是域.
6.2 代数扩张
6.2.1 代数元和超越元
问题 6.2.1 什么是代数元吗？
设 K / F 是域扩张， a e 若 a 满足 F 上的一个代数方程
do ~(~ did Qj20^ + ■.. + d n Oi n — 0 ,
这里叫不全为零，则 a 称为 F 上的代数元 (algebraic element ). 若 o ： 不是 F 上的
代数兀，贝 ll a 称为 F 上的超越元 (transcendental element ).
问题 6.2.2 设是域扩张， a ,(3 eK , a 和0都是 F 上的代数元，则 a + /3
和 a /3 —定是 F 上的代数元吗？
是的.由于 [ F(a, / 3 ): F } = [ F ( a , /?) : F(a)][F(a) : F], 并且， [ F ( a , P ) : F(a)] 和
[ F ( a ) : F ] 都是有限的，故 [F(a,/?) : F ] 也是有限的，因此， F(a， 奶是 F 的代数扩
张，所以， a + 0和 一定是 F 上的代数元.
问题 6.2.3 设 K/F 是域扩张，0：,/3€尺，若0 + 0和0^是厂上的代数元，
则 a 和0 —定都是 F 上的代数元吗？
6.2 代数扩张
. 177 -
是的.若 a + /3 和 a /? 是 F 上的代数元，则 a 和0是多项式 f { x ) G F[a +
(3, aP ) J { x )= x 2 - (a + P)x -f ap 的根，因此， [ F [ a , f 3] : F(a +/?), a /?)] 彡2,故
F(a y /3) : F] = [F{a^(3) : F(a + /?, a/3)} [ F(a -h /?, o ；/3) : F ] ^ 2[ F(a + /?， a/3) : F
既然 F(a + 0, a (3)\ 是有限的，因此， [ F ( a ,/?) : F ] 也是有限的，因而， [ F ( a ,0) 是 F
的代数扩张，所以， a 和0都是 F 上的代数元.
问题 6.2.4 域 F 中的元素都是 F 上的代数元吗？
是的.对任意 a G F , 只需取 f ( x ) = x — a , 则容易知道 a 是 F 上的代数元.
问题 6.2.5 若 u 是域 K 上的代数元 ， a G X ,则 u + a 是 K 上的代数元吗？
是的. 由于 w 是域 K 上的代数元，记 f ( x ) 为 w 在 K 上的极小多项式，令
g ( x ) = f { x - a ), 则由 /( x ) 是首1的不可约多项式可知贞 a :) 是首1的
不可约多项式.由于 〆? i - \- a ) = f ( u ) = 0,故 u + a 为 K 上的代数元，并且 g ( x ) 为
u -\- a 的极小多项式.容易知道 〆 : r ) 的次数与/ ㈤ 的次数 一 样，因此 , lx + a 在 K
上的次数与 u 的次数是一样的.
问题 6.2.6 设 F 是域 K 的扩张， 苦 u e F 先 K 上的超越元，则任意
v e K ( u),v • K 一定是尺上的超越元吗？
是的.实际上，只需证明若 r 是 K 上的代数元，则 r 一 定属于既
然 K ( u ) 与 K { x ) 是同构的，因此，可以将和 K ( x ) 看作一样.
若 V 二 0, 则明显地，有 设 t ； #0 ， 若 = G K(x)( 这里 f(x) ^
0, g ( x ) / 0, 并且 /(: r ) 与贞 x ) 互素)，〃是 K 上的代数元，则存在极小多项式
' P ( x ) = a 。 + ai + …+ a n x n e K [ x ]. 既然 p ( x ) 是不可约的，因此， a 0 # 0, a n / 0.
由于 p ( v ) = 0,故 a 0 g ( x) n + aif ( x ) g ( x) n ~ l + …+ a n f ( x) n = g { x ) n p ( v ) = 0, 因此，
/( x ) 整除 a 0 g ( x ) n , 并且 g ( x ) 整除 a n f ( x ) n , 故由/(⑷与贞: r ) 互素可知 /( x ) 整除
a 0 , 并且 〆 x ) 整 除如. 既然勿和 a n 是非零的，因而 /㈤ G K 和 Wx ) € K ， 所以,
㈤
G K .
问题 6.2.7 什么是代数数和超越数？
有理数域 Q 上的代数元称为代数数 (algebraic number ), 有理数域 Q 上的超越
兀称为超越数 (transcendental number ).
问题 6.2.8 设 K / F 是域扩张， a 是 F 上的代数元，是 F 上的
代数元，则 a + p 一定是 F 上的超越元吗？
是的. 假设7 = « + 0是 F 上的代数元，由于 F 上的代数元全体是一个域，因
.178 .
第 6 章域的扩张
此， = a 是尸上的代数元，矛盾，所以，« + ^ 一定是 F 上的超越元.
问题 6.2.9 若 a 为 F 上的超越元，则域扩张 F ( a)/F 的次数有可能是有限
吗？
不可能.设 a 为 F 上的超越元，则单扩域 F ( a ) 是 F 的无限扩域.反证法.设 a
是域 F 的超越元，假设 F ( a ) 是 F 的 n 次扩域，则 F ( a ) 中任意 n +1 个元一定是线
性相关的，因此1， a , a 2 , …， a n 线性相关，故存在不全为零的元素知, b u b 2 ，…， b n ,
使得
b G 4- bia + b 2 a 2 + …+ b n a n = 0.
从而 a 是多项式
6() + b\x -f- + • •. + b n x ri = 0
的根，故 a 是 F 的代数元，但这与 a 是域 F 的超越元矛盾.所以，由反证法原理
可知单扩域 F ( a ) 是 F 的无限扩域.
问题 6.2.10 设 F 是尺的域扩张，若 w G F ， r 是 I <( u ) 的代数元，并且 r 是
K 的超越元，则 u —定是 K { v ) 的代数元吗？
是的.设 ry G K ( u )[ x ] 是使得 77 ( 7 ;) = 0 的非零多项式，贝 ll
0 = rj(v) =
/ 0 ⑻ / i ⑻
g 0 (u)^ gi (u)
h ㈦ 2
92H
fn «
Qn { u )
这里 fi,gi e K [ x ], 并且 gi ( u ) ^ 0 对所有 i 成立.
将上面式子两边同时乘以 np =() &( u ), 得
0 = ho(u) 4 - hi(u)v + h 2 (u)v 2 + …+ h n (u)v' r \
这里 hi { x ) = fi ( x ) U^ =Q ^ gkiu ).
由于 K [ x ] 是环，故对于所有的 i , 有 hi G K [ x }. 令 d = maxo9 < n { deg (/^)}, 则
hi(x) = S^ =0 ai, fc x fc , 这里 /c 〉 deg (〜） 时， = 0.
将心代入前面式子，有
d d d d
0 ^ ai^ k u k v + a 2 ,kU k v 2 + … + 工 ] a n , k u k v n
k =0 k =0 k =0 k =0
n d
cL^ k u k v i
t=0 k =0
n / d \
i=0 \A:=0 /
6.2 代数扩张
• 179 .
令 ip ( x ) = ，则 xp ( x ) e K ( v )[ x ], 并且 rp ( u ) = 0.
要证明 u 是 K(v) 上的代数元，只需证明呶 x ) 不是常数多项式.实际上，假
如 ^( x ) 是常数多项式，则对于所有的 A : 〉0,有 = 0. 既然 r 是 K 上
的超越元，因此，1,^; 2 ,…在 K 上线性无关，故对于所有的〉0,有= 0.
故 hi ( x ) = a iy 0 是常数多项式，即 hi ( x ) G K , 但这样的话，由0 = / i 0 ( w ) +
h 2 (u)v 2 + • •. + h n (u)v n 可知 V 是 K 的代数元，因此，除非所有的叫，。= 0,否则矛
盾.但是所有的 i,/c ， 都有 aQ = 0 意味着 ry 是 一 个零多项式，矛盾.因而， ^(:r) 不
是常数多项式.所以， xp(x)e K{v)[x] 是非常数多项式，并且 ^(u) = 0,故 U 是 K(v)
的代数元.
问题 6.2.11 若 F 是特征为素数 p 的有限域，则任意 a e F 都是 F 的素子
域％的代数元吗？
是的.实际上，对于任意 d e F ， 由于 F 是有限的，故对于任意不同的正整数
i 和以 不可能都是不同的，因而一定存在某个正整数 n ， 使得# = 1，故 a
是 Z p 上的多项式 f(x) =x n -l 的根，所以， a 是 Z p 的代数元.
6.2.2 极小多项式
问题 6.2.12 什么是极小多项式？
设 K / F 是域扩张 ， a e K 是 F 上的代数元，则有一个次数最低的首一多项式
/( x ) € F [ x ]^ 使得 /( a ) = 0，这个 f ( x ) 称为 a 的极小多项式 (minimal polynomial ).
问题 6.2.13 Q 上於+抑的极小多项式是什么？
令 rr =於+凡则
x 3 = 6 + 3(^2) 2 (^4) + 3( ^2)( ^4) 2
= 6 + 3(^16 4 - ^ 32 )
= 6 + 3(2 v/2-f 2^4)
= 6 + 6( 於+ ^4)
= 6 + 6x.
故 P — 6 a ; — 6 = 0,所以，+ 75的极小多项式是: r 3 — 6 x — 6.
6.2.3 极小多项式的性质
问题 6.2.14 极小多项式是不是唯一的？
设 K / F 是域扩张 ， a e 若 a 是 F 上的代数元，其极小多项式是 /( x )， 则《
的极小多项式是唯一确定的.
• 180 .
第 6 章域的扩张
实际上，设 g ( x ) 也是 o ； 的极小多项式，则 /( a ;) 整除 g { x ), 并且 〆 : r ) 整除 / Or ),
由于极小多项式都是首一的，故/(4等于 g(x), 所以 a 的极小多项式是唯一确
定的.
问题 6.2.15 极小多项式一定是不可约多项式吗？
是的.
问题 6.2.16 设 K / F 是域扩张 ， a G a 是 F 上的代数元，其极小多项式
是/(工)，若 9(^) ^ 使得分 ( a ) = 0,则 f ( x ) 一定整除 . g ( x ) 吗？
是的.
问题 6.2.17 设 w 和 1 ； 是尸 上的代数元，若 u 的极小多项式次数为 m，v 的
极小多项式次数为 n , 则 w + ?;的极小多项式的次数一定小于 m + n 吗？
不一定.实数域只是有理数域 Q 的域扩张 ， u = \/2, v =於为 Q 上的代数
数，并且 u 的极小多项式次数为2, r 的极小多项式次数为3,但 u + r = v ^ + 於
的极小多项式次数为 6.
实际上，由于 [ F ( u , v ) : F ] = [ F ( u , v ) : F ( i /)] - [ F (? x ) : F ] < [ F ( v ) : F ] - [ F ( ii ) : F ],
并且 F(u -f v ) C F ( u , v ), SS [ [ F(u v ) : F ] ^ [ F ( iz ) : F ] - [ F ( v ) : F ] = mn .
问题 6.2.18 设 ix 和 r 分别是 F 上次数为 m 和 n 的代数元，若 m 与 n 互
素，则的极小多项式的次数一定是 mn 吗？
不一定.令 u =於，|； = 则 u 为有理数域 Q 上次数是3的代数数，极
小多项式为 f ( x ) = x 3 - 2 . v 为有理数域 Q 上次数是2的代数数，极小多项式为
g(x) = X 2 +x + 1，但 m; 的极小多项式 h(x) = x 3 — 2, 所以， UV 为 Q 上次数为 3 的
代数数.
问题 6.2.19 设 F(a) 是成 F 的单代数扩张， p(x) 是 a 的极小多项式，若
是扒：!：）的一个零点，则 F(a) 一定与 F{f3) 同构吗？
是的 • 由于 F(a) = {/(a) I f ( x ) e F[x]},F(P) = {/(/?) | f ( x)e F[x]}, 故定义
W : f ⑹㈠ /⑹时，当 f(x),g(x) e F[x],/(a)=〆 /?) 时， = f(x) - g(x) 有零
点 a , 故 p(x) —定整除 h(x), 因此， /i(/3) = 0, 因而， f(0) = g(j3), 所以， w 的定义是
合理的.容易验证#是域同构，所以， F ( a ) 一定与 F {(3) 同构.
问题 6.2.20 设 F(a) 和 F(f3) 是域 F 的单代数扩张，若 F(a) 与 F((3) 同构,
则 a 和"的极小多项式一定一样吗？
不一定.容易知道 Q ⑷和 Q 都是有理数域 Q 的单代数扩张，并且
2 2
Q ( i ) 和 Q 相等，但^的极小多项式为 + 的极小多项式为
6.2 代数扩张
• 181 .
所以， a 和的极小多项式不一样.
问题 6.2.21 域 F 的超越元存在极小多项式吗？
不存在.这是由于它不是 F 中任何非零多项式的根.
问题 6.2.22 设 K 是 F 的域扩张 ， a e X ，若 F ( a ) = F ( a 2 ), 则 a 是 F 上的
代数元吗？
是的.由于 a € F ( a 2 )， 而 F ( a 2 ) 中的元都一定可以表示成系数在 F 的两个多
项式的商在 Q 2 的值，故存在多项式 f(x),g(x) e F [ x ], 使得 a = % 并且 p ( x )
9{ ot z )
不恒等于 0. 由于多项式 xg(x 2 ) 的次数为奇数，但多项式 /( x 2 ) 的次数为偶数，故
多项式 h(x) = xg(x 2 ) - f(x 2 ) e F[x] 不恒等于0,因为 a 是多项式 h(x) 的根，所
以， a 是 F 上的代数元.
问题 6.2.23 设 E 是 F 的扩域，若 a 是 F 上的超越元，则任意属于 F ( a ),
但不属于 F 的元都是 F 上的超越元吗？
是的. 设0 e F ( q ), 则/? = 这里 r (: r ) 和 s (: r ) 都是系数在 F 的多项式.
s(a)
假如 P 是 F 上的代数元，则存在多项式 /( x ) € F [ x ], 使得 /(/?) = 0,记 /( a :) 的次
数为 n •在/(/3) = 0两边同时乘以 s ( a ) n , 有 f(0)s(a) n = 0,故多项式 f(x)s(x) n
满足 f ( a ) s(ar = 因此, a % F 上的代数元，但这与 a 是 F 上的超越元矛盾，所
以， J 3 是 F 上的超越元.
6.2.4 域的代数扩张
问题 6.2.24 什么是代数扩张？
设 K / F 是域扩张•若 A ' 中任何元素都是 F 上的代数元，则称 K / F 为代数扩
张 (algebraic extension ).
问题 6.2.25 若 K / F 是有限扩张，则 K 中任何元素都是 F 上的代数元吗？
是的•设 [K : F ] = n , 则对任意的 q € K ， l ， a ， a 2 ,...， a ” 是线性相关的，因而
存在不全为零的 ao , ai , a 2 , • • * , a n e F , 使得
a o + aia + a2Ck 2 + • •. + a n a n = 0.
所以 a 是 F 上的代数元.
由此可见，若 K / F 是有限扩张，则 K/F 一定是代数扩张.
问题 6.2.26 如果 A 7 F 是代数扩张，那么 K/F 一定是有限扩张吗?
.182 •
第 6 章域的扩张
不一定.如在有理数域 Q 上添加所有方程 x n -2 = 0 (n = 2,3,.-.) 的全体复
数根所得到的扩域是代数扩张，但不是有限扩张.
问题 6.2.27 如果 K/F 是代数扩张，是一个环，并且 F G 尺 g X ，那么 i ?
一定是域吗？
是的.不妨设则对 r G R \ F , 有 r # 0. 既然是 F 上的代
数元，故存在极小多项式 f ( x ) = x n - {- a n -\ x n ~ l -f * • • -f a\X + a 0 G F [ x ]. 既然 /(x)
是不可约的，因此 ， ao # 0 .由 /( r ) = 0 可知
问题 6.2.28 域扩张 E / F 是有限扩张当且仅当它是有限生成的代数扩张吗?
是的•若 E / F 是有限生成的代数扩张，则存在代数元％%，…， a n e E ，使
得 E = F ( ai , a 2 , - - - ，如)•记及= F ( ai ， a 2 ,... ，叫)，则对 i > 1, Ei 中的元是 E^i
上的代数元，故
[Ei : Ei - i ] < oo ,
从而
[E : F ] = [ E n : £^- 1 】…的： Ei][Ei : F ] < oo .
所以域扩张 E / F 是有限扩张.
若 E / F 是有限扩张，则五中任何元素都是 F 上的代数元，故 E / F 是代数扩
张•令 m 是域 F 的向量空间 E 的一组基，则 E = F [ H " ，/ 3 n ) ，所
以 E / F 是有限生成的代数扩张.
问题 6.2.29 若 F 是无限域，则对 F 的任意真扩张 E ， 商群 E ” F * 是有限
生成的吗？这里和分别是 E 和 F 的乘法群.
Bmndis 在1965年证明了上面问题的答案是否定的①.
问题 6.2.30 设 F(a) 是 F 的单扩域，若属于 F(a), 但不属于 F ， 则 F(a)
一定是 F ( P ) 的代数扩张吗？
是的.实际上，容易知道 F g F (0) C F ( a ). 既然 e F ( a ) ? 因此 ，0
咖）
这里 , f ( x ) Mx ) e F [ xl 并且贞： r ) 不恒等于0,另外，由于分子和分母可以约去 Q 的
幂，故不妨假定 /( x ) 或者—定有非零的常数项.令 / i ( x ) = /( x ) -如 (: r )， 则
A (： r ) 是 F (0) 上的多项式，并且 a 是 h (: r ) 的根.若恒等于0,则 g (0 )P = /(0),
① Brandis A. Uber die multiplikative Struktur von Korpererweiterungen. Math. Z., 1965, 87:
71-73.
6.2 代数扩张
• 183 .
故 WO ) # 0 ,否则的话必有/( 0 ) = 0 = g ( 0 )， 但这与 f ( x ) 或者贞 x ) —定有非零的
常数项矛盾.因此必有 G 但这与 0 不属于 F 矛盾.因而， / i (: c ) 是
分 (0)
的非零多项式，故 a 是 F ((3) 的代数元.从而， F ( a ) = F ( p )( a ) 是代数扩张，因此，
它是有限扩张，所以，由有限扩张都是代数扩张可知 F ( a ) 是 F ( p ) 上的代数扩张.
6.2.5 代数扩张的传递性
问题 6.2.31 若 E / F 和 L / E 都是代数扩张，则 L / F 是代数扩张吗？
是的.对任意的 a G L , 由于 a 是五上的代数元，故存在极小多项式 /( x ), 使
得 /( a ) = 0 .
极小多项式 /( x ) 是首 1 多项式，故可以设
/(^) = bo b\x -h 62 + • •. + b n —\ x 11 1 + x n ,
其中 6 0 , 62 ,... ， b n —i 6 E .
由 b 0 ， b u b 2 , … h 都是尸 上的代数元可知， F ( b 0 ， b u b 2 , … , 6 n _!) 是 F 的
有限扩张.
由于 /(») = 0 , a 是 F ( b 0 , bi , b 2 r ' -，心- 1 )上的代数元，故
[F(6o, fh ， b 2 , … ， 6 n _i,a) : F(6o, 61,62, • •. ， 6 n -i)] < 00.
由 [ F ( 6 0 , b u b 2 ，…， 6 n _!) : F ] < oc 和域扩张的次数公式可知
…, 6 n _ i , a ) : F ] < CX ),
所以， a 是 F 上的代数元.
6.2.6 代数闭域
问题 6.2.32 什么是代数闭域？
设 K 是一个域，若 K 上的每个非常数的多项式在 K 上有根.则称 K 是一个
代数闭域 (algebraically closed field ).
问题 6.2.33 有理数域和实数域是代数闭域吗？
都 不是. 由于多项式 x 2 - 2 在有理数域 Q 上没有根，故有理数域 Q 不是一个
代数闭域.多项式/ + 1 在实数域 i ? 上没有根，因此，实数域也不是一个代数
闭域.
问题 6.2.34 复数域是代数闭域吗？
• 184 -
第 6 章域的扩张
是的.由代数基本定理可知，任何一个复系数多项式都至少有一个复数根，因
此复数全体 C 是一个代数闭域.
问题 6.2.35 设 C 是复数域，则 （7 是代数闭域.若 F 是复数域 C 的真子域，
则 F 有可能是代数闭域吗？
不可能.由于 F 是复数域 C 的真子域，因此 ， F —定包含有理数 Q . 若存在
a + e C ， 但 a + 不属于 F ， 则容易知道多项式 f ( x )= - + 1的系数都在
Q G F 中，并且 f ( x ) 在 F 中没有根，所以， F 不是一个代数闭域.
问题 6.2.36 整数域 Z 2 是代数闭域吗？
不是 . 的多项式/ ㈤ = x 2 + x + 1在没有根，因此不是代数闭域.
问题 6.2.37 对于素数 p ， 整数域 Z p 是代数闭域吗？
不是. 由于任意 a € Z p ， 都有 a p — a = 0,故 Z p 的多项式 f ( x ) = x p — x + 1在
z p 没有根，所以， z p 不是代数闭域.
问题 6.2.38 代数闭域的特征一定是0吗？
不一定•设 p 是素数，则特征是 p 的有限域 F 的一个代数闭域的特征为
P . 若 F p 是 F 的 素域 ， [_F : F p ] = n , 则 F 刚好是多项式 — x 在中的 p n 个
根所组成的域，对于每个 n > 1 ,在中有且只有唯一的泸个元素的域 F p n , 而
且 Dp = Un^l ^ P n *
问题 6.2.39 任意域 F 的代数闭域一定存在吗？
是的. 考虑 F 的所有代数扩张，用 Zorn 引理可以证明 F 的代数闭域一定
存在.
问题 6.2.40 设尺是一个域，则下列命题等价吗？
(1) K 是代数 闭域；
(2) K 上的任意一个非常数的多项式 f ( x ) 都有一次 因子；
(3) K 上的任意一个非常数的多项式 f ( x ) 都可以分解成一次因子的乘积，即
f ( x ) = a(x - ai)(x - a 2 ) • • • (x — a n ) 对 a ; G ZsT , 但 ％ 不一定互不相同.
是的. (1 )^(2) ^ K 是代数闭域，非常数的多项式 /( x ) G K [: r ]， 则 /(: r ) 在 K
有根 a , 因此 x - a 是 /( a :) 的一 '次 因子.
(2) ^(3) 非常数的多项式 /( x ) G K [ x ]， 则 /( rr ) 在 K 有一次因子 x — ^，因此
f ( x ) = ( x - 仍⑷，若 gi ( x ) 的次数大于1，则仍 ㈤ 在 K 也有一次因子 : r 一 a 2 ,
使得 9 i { x ) = ( x - a 2 ) g 2 { x ), 因此 f ( x ) = (x - ai)(x - a 2 ) g 2 ( x ). 从而容易知道 f ( x )
可以分解成一次因子的乘积.
(3) 4(1) 这是明显的.
6.2 代数扩张
. 185 .
问题 6.2.41 代数闭域是否可能是有限域？
不可能.若域 F 是有限域，并且只有 ( 7 个元素，则 9 次多项式/ ㈤ = U aeF ( x -
a ) + 1 在 F 上没有根，因此 F 不是代数闭域，所以代数闭域一定是无限域 •
明显地，无限域不一定是代数闭域，如多项式 x 2 + 1 在实数域只上没有根，因
此，实数域不是一个代数闭域.
问题 6.2.42 设 F 是域，若 F 上的不可约多项式都是一次多项式，则 F —定
是代数闭域吗？
是的.假如 F 不是代数闭域,则存在多项式 p ( x ) €厂 ㈤ 和 a 0 F 使得 p ( a ) = 0.
由于 _ F 上的不可约多项式都是一次多项式，故 p (: r ) 是一次多项式的乘积，即
p{x) = (a，ix + bi)(a 2 x + 62 ) … (a n x + b n ),
这里叫, bi e F . 由于 p ( a ) = 0, 故
p(a) = (aia -h bi)(a 2 a + 6 2 ) … (a n a + b n ) = 0,
故 A a + 61 = 0 ，因而 ， a = ^- € F , 但这与 a 丰 F 矛盾，所以， F 是代数闭域.
0 \
问题 6.2.43 若五是尸的扩域，则 F 在 E 内的相对代数闭包是什么？
域 F 在 E 1 内的相对代数闭包 (relative algebraic closure) 是 = {q e E \ a
是 F 上的代数元
问题 6.2.44 若五是 F 的扩域，则 F 在五内的相对代数闭包一定是代数闭
域吗？
不一定.对于有理数域 Q , 实数域尺是 Q 的域扩张， Q 在 i ? 的相对代数闭包
Q r 不是代数闭域.实际上，多项式/ ㈤ = x 2 + 1 在/?上没有根，因此，/ ㈤ 在仏
上也没有根，所以， Q 在 R 的相对代数闭包不是代数闭域.
问题 6.2.45 有理数域 Q 在实数域丑内的相对代数闭包是 Q 的有限扩
张吗？
不是.这是由于对于任意 n G Z,n ^ 2,多项式 x 2 - 2在 Q [ x ] 是不可约多项
式，故对于任意 neZ , Q 有次数为 n 的有限扩张，所以， Q 在 R 内的相对代数闭
包 Pr 不是 Q 的有限扩张.
问题 6.2.46 有理数域 Q 在实数域 7? 内的相对代数闭包是丑吗？
不是.有理数域 Q 在实数域 C 内的相对代数闭包是 Q 上的所有代数数.由于
7 T 属于 R , 但它不是 Q 上的代数数，所以，有理数域 Q 在实数域 7 ?内的相对代数
闭包不是凡
.186 .
第 6 章域的扩张
问题 6.2.47 设 E AF 的扩域，则 F 在 E 内的相对代数闭包为 Pe , 若 a
不属于，则 a 一 M 的超越元吗？
是的.假如 a 是 Fe 的代数元，则 F E ( a ) 是 Fe 的代数扩张，由于：^;是 F
的代数扩张，故 ⑹是 F 的代数扩张，但这与 a 不属于 F e 矛盾.所以 ， a —定
是的超越元.
问题 6.2.48 设 E 是 F 的扩域，若五是代数闭域，则 F 在£；的相对代数闭
包一定是代数闭域吗？
是的.若/ ㈤ 是上的非常数多项式，欲证明/⑷在有根.明显地,
f ( x ) e E [ x ], 由于 E 是代数闭域，故 /( x ) 在 E —定有根 a . 假如 a 不属于 F &
则 a 是&的超越元，但《是 /⑷ e F e [ x ] 的根，矛盾.因此 ， a —定属于 F ^； ，故
对于歹 E 上的任意非常数多项式 f ( x )， f ( x ) 在 T e 一定有根 a ， 所以 , F e 是代数
闭域.
问题 6.2.49 域 F 的代数闭包是什么？
域 F 的代数闭包 (algebraic closure ) 是 F 的代数扩张，并且它是包含 F 的代
数闭域.
事实上，若域 F 的代数闭包 P 是 F 的代数 扩张， 并且它是代数闭域，则 F —
定是 F 的代数闭的代数扩张中最小的，这是因为若 FCKCF , 如果有 a e 尺但
m 不属于那么由 a 是 F 的代数元可知 a 是 A ： 上的代数元，因而， a 的极小多
项式是 K [ x ] 上的不可约多项式，所以， K 不是代数闭域.
问题 6.2.50 有理数域 Q 的代数闭包是吗？
不是.有理数域 Q 的代数闭包是 Q 上的所有代数数.
问题 6.2.51 素域 Z p 的代数闭包的特征一定是 p 吗？
是的.实际上，素域 Z p 的代数闭包就是所有 阶为泸 的域的并集.
问题 6.2.52 任意域的代数闭包一定存在吗？
是的.用 Zorn 引理可以证明任意域的代数闭包一定存在.
问题 6.2.53 域 F 的代数闭包一定是唯一的吗？
在保持 F 的元素不变的域同构下，域 F 的代数闭包一定是唯一的.
问题 6.2.54 域 F 的代数闭包一定是 F 的最大的代数扩张吗？
是的. 若 E 是 F 的代数扩张，则 E 的代数闭包也是 F 的代数闭包，因此 ， F
的代数闭包一定包含五.
问题 6.2.55 若 E 是域 F 的代数扩张，尺是五的代数闭包，则尺一定是 F
的代数闭包吗？
6.3 Galois 域和分裂域
• 187 -
是的.这是若 E 是 F 的代数扩张， K 是 E 的代数闭包，则 K 是五的代数扩
张，因此， K 是 F 的代数扩张，所以 ， K 一定是 F 的代数闭包.
6.3 Galois 域和分裂域
6.3.1 Galois 域的定义
问题 6.3.1 什么是 Galois 域？
元素个数有限的域称为有限域或 Galois 域.
问题 6.3.2 可除环一定是域吗？
不一定.如四元数可除环就是最简单的非交换可除环，但它不是域.可以证明
任意有限可除环一定是可交换环，因此有限可除环一定是域.
6.3.2 Galois 域的元素个数
问题 6.3.3 设有限域 F 的特征为 p ， F 的素子域为 F 0 , [尸：凡]= n , 则有限
域 F 中元素个数为吗？
是的.由于有限域 F 的特征为 p ， 故 F 含有素子域凡@ Z p , 故|凡| = p .由 F
是 Fo 上的向量空间和 [F : F 0 ] = n 可知， F 中每个元素都可以唯一地表示为
d\u\ + a 2 u 2 H - h a n Un,
其中… ， a n G F 0 , L …， Mn 是 F 在的一组基，由于每个 (2 i 可以取
凡中 P 个不同的元素，同时 H ..、 u n 线性无关，所以 F 含有 p n 个不同的
元素.
问题 6.3.4 8阶的有限域存在4阶的子域吗？
不 存在. 实际上若 F 是8阶的域, i / 是 F 的4阶子域，则丑* = \ {0} 是3
阶的乘法群，= F \ {0} 是7阶的乘法群，由拉格朗日定理可知 //* 不是的
乘法子群，所以，8阶的有限域不存在4阶的子域.
问题 6.3.5 存在阶为10的整环 丑吗？
不存在.实际上，整环只就是有单位元 1(1 / 0), 并且没有零因子的交换环.对
于任意 aeR . a ^ O , 由于有 限环尺 没有零因子，故对于任意 c，de R ， c 羊 d 、 都有
ac ★ ad , 槪 aR = FL 由 1 e 只可知存在 b e R , 使得= 1. 由于 i ? 是交换环，故
a 是乘法可逆元，因此， i ? 的每个非零元都是乘法可逆元，因而 ，只 一 定是域，但10
不是某个素数的幂，所以，不存在阶为10的整环.
.188 .
第 6 章域的扩张
问题 6.3.6 若 F 是有限域，则对于任意 u € F , 都 存在： r , 使得
u = x 2 + y 2 吗？
是的.设 F 的特征为贝 U | F | = p n . 定义映射 — F 为: r ^: r 2 •若 p = 2,
则不难验证 t 是同构，并且 u P + 0 2 对任意 ueF 都成立，因此结论成立.
若 p 〉2,则当 o : 2 = y 2 时，有 z = 土 y ， 故 r 的像中的元素一定大于等于
令 m = 并选出 m 个不同的元 A = { xlxl -^ mDCF . 对于给
出的 w G i 7 *， 每个 xf — u 都是不同的，故 B = {4 — u , a ：2 — u , ••- , x^ n — w } 有 m 个
不同兀，因此， | A | +网= p ?, -f 1 > p T1 = | F |, 由于乂和 J 5 都是加法群，因而，一定
有 F = A + B .
由0 G /可知，0 = xf + # — u ， 故 w = X ? + €,既然 w 是任意选的，所以，结
论成立.
6.3.3 多项式的分裂域的定义
问题 6.3.7 什么是分裂域？
设 F 为域， f [ x ) 为 F 上的首一多项式 ， E 为 F 的扩域，若
(1) E = F(ai,a 2 , ••- , a n )；
(2) f ( x ) = (x - ai)(x - a 2 ) • • • (x - a n ).
PHI E 称为 f ( x ) 在 F 上的分裂域 (splitting field) 或根域 (root field).
若 E 为某个多项式 /(: r ) 在 F 上的分裂域，也称 E 为 F 上的一个分裂域.
6.3.4 多项式的分裂域的存在性和唯一性
问题 6.3.8 Kronecker 定理是什么？
Kronecker 定理 设 F 为域， f ( x ) 是 尸 [ x ] 中的一个不是常数的多项式，则
一定存在 F 的一个扩域尺，包含 f ( x ) 的一个根.
问题 6.3.9 对于给定的域 F 和 F [ x ] 中的多项式 /( z )， 是不是一定存在 F 的
护域使得 /(. T ) 在 I <[ x ] 中能够分解成一次因式的乘积呢？
是的•设 F 为域， /(X) e F [ x ], /(X) 在 F 上的分 裂域五 一定存在.
问题 6.3.10 多项式 f ( x ) 在不同域上的分裂域相同吗？
不一定.多项式 f ( x ) 在不同域上的分裂域可能相同，也可能不相同.如: r 2 - 2
在有理数域 Q 上的分裂域与在 Q { V 2) 上的分裂域是相同的，都是 Q { V 2).
问题 6.3.11 设和/( 2 是 F 在域尺 的有限扩张，若它们都是 F 上的分
裂域，则 心 / G 和 K 门冗2都是 F 上的分裂域吗？
是的.
6.3 Galois 域和分裂域
- 189 -
若 Ki 是 f ( x ) G F [ x ] 的分裂域，/( 2 是 i ^( 工 ） G 的分裂域，则 K \ I 〈 2 包含
了 /⑷和9 ㈤ 的所有根，因此，是 F 上的分裂域.
设贞 ㈨ G F [別是一个在 K ^ K 2 有根的不可约多项式，则 p ( x ) 在和
都有根，故 〆 x ) 的所有根都在7^和中，因此, 〆X )的所有根都在7^门^2中，
所以，是 F 上的分裂域.
问题 6.3.12 设有限域 F 的特征为 p , F 的素子域为 F 0 , F 含有 p n 个元素，
则 F 是多项式 x 在 F 0 的分裂域吗？
是的.
若 F 是有限域，则 F 的元素个数一定是某个素数 P 的幂，那反过来呢？
问题 6.3.13 对任意的素数 p 的幂 p n ， 是否一定存在有限域，它的元素个数
为 p n ?
是的. Galois 证明了若 p 是素数， n 是正整数，则存在恰好有 p n 个元素的域.
实际上.若 p 是素数， n 6 Z , n ^ l , 则多项式 X ， - x 在的分裂域是一个
恰好有 p n 个元素的域.
同阶有限群或环不一定同构，但元素一样多的有限域却是同构的.或者说，有
限域的性质是由其所含元素的个数唯一决定.
问题 6.3.14 同样多个元素的域一定是同构的吗？
是的.若域£；和 F 的元素个数相等，则由于有限域的特征一定是某个素数 p ,
元素个数必为某个素数 p 的幂，故不妨记为 p ' 则五和 F 的素子域都与 Z p 同
构，并且£:和 F 都是它们的素子域上多项式 X ， - x 的分裂域，所以五和 F 是同
构的.
问题 6.3.15 Z3 上的多项式 f(x) = x 4 — x 2 — 2 的分裂域是什么？
由于 f(x) = x 4 — x 2 — 2 = x 4 — 4 a; 2 + 4 = (: r 2 — 2) 2 ，故 f(x) = a: 4 — x 2 — 2的
分裂域为
Z^[x\/[x 2 — 2 ) = {0, 1, 2 , o：, o ； -(- 1, a -h 2 , 2 a , 2a + 1, 2 a + 2 },
这里 a = x + (^ 2 - 2). 由于在 Z 3 上有: c 2 — 5 ：= a: 2 + T, 故 f(x) = x 4 — x 2 -2 的分
裂域可以看作 Z 3 ( i ).
问题 6.3.16 Z 2 上的多项式 /(: r ) = x 3 + :r + T 的分裂域是什么？如何将 /(㈨
写成一次多项式的乘积？
不难验证 f ( x ) 为 Z 2 上的不可约多项式，故 /( x ) - x 3 + x + T 的分裂域为
Z 2 [x]/(x 3 + x + l) = {0, T, a,a + l, a 2 , a 2 -f T, a 2 + a, a 2 +a + T }，
• 190 .
第 6 章域的扩张
这里 a = x -(x 3 + x -f 1).
由于 a 是 a: 3 + ： r+T 在 Z 2 [ x ]/( x 3 + x + T) 的根，故 : r + a 是 x 3 +:r + l 的因
子，故
a: 3 + x + 1 = (x + a){x 2 + a:r + a 2 + 1).
不难验证 /(a 2 ) = 0 和 /(a 2 + a) = 0 ,故
x 3 -h x -|- 1 = (a; + a)(x 2 + ax + a 2 + 1)
= (x + ol){x — a 2 )(x — (a 2 + a))
=(x -f- a)(x -h a 2 )(x + a 2 + a).
问题 6.3.17 若 F 是尺的次数为 2 的域扩张，则 F —定是某个尺上的多
项式的分裂域吗？
是的. 设 u 豸 K ， 则 2 = [F : K] = [F : K(u)] • [K{u) : K], ik [K{u) : K]
整除 2 . 既然 u 朱 K 、 因此， \K{u) : K] = 2, 并且 [F : K(u)] = 1, 从而 ， F = K(u).
设 f(x) 为 U 在 K 上的极小多项式，则 f(x) 的次数为 2, 记 f(x ) 的另外一个根为
1 ；，则 f(x) = X 2 -[-ax+ b = (x — u)(x — v ), 故 a = -(u-\-v ), 因此 ， = —(a + u ). 既然
a £ K C K(u) = F,u 6 K(u) = 因此 ， r G K{u) = F. 所以 ， F == 是 f(x)
的分裂域 .
6.3.5 Galois 域是其素子域的单扩域
问题 6.3.18 设 F 是域，若 F 中的非零元构成的乘法群是循环群，则 F
一定是有限域吗？
是的.设'〃是的生成元，若 F 的特征不是2,则 -1 # 1,故一定存在某个
正整数 n 〉1，使得 W = - 1，因此 ， w 2n = 1，所以，的阶是有限的，并且三 Z 2n .
若 F 的特征是2,则 F 的素子域为 Z 2 , 并存在某个正整数 n , 使得 ，= u + 1，
故 F = Z 2 ㈦ 是么的有限扩张，并且: Z 2 ] = n ， 所以， F 是有限域.
问题 6.3.19 Galois 域是其素子域的单扩域吗？
是的.这是 Galois 域的一个重要刻画.
6.3.6 正规扩域
问题 6.3.20 什么是正规扩域？
设五是 F 的代数扩域，如果 E 满足以下 条件： 中的任一不可约多项式
/( x ), 或者在五中无根，或者每个根都在 瓦中， 则称 E 是 F 的正规扩域或正规扩
张 (normal extension ).
6.4 方程的根式解
- 191 -
问题 6.3.21 若五是 M 的正规扩域， M 是 F 的正规扩域，则五是 F 的正
规扩域吗？
不一定. Q ( v /5) 是 Q 的正规扩域， Q (於）是 Q ( v ^) 的正规扩域，但 Q (於）不
是 Q 的正规扩域，这是由于 f { x ) = x 4 - 2 e 是 Q 上的不可约多项式，并且
f(x) 有一个根於属于 Q (^)， 但 /( x ) 的根不属于 Q«/2).
问题 6.3.22 设 E A F 的扩张，则五是 F 的正规扩张的充要条件为£；是
F [ x ] 的一族多项式的分裂域吗？
是的.
问题 6.3.23 设 E 是 F 的有限扩张.则£；是 F 的正规扩张的充要条件为
五是 F [: r ] 的某个多项式 /( x ) 的分裂域吗？
是的.
6.4 方程的根式解
6.4.1 Galois 群
问题 6.4.1 什么是自同构群？
一个域到自身的同构称为自同构，由于群的自同构必把单位元变为单位元，故
域的自同构必把 （ E, + ) 的单位元 0 变为 0, （£；*,•) 的单位元1变为 1. E 的自同构
全体关于变换复合构成群，称为五的自同构群，记为 Aut
问题 6.4.2 设 Aut(C) 是复数域 C 到 C 的域自同构全体，若 a e 使得
{a(a) | a e Aut(C)} 是有限集合，则 a —定是 Q 上的代数数吗？
是的. 若 aeC 是 Q 上的超越数，则 { a } 可生成 g 上的一个不可数的基，因
此， ( rr ( a ) | a G Aut ( C )} 一定是不可数的，所以，当 { cr ( a ) | a G Aut ( C )} 有限时 ， a
一定是 Q 上的代数数.
问题 6.4.3 什么是 E/F 的 Galois 群？
若 E 是 F 的扩域，则自同构集合
Gal(E/F) = G Aut E, a(a) = a 对任意 a G F 成立 }
是 Aut 五的子群，称为的 Galois 群.
问题 6.4.4 若 F 是域，则 Galois 群 Gs\(E/F) 是什么？
若 F 是域，则 Galois 群 Ga\{E/F) 只包含恒等同构.
问题 6.4.5 若 C 是复数域，是实数域，则 Galois 群 Gal(C//?) 是什么？
• 192 .
第 6 章域的扩张
Galois 群 Gal(C/,R) 只包含恒等同构和共轭同构两个元素.
问题 6.4.6 什么是 /(x) 在 F 上的 Galois 群？
设 F 是任 一域， f ( x ) e F [ x ], /( rr ) 在 F 上的分裂域 是五， 则称 Gal(£ ； /F) %
/(o:) 在 i 7 * 上的 Galois 群，并记为 G/.
6.4.2 Galois 群的性质
问题 6.4.7 设 F 是任一域， f(x) e 尸 [x ]， 五为 f[x) 在 F 上的分裂域， G/ 为
/㈤ 在 F 上的 Galois 群，则任意 aeGf 都将 f(x) 的根映为 f(x) 的根吗？
是的.这是由某个多项式 f ( x ) 确定的 Galois 群的一个重要性质.
6.4.3 Galois 群的阶
对于多项式的 Galois 群来说，群 Gal(E/F) 的阶恰巧就是扩域的次数 [E 1 : F].
问题 6.4.8 设 f { x ) e F [: r] 在 F 上的分裂域是五，则
|Gal(E/F)| = [E:F]
一定成立吗？
是的.
问题 6.4.9 什么是 Galois 扩张？
设 E/F 是一个有限扩张，若 [五： Fj = |Gal(jE ； /F)|, 则称 E/F % Galois
扩张.
问题 6.4.10 扩张 Q{V2)/Q 是不是 Galois 扩张？
不是. 设 a G Gal(Q(^2)/Q), a = a( 於)•由于（於 ) 3 = 2, 故
a 3 = a ( 於 ) 3 = o{(y/2f) = a{2) = 2.
但於是 Q (於） C 及中唯一满足这个条件的数，因此 a =於，从而 a 是恒等映射，
因而 |Gal(Q(^2)/Q)| = l^ [Q(^2):Q], 所以扩张 Q [ V 2 ]/Q 不是 Galois 扩张.
问题 6.4.11 有限域的任何一个有限扩张一定是 Galois 扩张吗 ?
是的.设 F A 是含 g 个元素的有限域， E 是 F 的一个 n
E = • F'gn •令
(p •• E — E ， a i—► a q .
次有限扩张，则
则 Gal(E/F) 且 p 生成 Gal ( 五 /F) 的 n 阶循环子群.
因此 \ G - a \( E / F)| = n = [E 1 : F], 所以 五 /i 7 是 Galois 扩张.
6.4 方程的根式解
. 193 -
问题 6.4.12 什么情况下称 /(x) 是可分的？
设 F 是域, /( x ) 是中的非常数多项式，若 f ( x ) 是不可约的，并且 /( x ) 在
F 的任意 一 个扩域中都没有重根，则称 /( x ) 是可分的 ( separable ).
问题 6.4.13 有限扩张 EjF A Galois 扩张的充要条件为五是系数在 F 的
某个可分多项式的分裂域吗？
是的.
问题 6.4.14 Galois 基本定理是什么？
Galois 理论基本定理 若 E 是 F 的有限维 Galois 扩张，则在该扩张的全部
中间域所构成的集合与 Galois 群 Ga \( E / F ) 的全部子群所构成的集合之间存在一
一对应，并且
(1) 两个中间域的相对维数等于对应子群的相对指数.特别地， | Gal ( E / F )| =
[E : F }.
(2) F 在每个中间域 K 上都是 Galois 扩张，另外，五在 K 上是 Galois 扩张的
充要条件是对应的子群 Ga \{ E / K ) A G ^\( E / F ) 的正规子群，并且此时，
Gal(£ ； /F)/Gal(£yA— ) 与 Gal(AVF) 同构.
若 K u K 2 E / F 的中间域 ， g K 2 , 则定理中的相对维数是指维数 :
^ i ]. 对于 Galois 的 H U H 2 是 Gal ( E / F ) 的子群，拓 [ // 2 ,则将指数[// 2 :的]称
为和的相对维数.
6.4.4 n 次多项式的 Galois 群
问题 6.4.15 多项式 f ( x )= x 4 -5 的 Galois 群 G7 —定与二面体群乃 4 同构
吗？
是的. 根据 Eiseiistein 判别法，容易知道 /㈤ 是不可约多项式， 设 F 为 f ( x )
的分裂域， a 为 /(: c ) 的一个实数根，则
QCQ(a)CQ(a,2) = F,
故
[F : Q ] = [ Q { a , i ) : Q ( a )] • [ Q ( a ) : Q ] = 2 • 4 = 8,
因此， Galois 群 G / 是对称群 S 4 的 8 阶子群.由 Sylow 定理可知 S 4 的 8 阶子群
都是共轭的，因而它们都是同构的，因为 D 4 可看作对称群&的 8 阶子群，所以,
Galois 群 Gy •与 D4 同构.
6.4 方程的根式解
. 195 .
设 F 为域,中多项式 /( x ) 在 F 上的 Galois 群为，则 / ㈤ = 0 可用根
式求解的充要条件为是可解群 .
问题 6.4.21 高于四次的一般代数方程不可能用根式求解吗？
是的.这是 Abel 在 19 岁时证明的 .
问题 6.4.22 设 f ( x ) 是有理系数的素数> 5) 次不可约多项式，若 f ( x )
有且仅有一对共扼非实根，则代数方程 f ( x ) = 0不能用根式求解吗？
是的.这是 Galois 证明的 .
参考文献
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索
A
Abel 群 (Abel group), 1
B
半群 (semigroup), 1
本原多项式 (primitive polynomial), 123
不可约兀 (irreducible element), 115
布尔环 (Boolean ring), 69
C
超越元 (transcendental element), 176
D
单环 (simple ring), 80
单位 (unit), 70
带余除法 (division with remainder), 109
代表兀 (representative element), 142
代数闭域 （algebraically closed field), 183
代数扩张 （algebraic extension), 181
代数元 （algebraic element), 176
单扩张 (simple extension), 171
单群 （simple group), 46
第二同构定理 (second isomorphism theo¬
rem), 53
第一同构定理 (first isomorphism theo¬
rem), 53
多项式 (polynomial), 106
E
二兀运算 (binary operator), 1
F
分裂域 (splitting field), 188
引
分式域 (field of fractions), 95
Fermat 小定理 （ Fermat’s little theorem), 34
G
根 （ root), 107, 125
共扼子群 （conjugate subgroup), 40
轨道 (orbit), 141
Galois 扩张 （Galois extension), 192
Galois 群 (Galois group), 191
Galois 域 (Galois field), 187
H
核 （ kernel), 47
合成群列 (composition series of a group),
161
环 (ring), 62
换位子群 (commutator subgroup), 42
J
极大理想 (maximal ideal), 96
极小多项式 （minimal polynomial), 179
交错群 （alternating group), 28
K
可解群 (solvable group), 161
可逆兀 (invertible element), 2
可约多项式 (reducible polynomial), 118
可约元 （reducible element), 115
可除环 (dirisible ring), 73
L
Lagrange 定理 (Lagrange theorem), 31
理想 (ideal), 76
.198 .
索
弓
零因子 (zero divisor), 70
轮换 (cycle), 25
M
满同态 (epimorphism), 47
模 (module), 135
N
逆元 (inverse element), 2
O
偶置换 (even permutation), 27
P
陪集 (coset), 29
Q
群 (group), 1
群的阶 (order of a group), 7
群作用 (group action), 140
S
商环 (quotient ring), 79
商群 (quotient group), 38
素理想 (prime ideal), 101
素域 (prime field), 170
Sylow 定理 (Sylow theorem), 149
Sylow 子群 (Sylow subgroup), 148
T
特征 （ characteristic)，98
特征子群 （characteristic subgroup), 38
拓扑群 (topological group), 58
W
无限群 (infinite group), 7
稳定子群 (stabilizer), 141
X
相伴 (associate), 115
像 (image), 47
循环群 (cyclic group), 17
Y
么半群 (monoid), 1
有限群 (finite group), 7
有限域 (finite field), 187
有限扩张 (finite extension), 172
域 (field), 92
Z
正规化子群 (normalizer), 44
正规扩张 (normal extension), 190
正规子群 (normal subgroup), 35
中心 （ center), 16
中心化子 (centralizer), 16
主理想 (principal ideal), 85
主理想整环 (principal ideal domain), 112
户环 （ subring)，74
子群 (subgroup), 12
子域 （ subfield)，92
自同构 (automorphism), 49
左陪集 (left coset), 29
(0-5940.01)
科学数理分社
电话： (010) 64011058
Email ： lixin_kx@mail.sciencep.com
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